變質量動量定理

變質量動量定理第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一§6－1變質量質點的運動微分方程1.變質量質點的運動微分方程設作用于質點系的外力為質點系在瞬時t的動量為質點系在瞬時t+dt的動量為根據(jù)動量定理得將上式展開得第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一略去高階微量并以dt除各項得或（6－1）式中是微小質量dm在并入前對于質點m得相對速度令（6－2）則式（6－1）改寫為（6－3）第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一上式稱為變質量質點的運動微分方程式中m是變量是代數(shù)量因具有力的量綱且與噴氣方向相反稱為反推力2.常用的幾種質量變化規(guī)律（1）質量按線性規(guī)律變化設變化規(guī)律為（6－4）式中皆為常數(shù)該式代表質量隨時間呈線性變化由知其反推力為（6－5）可見當為常數(shù)時反推力也為常量且與方向相反第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一（2）質量按指數(shù)規(guī)律變化設變化規(guī)律為（6－6）式中皆為常數(shù)由知其反推力為（6－7）令表示僅在反推力作用下變質量質點的加速度（6－8）則當為常量時也是常量即由反推力引起的加速度為常量第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一例6－1設火箭在真空中運動且不受任何外力作用方向與火箭運功方向相反單級火箭其噴射出的氣體相對于速度的大小不變此問題稱齊奧爾科夫斯基第一類問題對這一問題變質量質點的運動微分方程（6－3）在運動方向上的投影為或（a）設初始時刻t=0時將式（a）積分得（b）第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一設火箭燃燒終了時質量為速度為v令（c）稱N為質量比（有些資料取為質量比）令（b）稱為火箭的特征速度它代表這一級火箭在初始速度的基礎上所能增加的速度由式（d）可得（c）稱此式為齊奧爾科夫斯基公式它表明在已知時欲使火箭達到特征速度所應具備的質量比第7頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一如果火箭在真空中且處于均勻重力場內(nèi)沿鉛直方向向上運動稱為齊奧爾科夫斯基第二類問題與第一問題的區(qū)別是有均勻重力作用運動微分方程（6－3）在鉛直方向上的投影為（f）設初始時刻t=0時且為常量將式（f）積分得（g）第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一例6－2單級火箭具有重大的缺欠任何時候火箭的反推力不僅要使有效載荷產(chǎn)生加速度二級火箭及多級火箭而且也要使龐大的殼體產(chǎn)生同樣的加速度這就限制火箭速度的提高多級火箭可以克服這一缺欠那就是燃料裝得越多其殼體也就越大當前一級火箭燃料燃燒終了時連同其殼體一起拋棄后一級火箭開始工作二級火箭由3部分組成第一級火箭第二級火箭和載荷第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一設第一級火箭總質量為其內(nèi)攜帶燃料的質量為且第二級火箭總質量為其內(nèi)攜帶燃料的質量為載荷的質量為設燃料從火箭噴出的相對速度=常數(shù)方向與火箭速度方向相反每秒噴出的燃料質量也為常數(shù)火箭由靜止開始運動略去重力由例6.1式（b）可得第一級火箭的燃料全部噴射完時火箭的速度為（a）當?shù)诙壔鸺娜剂弦踩繃娚渫陼r速度為（b）第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一如果取則由式（a）及（b）可得如果用單級火箭仍采用上面的參數(shù)所求得的速度就要低的多設二級火箭的總質量（不含載荷質量）為常量則的不同分配將影響火箭的速度將式（a）代入式（b）記則是的函數(shù)為求的最大值將其對求導并令化簡并只取M/P冪級數(shù)展開的首項得（d）第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一滿足式（c）的將使達到最大值將式（c）代入式（a）（b）略去及的高次項可得（d）如果取則如果仍用則由式（d）可得這顯然比時的要大得多下面討論多級火箭設各級火箭的質量分別為各級火箭內(nèi)的燃料質量為第12頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一載荷質量為各級火箭噴射氣體的相對速度方向都與火箭速度方向相反大小分別為不計重力則由例6－1式（b）可以求得第i級火箭在燃料噴射完畢時所增加的速度令（e）則得第n級火箭燃料燃燒完畢時的速度（f）第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一利用拉格朗日乘子法可以求得滿足下式的將使火箭的總質量為最小值（g）式中λ為拉格朗日乘子將式（g）代入式（f）設皆為已知則可以求得λ再將求得的λ代入式（g）即可得如果有則用上面方法可以求得（h）第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一（i）式（i）表明欲使火箭總質量為最小