3測(cè)量誤差課件

3測(cè)量誤差課件第一頁(yè)，共117頁(yè)。

誤差定義及表達(dá)形式測(cè)量誤差來(lái)源的分析測(cè)量誤差按誤差性質(zhì)的分類處理重點(diǎn)與難點(diǎn)第二頁(yè)，共117頁(yè)。第一節(jié)常用計(jì)量術(shù)語(yǔ)量:現(xiàn)象、物體或物質(zhì)的可以定性區(qū)別和定量確定的一種屬性。

被測(cè)量:（measuredquantity，quantitytobemeasured）被測(cè)量的量。它可以是待測(cè)量的量，也可以是已測(cè)量的量。影響量:（influencequantity）不是被測(cè)量，但卻影響被測(cè)量的量值或計(jì)量器具示值的量。第三頁(yè)，共117頁(yè)。計(jì)量單位（unitofmeasurement）約定選取的特定量（通常其數(shù)值為1），用以定量表示同種量的值。

量值:（valueofquantity）由數(shù)值與計(jì)量單位的乘積所表示的量的大小

量的數(shù)值:(numericalvalueofquantity）量值中的數(shù)字部分。第四頁(yè)，共117頁(yè)。量的真值:（truevalueofquantity

）與給定的特定量的定義一致的值。量的約定真值（conventionaltruevalueofquantity）對(duì)于給定目的具有適當(dāng)不確定度的、賦予特定量的值，有時(shí)該值是約定采用的。第五頁(yè)，共117頁(yè)。實(shí)際值（actualvalue）滿足規(guī)定精確度的用來(lái)代替真值的量值。實(shí)際值可理解為由實(shí)驗(yàn)獲得的，在一定程度上接近真值的量值。在計(jì)量檢定中，通常將上級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)所復(fù)現(xiàn)的量值稱為下級(jí)計(jì)量器具的實(shí)際值。測(cè)量（measurement）為確定量值而進(jìn)行的操作。第六頁(yè)，共117頁(yè)。測(cè)得值（measuredvalue）

從測(cè)量?jī)x器直接得出或經(jīng)過(guò)必要計(jì)算而得出的量值。測(cè)量結(jié)果

（resultofameasurement）由測(cè)量所得到的賦予被測(cè)量的值。

注：

（1）在給出測(cè)量結(jié)果時(shí)，應(yīng)說(shuō)明它是示值、未修正測(cè)量結(jié)果或已修正測(cè)量結(jié)果，還應(yīng)表明它是否為幾個(gè)值的平均。

（2）在測(cè)量結(jié)果的完整表述中，應(yīng)包括測(cè)量不確定度，必要時(shí)還應(yīng)說(shuō)明有關(guān)影響量的取值范圍。

第七頁(yè)，共117頁(yè)。計(jì)量器具的基本誤差（intrinsicerrorofameasuringInstrument）

計(jì)量器具在標(biāo)準(zhǔn)條件下所具有的誤差計(jì)量器具的附加誤差（complementaryerrorofameasuringInstrument）

計(jì)量器具在非標(biāo)準(zhǔn)條件下所增加的誤差計(jì)量器具的允（容）許誤差（permissibleerrorsofameasuringInstrument）技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)、檢定規(guī)程等對(duì)計(jì)量器具所規(guī)定的允許的極限誤差第八頁(yè)，共117頁(yè)。測(cè)量[結(jié)果的]重復(fù)性

（repeatabilityofmeasurements）在相同測(cè)量條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行連續(xù)多次測(cè)量所得結(jié)果之間的一致性。注：（1）這些條件稱為重復(fù)性條件。包括：相同的測(cè)量程序；在相同的條件下使用相同的測(cè)量?jī)x器，相同的觀測(cè)者；相同的地點(diǎn)；在短時(shí)間內(nèi)重復(fù)測(cè)量。

（2）重復(fù)性可以用測(cè)量結(jié)果的分散性定量地表示。第九頁(yè)，共117頁(yè)。測(cè)量[結(jié)果的]復(fù)現(xiàn)性

（reproducibilityofmeasurements）

在改變了的測(cè)量條件下，同一被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果之間的一致性。注：

（1）在給出復(fù)現(xiàn)性時(shí)，應(yīng)有效地說(shuō)明改變條件的詳細(xì)情況。

（2）改變條件可包括：測(cè)量原理；測(cè)量方法；測(cè)量?jī)x器；觀測(cè)者；參考測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)；地點(diǎn)；使用條件；時(shí)間。

