合作對策的公平分配

合作對策的公平分配第1頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一一.背景與問題

1.背景：兩個實際問題：

A.沿河有三個城鎮(zhèn)A、B、C依次從上游向下游排列。城鎮(zhèn)的污水需經(jīng)處理后方可排入河內(nèi)。三鎮(zhèn)可以單獨建廠處理污水，也可以聯(lián)合建廠，用管道送水（從上游向下游）集中處理。A、B的距離為20km，B、C的距離為38km。

第2頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一如果用Q表示污水的流量，L表示管道的長度，按照經(jīng)驗，建污水處理廠的費用為CF=73Q0.712(萬元),鋪設(shè)管道的費用為GF=0.66Q0.51L(萬元)。已知QA=5，QB=3，QC=5，

LAB=20，LBC=38第3頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一10.從節(jié)約投資的角度出發(fā)，請給出一種最優(yōu)的污水處理方案。20.如果聯(lián)合建廠，各鎮(zhèn)所分擔的污水處理費用將按下述原則分攤：聯(lián)合建廠時的建廠費用按每個鎮(zhèn)處理的污水量分擔；管道的費用誰用誰投資，聯(lián)合使用時按污水量之比分擔。計算分析上面的分攤原則是否合理？30.試給出一個合理分擔污水處理費用的方案。第4頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一

解：10.污水處理費用與投資一鎮(zhèn)單建：PA=73×50.712=230，PB=160，PC=230

二鎮(zhèn)合建：PAB=73×80.712+0.66×50.51×20=350PAC=463，PBC=365

三鎮(zhèn)合建：PABC=556

投資：

I.單獨建廠：PI=PA+PB+PC=620IIA、B合建：PII=PAB+PC=580IIIA、C合建：PIII=PAC+PB=623

IVB、C合建：PIV=PBC+PA=595V三鎮(zhèn)合建：PV=PABC=556

三鎮(zhèn)合建總投資最少，較單獨建廠節(jié)省64（萬元）第5頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一20.費用分擔建廠費PABC=556，分攤CPA=556×5/13=174,CPB=105,CPC=174.管道費GFAB=0.66×50.51×20=30,GFBC=73.分攤CGA=30+73×5/8=76,CGB=73×3/8=27總合分擔

CA=CPA+CGA=174+76=250CB=CPB+CGB=105+27=132CC=CPC=174-230=20-160=-28-230=-56分攤方案中A鎮(zhèn)吃虧,C鎮(zhèn)占便宜,方案不公平!

第6頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一

B.A、B、C三人合作經(jīng)商。單干每人可收入100元，A、B合作二人可收入700元，A、C合作二人收入500元，B、C合作收入400元，三人合作可收入1000元。問三人合作時如何合理地分配1000元的收入？

第7頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一設(shè).三人各得x1,x2,x3(百元).則應(yīng)有x1+x2+x3=10,且滿足xi>1,x1+x2>7,x1+x3>5,x2+x3>4.可以有解

(5,3,2),(4,3.5,2.5),(4.5,3.5,2),(5.5,3,1.5)哪一個更合理?

2.問題：在n人合作對策中如何合理地分配效益值？第8頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一二.模型和收益分配的Shapley值

1.假設(shè):10.N人從事某項活動.20.其中若干人的每一種合作(包括單人)都有收益.30.合作是非對抗性的(平均收益不會隨合作人數(shù)的增加而降低).第9頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一

2.建模:

成員:I={1,2,…,n},

合作:I的子集SI,

收益:定義在子集類{S}上的函數(shù)v(S),滿足v(?)=0,對于S1∩S2=?,有v(S1∪S2)≥v(S1)+v(S2)我們稱v(S)為I上的特征函數(shù).

分配:X={x1,…,xn},滿足

第10頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一

3.收益分配的Shapley值10.Shapley公式其中|S|:S中元素的個數(shù)

20.[v(S)-v(S\i)]:在合作組S中成員{i}的作用.第11頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一

30.φi(v)是成員{i}在各種合作組中所做的貢獻的加權(quán)平均,權(quán)量為w(|S|).

令Θ表示全體成員I的一個排序,Si

為Θ的一個子集,表示Θ中以成員{i}為排尾的前面一部分成員的集合.(n-|Si|)!(|Si|-1)!則表示Θ中令{i}排在第|Si|位,Si–{i}排在前面,然后{i},然后其它成員的不同的排列數(shù).n!表示全體成員I全部的排列數(shù).

因此,w(|S|)表示在的所有排列Θ中選定Si后成員{i}排與第|Si|位的概率.第12頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一合作對策4.例.三人經(jīng)商

v(i)=100,i=1,2,3;v(1,2)=700,v(1,3)=500,v(2,3)=400;v(1,2,3)=1000.求φ1(v),φ2(v),φ3(v).S1(1)(1,2)(1,3)(1,2,3)v(S)1007005001000v(S\{1})0100100400v(S)-v(S\{1})100600400600|S|1223w(S)1/31/61/61/3w[v(S)-v(S\{1})]100/3100200/3200

φ1(v)=400,φ2(v)=350,φ3(v)=250第13頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一4.例.三鎮(zhèn)排污

v(i)=0,i=1,2,3;v(1,2)=40,v(1,3)=0,v(2,3)=25;v(1,2,3)=64.求φ1(v),φ2(v),φ3(v).S1(1)(1,2)(1,3)(1,2,3)v(S)040064v(S\{1})00025v(S)-v(S\{1}040039|S|1223w(S)1/31/61/61/3w[v(S)-v(S\{1})]040/6039/3φ1(v)=19.7,φ2(v)=32.2,φ3(v)=12.1CA=230-19.7=210.3,CB=160-32.2=127.8,CC=230-12.2=217.8第14頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一三.公平的收益分配

I.對稱性.一個分配方案應(yīng)與成員的編號無關(guān).II.有效性.對于每次合作中均無貢獻者,不應(yīng)從合作的效益中得到好處.III.合理性.合作收益全部