火箭中每一級火箭燃燒完畢所增加的速度值應相同即欲使火箭達到給定的最終速度使火箭總質量為最小值的條件是火箭中每一級燃料燃燒完畢時所增加的速度必須相同滿足這一條件時總質量為（j）第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一利用相等這一條件可以求得多級火箭中各級火箭之間的質量分配例如二級火箭（n=2）三級火箭（n=3）如圖所示橫坐標n代表火箭級數(shù)縱坐標代表火箭總質量與載荷質量之比第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一欲將人造地球衛(wèi)星送入軌道火箭的最終速度應達到設按上面公式可以求得火箭總質量的最小值：一級火箭（n=1）（即不可能達到7.8km/s）二級火箭（n=2）三級火箭（n=3）四級火箭（n=4）五級火箭（n=5）n級火箭（n→∞）第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一§6－2變質量質點的運動學普遍定理研究變質量質點的動量動量矩及動能的變化規(guī)律所使用的動量定理、動量矩定理及動能定理統(tǒng)稱變質量質點的動力學普遍定理1.變質量質點的動量定理（6－9）將式（6－2）（6－3）代入式（6－9）得（6－10）第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一記并入（或放出）質量的絕對速度為即則式（6－10）可寫為（6－11）記（6－12）稱為由于并入（或放出）質量的絕對速度引起的反推力將其代入式（6－11）得（6－13）第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一式（6－13）稱為變質量質點動量定理的微分形式：變質量質點的動量對時間的導數(shù)等于作用其上的外力與由于并入（或放出）質量的絕對速度而引起的反推力的矢量和將式（6－13）積分設t=0時質點質量為速度為得（6－14）式（6－14）稱為變質量質點動量定理的積分形式如果并入或放出質量的絕對速度則式（6－13）成為第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一此式與不變質量質點的動量定理形式相同但其m=m(t)是變量將其積分有顯然即使也不是常量2.變質量質點的動量矩定理變質量質點對任一點O的動量矩為（6－15）式中為從點O指向該質點的矢徑點O為定點第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一將變質量質點動量定理的微分形式（6－13）代入可得（6－16）式（6－16）稱變質量質點的動量矩定理：變質量質點對某定點的動量矩對時間的導數(shù)等于作用于質點上外力的合力對該點之矩與由于并入（或放出）質量的絕對速度引起的反推力對該點力矩的矢量和3.變質量質點的動量定理變質量質點動量定理的微分形式（6－13）可以寫成（6－17）第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一將上式各項點乘得由于因此上式可寫為（6－18）或（6－19）式（6－18）或（6－19）稱變質量質點的動能定理：變質量質點動能的微分與放出（或并入）的元質量由于其牽連速度而具有的動能的代數(shù)和等于作用于質點上外力合力的元功與由于并入（或放出）質量的絕對速度引起的反推力所作的元功之和第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一由于即因此式（6－18）也可以寫成為（6－20）因此變質量質點的動能定理也可以這樣敘述：變質量質點動能的微分與并入（或放出）的元質量由于牽連運動而具有的動能之差等于作用于質點上外力的合力與反推力所作的元功之和第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一例6－3圖為傳送砂子的裝置然后流出斜面設砂子以流量q=常數(shù)（kg/s）從大漏斗中流下斜面上砂子是定常流動砂子從漏斗鉛直流下其質量保持不變不計摩擦求傾角應為多少以速度流下傾角為θ的傳送帶上并沿斜面下滑l長度若使砂子在斜面上的速度為常數(shù)第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解：研究傳送帶上的砂子由變質量質點的動能定理式（6－18）有式中為漏斗流入到傳送帶上的砂子質量元為從傳送帶上流出的砂子質量元為流出時的絕對速度有常數(shù)將這些關系式代入前式得第26頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一式中s為砂子沿傳送帶方向的位移由于流量q質量m及斜面長度l之間有關系：或因此有即得第27頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一例6－4設小方塊長度極短初始靜止小方塊最外端在桌邊總長度為l的一排方塊放在圖所示水平桌面上求在如下兩種情況下當小方塊已經(jīng)有一半離開桌面時總質量為數(shù)量很多相鄰的小方塊互相接觸而不連接如圖加一水平的常力留在桌面上的小方塊的速度（1）忽略桌面上的摩擦力（2）桌面與小方塊間的動滑動摩擦因數(shù)為f第28頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解：研究仍在桌面上的一群