2022-2023學(xué)年人教版初二數(shù)學(xué)培優(yōu)和競賽講煉教程《用提公因式法把多項式進行因式分解》

PAGE人教版初二數(shù)學(xué)培優(yōu)和競賽二合一講煉教程1、用提公因式法把多項式進行因式分解【知識精讀】如果多項式的各項有公因式，根據(jù)乘法分配律的逆運算，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理論依據(jù)就是乘法分配律。多項式的公因式的確定方法是：（1）當(dāng)多項式有相同字母時，取相同字母的最低次冪。（2）系數(shù)和各項系數(shù)的最大公約數(shù)，公因式可以是數(shù)、單項式，也可以是多項式。下面我們通過例題進一步學(xué)習(xí)用提公因式法因式分解【分類解析】1.把下列各式因式分解（1）（2）分析：（1）若多項式的第一項系數(shù)是負數(shù)，一般要提出“－”號，使括號內(nèi)的第一項系數(shù)是正數(shù)，在提出“－”號后，多項式的各項都要變號。解：（2）有時將因式經(jīng)過符號變換或?qū)⒆帜钢匦屡帕泻罂苫癁楣蚴?，如：?dāng)n為自然數(shù)時，，是在因式分解過程中常用的因式變換。解：2.利用提公因式法簡化計算過程例：計算分析：算式中每一項都含有，可以把它看成公因式提取出來，再算出結(jié)果。解：原式3.在多項式恒等變形中的應(yīng)用例：不解方程組，求代數(shù)式的值。分析：不要求解方程組，我們可以把和看成整體，它們的值分別是3和，觀察代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)每一項都含有，利用提公因式法把代數(shù)式恒等變形，化為含有和的式子，即可求出結(jié)果。解：把和分別為3和帶入上式，求得代數(shù)式的值是。4.在代數(shù)證明題中的應(yīng)用例：證明：對于任意自然數(shù)n，一定是10的倍數(shù)。分析：首先利用因式分解把代數(shù)式恒等變形，接著只需證明每一項都是10的倍數(shù)即可。對任意自然數(shù)n，和都是10的倍數(shù)。一定是10的倍數(shù)5、中考點撥：例1。因式分解解：說明：因式分解時，應(yīng)先觀察有沒有公因式，若沒有，看是否能通過變形轉(zhuǎn)換得到。例2．分解因式：解：說明：在用提公因式法分解因式前，必須對原式進行變形得到公因式，同時一定要注意符號，提取公因式后，剩下的因式應(yīng)注意化簡。題型展示：例1.計算：精析與解答：設(shè)，則說明：此題是一個有規(guī)律的大數(shù)字的運算，若直接計算，運算量必然很大。其中2022、2022重復(fù)出現(xiàn)，又有的特點，可通過設(shè)未知數(shù)，將復(fù)雜數(shù)字間的運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再利用多項式的因式分解化簡求值，從而簡化計算。例2.已知：（b、c為整數(shù)）是及的公因式，求b、c的值。分析：常規(guī)解法是分別將兩個多項式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比較麻煩。注意到是及的因式。因而也是的因式，所求問題即可轉(zhuǎn)化為求這個多項式的二次因式。解：是及的公因式也是多項式的二次因式而b、c為整數(shù)得：說明：這是對原命題進行演繹推理后，轉(zhuǎn)化為解多項式，從而簡便求得。例3.設(shè)x為整數(shù)，試判斷是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，請說明理由。解：都是大于1的自然數(shù)是合數(shù)說明：在大于1的正數(shù)中，除了1和這個數(shù)本身，還能被其它正整數(shù)整除的數(shù)叫合數(shù)。只能被1和本身整除的數(shù)叫質(zhì)數(shù)?！緦崙?zhàn)模擬】1.分解因式：（1）（2）（n為正整數(shù)）（3）2.計算：的結(jié)果是（）A. B. C. D.3.已知x、y都是正整數(shù)，且，求x、y。4.證明：能被45整除。5.化簡：，且當(dāng)時，求原式的值。

【試題答案】1.分析與解答：（1）（2）（3）原式注意：結(jié)果多項因式要化簡，同時要分解徹底。2.B3.是正整數(shù)分解成又與奇偶性相同，且說明：求不定方程的整數(shù)解，經(jīng)常運用因式分解來解決。4.證明：能被45整除5.解：逐次分解：原式當(dāng)時，原式例題：1．某一出租車一天下午以鼓樓為出發(fā)地在東西方向營運，向東為正，向西為負，行車里程（單位：km）依先后次序記錄如下：+9、3、5、+4、8、+6、3、6、4、+10。（1）將最后一名乘客送到目的地，出租車離鼓樓出發(fā)點多遠？在鼓樓的什么方向？（2）若每千米的價格為2.4元，司機一個下午的營業(yè)額是多少？解答：（1）0km，就在鼓樓；（2）139.2元。2.同學(xué)們都知道,|5－(－2)|表示5與－2之差的絕對值,實際上也可理解為5與－2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離。試探索：(1)求|5－(－2)|=______。(2)