圓中有關(guān)定理

切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理

以及與圓有關(guān)的比例線段1?切線長(zhǎng)概念切線長(zhǎng)是在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度，“切線長(zhǎng)”是切線上一條線段的長(zhǎng)，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長(zhǎng)度。2?切線長(zhǎng)定理如圖1對(duì)于切線長(zhǎng)定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長(zhǎng)相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線為直徑；（3）經(jīng)過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)可得到一個(gè)等腰三角形；（4）經(jīng)過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點(diǎn)的兩個(gè)半徑的夾角互補(bǔ)；（5）圓外一點(diǎn)與圓心的連線，平分過這點(diǎn)向圓引的兩條切線所夾的角。4?弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對(duì)的圓周角。即如上圖中ZAPC=4?弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對(duì)的圓周角。即如上圖中ZAPC=ZCDP等圖2（四個(gè)）ZAPC,ZAPD,ZBPD,ZBPC證明：如圖2,連接CD、OC、OP，因?yàn)閆CPO=ZPCO,所以ZCOP=180°-2ZCPO而ZCPO=90°-ZAPC,故ZCOP=2ZAPC,即ZCDP=ZAPC。5?弄清和圓有關(guān)的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。6?遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長(zhǎng)定理。7?與 定理圖形已知結(jié)論證法相交弦定理AOO中，AB、CD為弦，交于P.PA?PB=PC?PD連結(jié)AC、BD，ZC=ZB,ZA=ZD,所以△APCsADPB相交弦定理的推論OO中，AB為直徑，CD丄AB于P.PC2=PA?PB用相交弦定理.切割線定理OO中，PTWOO于T,割線PB交OO于APT2=PA?PB連結(jié)TA、TB,貝yZPTA=ZB（弦切角等于同弧圓周角）所以△PTA-△PBT，所以PT2=PA?PB

切割線定理推論—PB、PD為0O的兩條割線，交OO于A、CPA?PB=PC?PD過P作PT切0O于T,用兩次切割線定理圓幕定理OO中，割線PB交0O于A,CD為弦P'C?P'D=r2—OP'2PA?PB=OP2—r2r為0O的半徑延長(zhǎng)P'O交00于M,延長(zhǎng)0P'交00于N,用相交弦定理證；過P作切線用切割線定理勾股定理證8?圓冪定理：過一定點(diǎn)P向0O作任一直線，交0O于兩點(diǎn)，則自定點(diǎn)P到兩交點(diǎn)的兩條線段之積為常數(shù)lOF'—R'iCR為圓半徑），因?yàn)镺P2~R2叫做點(diǎn)對(duì)于0O的幕，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓幕定理。例1?如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O,過A作半圓切線，切點(diǎn)為F,交CD于E,求DE：AE的值。圖1例2.OO中的兩條弦AB與CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,求CE。例3?已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則AB2:AC2PB: 例4?如圖3,P是0O外一點(diǎn)，PC切0O于點(diǎn)C,PAB是0O的割線，交0O于A、B兩點(diǎn)，如果PA：PB=1：4,PC=12cm,0O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是 cm。例5?如圖4,AB為0O的直徑，過B點(diǎn)作0O的切線BC，OC交0O于點(diǎn)E，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D,求證：(1)CE2=CD?CB；(2)若AB=BC=2厘米，求CE、CD的長(zhǎng)。例6?如圖5,AB為0O的直徑，弦CD〃AB,AE切0O于A,交CD的延長(zhǎng)線于E。求證：BC2=AB?DE例7?如圖6,PA、PC切0O于A、C,PDB為割線。求證：AD?BC=CD?AB例&如圖7,在直角三角形ABC中，ZA=90°,以AB邊為直徑作0O,交斜邊BC于點(diǎn)D,過D點(diǎn)作0O的切線交AC于E。求證：BC=2OE。例9.如圖8,在正方形ABCD中，AB=1,AC是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧。點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過E作AC所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F,G為切點(diǎn)。當(dāng)ZDEF=45°時(shí)，求證:點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)；【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）、選擇題已知：PA、PB切0O于點(diǎn)A、B,連結(jié)AB,若AB=8,弦AB的弦心距3,則PA=（A.20/3 B.25/3 C.5 D.8下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（）B矩形A.B矩形則ZMCA的度數(shù)（D梯形則ZMCA的度數(shù)（D梯形圖1C.60° D.55°另一弦被交點(diǎn)分為1：4,則另一弦長(zhǎng)為（C.12cm D.16cmA.50° B.40°圓內(nèi)兩弦相交，一弦長(zhǎng)8cm且被交點(diǎn)平分，A.8cm B.10cm在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AD=2“2cm,BD=3cm,DC=4cm,如果E是AD的延長(zhǎng)線與△ABC的外接圓的交點(diǎn)，那么DE長(zhǎng)等于,） _ _A.23cm B.3、2cm C.2\2cm D.33cmPT切0O于T,CT為直徑，D為OC上一點(diǎn)，直線PD交0O于B和A,B在線段PD上,若CD=2,AD=3,BD=4,貝PB等于（ ）A.20B.10C.5D.A.20B.10C.5D.二、填空題AB、CD是00切線,AB〃CD,EF是00的切線，它和AB、CD分別交于E、F,則ZEOF= 度。已知：00和不在00上的一點(diǎn)P,過P的直線交00于A、B兩點(diǎn)，若PA?PB=24,0P=5，則00的半徑長(zhǎng)為 。 _若PA為00的切線，A為切點(diǎn)，PBC割線交00于B、C,若BC=20,PA=10p3，則PC的長(zhǎng)為10.正厶ABC內(nèi)接于00,M、N分別為AB、AC中點(diǎn)，延長(zhǎng)MN交00于點(diǎn)D,連結(jié)BD交AC于P,PCPA—PA—、解答題11.如圖2,AABC中，AC=2cm,周長(zhǎng)為8cm,F、K、N是厶ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)，DE切00于點(diǎn)M,且DE〃AC,求DE的長(zhǎng)。12.如圖3,已知P為00的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切00于C,CD丄AB于D,求證:CB平分ZDCP。13.如圖4,已知AD為00的直徑，AB是00的切線，過B的割線BMN交AD的延長(zhǎng)線于C,且BM=MN=NC,若AB=2邁cm,求00的半徑。圓的有關(guān)定理例題答案例1解：由切線長(zhǎng)定理知：例1解：由切線長(zhǎng)定理知：AF=AB=1,EF=CE設(shè)CE為x,在RtAADE中，由勾股定理〔1+工尸=(1-x)3+1\x二扌1 3 1 5DE=A--=-AS二1+—二一4 4 4 4?,,5二0應(yīng)：#童二一：-=3：54例3解：VZP=ZPZPAC=ZB,.?.△PACsAPBA,AB_PBAB2_PB2? ? ?? o又TPA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得PA2=FBfPCAB2_PS2_PB.肓?nnAB2： =PC并宀葉_即 ，故應(yīng)填PC。點(diǎn)撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。例5證明：(1)連結(jié)BEBC^GO的切線=乙4二厶豊E'例2解：由相交弦定理，得AE?BE=CE?DE°.°AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,DE=CD-CE=1-CE飛X2二CEf-C通??即加—7亦+12=0CE=3cm或CE=4cm。故應(yīng)填3或4。點(diǎn)撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。例4解：TPC是0O的切線，PAB是0O的割線，且PA：PB=1：4 .PB=4PA又VPC=12cmpr*a-Pjd*PR由切割線定理，得??觸??,PA二6(cm)?PB=4x6=24(cm)AB=24—6=18(cm)設(shè)圓心O到AB距離為dcm,由勾股定理，得故應(yīng)填価。oa=osZa=Zoea}=Zced=zLcbe

Zosa=Zdec Zu倉(cāng)用角-■<乂豆=——=——CE2=CB*CDCDCEBC^QQ^線血為直徑n =90°AB=2^OB=\BC=2U0U==J5OE=1(2)o苗二CD，CE,CB=2J』-訐=(3-75)厘米。點(diǎn)撥：有切線，并需尋找角的關(guān)系時(shí)常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。例6證明：連結(jié)BD,VAE切0O于A,ZEAD=ZABDVAE丄AB,又AB〃CD,AE丄CDVAB為0O的直徑/.ZADB=90°ZE=ZADB=90°?△ADEsAbaDAD_DE?石—兀?找"=AB*DS???nnVCD//AB■■???AD=BC,?聲"2例7點(diǎn)悟：由結(jié)論AD?BC=CD?AB得忑丸，顯然要證△PADs^PBA和厶PCDs^pbc證明：VPA切0O于A, /.ZPAD=ZPBA又ZAPD=ZBPA, .?.△PADs&BA.41_'上也十同理可證厶PCDsApbc㈡_/'1????'「―VPA、PC分別切0O于A、C二：.??PA=PC???"丁???AD?BC=DC?AB

例8點(diǎn)悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證OE是厶ABC的中位線。而OA=OB,只須證AE=CEo證明：連結(jié)OD。VAC丄AB,AB為直徑AC為0O的切線，又DE切0O于D?ea=ed,od丄devob=od,.zb=zodb在RtAABC中，ZC=90°—ZBVZODE=90°?zc=zedc.ed=ec.ae=ecOE是△ABC的中位.BC=2OE模擬測(cè)試答案一、選擇題：acabba11;7.908.」9.30 10.11.由切線長(zhǎng)定理得厶BDE周長(zhǎng)為4,由△BDEs^BAC，得DE=1cm12.證明：連結(jié)AC,則AC丄CB?.?CD丄AB,.?.△ACBsACDB,???ZA=Z1???PC為0O的切線，?ZA=Z2,又Z1=Z2,???BC平分ZDCP

例9解：由ZDEF=45°,得=50°-ZDEF=45°?zdfe=zdef.de=df又VAD=DC.AE=FC因?yàn)锳B是圓B的半徑，AD丄AB,所以ad切圓B于點(diǎn)A；同理，CD切圓B于點(diǎn)Co又因?yàn)镋F切圓B于點(diǎn)G,所以AE=EG,