（3）復(fù)現(xiàn)性可用測(cè)量結(jié)果的分散性定量地表示

（4）測(cè)量結(jié)果在這里通常理解為已修正結(jié)果。第十頁(yè)，共117頁(yè)。測(cè)量精密度（precisionofmeasurement）表征測(cè)量結(jié)果的分散性或重復(fù)性。

即對(duì)某一穩(wěn)定的被測(cè)量，由同一個(gè)測(cè)量者，用同一個(gè)設(shè)備，在相當(dāng)短的時(shí)間內(nèi)連續(xù)重復(fù)測(cè)量多次，其測(cè)量結(jié)果的分散程度。例如，某測(cè)溫傳感器的精密度為0.5℃。精密度是隨機(jī)誤差大小的標(biāo)志，精密度高，意味著隨機(jī)誤差小。注意：精密度高不一定精確度高注：

（1）測(cè)量精密度是一個(gè)定性的概念，反映在規(guī)定條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次測(cè)量時(shí)，所得結(jié)果之間的符合程度。

（2）測(cè)量精密度常簡(jiǎn)稱為精度。這是一個(gè)含義容易混淆的概念，國(guó)際上建議不再在正式文件和報(bào)告中使用。第十一頁(yè)，共117頁(yè)。精確度（準(zhǔn)確度）（accuracyofmeasurement）

是精密度與正確度兩者的總和，精確度高表示精密度和正確度都比較高。在最簡(jiǎn)單的情況下，可取兩者的代數(shù)和。機(jī)器中常以測(cè)量誤差的相對(duì)值表示。測(cè)量正確度（correctnessofmeasurement）測(cè)量結(jié)果與真值的接近程度，反映的是系統(tǒng)誤差大小第十二頁(yè)，共117頁(yè)。（a）正確度高而精密度低（b）精密度高而正確度低（c）精確度高在測(cè)量中我們希望得到精確度高的結(jié)果。

第十三頁(yè)，共117頁(yè)。門捷列夫(1834-1907)

科學(xué)始于測(cè)量,沒(méi)有測(cè)量，便沒(méi)有精密的科學(xué)。第二節(jié)測(cè)量誤差2.1研究誤差的意義

第十四頁(yè)，共117頁(yè)。我常說(shuō)的一句話是：

當(dāng)你能夠測(cè)量你所關(guān)注的事物，而且能夠用數(shù)量來(lái)描述他的時(shí)候，你就對(duì)其有所認(rèn)識(shí)；當(dāng)你不能測(cè)量他，也不能將其量化的時(shí)候，你對(duì)他的了解就是貧乏和不深入的。開(kāi)爾文為了紀(jì)念他在科學(xué)上的功績(jī)，國(guó)際計(jì)量大會(huì)把熱力學(xué)溫標(biāo)（即絕對(duì)溫標(biāo)）稱為開(kāi)爾文（開(kāi)氏）溫標(biāo)，熱力學(xué)溫度以開(kāi)爾文為單位，是現(xiàn)在國(guó)際單位制中七個(gè)基本單位之一。開(kāi)爾文（1824-1907）第十五頁(yè)，共117頁(yè)。錢學(xué)森信息技術(shù)包括測(cè)量技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)和通信技術(shù)，測(cè)量技術(shù)是信息技術(shù)的關(guān)鍵和基礎(chǔ)。錢學(xué)森(1911-2009)第十六頁(yè)，共117頁(yè)。王大珩等儀器儀表是工業(yè)生產(chǎn)的“倍增器”，是高新技術(shù)和科研的“催化劑”，在軍事上體現(xiàn)的是“戰(zhàn)斗力”。王大珩(1915-2011)第十七頁(yè)，共117頁(yè)。正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因從根本上，消除或減小誤差正確處理測(cè)量和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果通過(guò)計(jì)算得到更接近真值的數(shù)據(jù)正確組織實(shí)驗(yàn)過(guò)程，合理設(shè)計(jì)、選用儀器或測(cè)量方法根據(jù)目標(biāo)確定最佳系統(tǒng)第十八頁(yè)，共117頁(yè)。一、測(cè)量誤差的定義在物理實(shí)驗(yàn)中，把測(cè)量值與真值之差叫做測(cè)量誤差，簡(jiǎn)稱誤差。約定真值。在實(shí)際計(jì)量工作中，上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的給出值對(duì)下一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)說(shuō)，往往可視為相對(duì)真值（亦稱實(shí)際值）；對(duì)于多次重復(fù)測(cè)量，有時(shí)亦可視測(cè)得值的算術(shù)平均值為相對(duì)真值。2.2誤差的基本概念

第十九頁(yè)，共117頁(yè)。誤差（Error）：誤差測(cè)得值真值＝－真值（TrueValue）：觀測(cè)一個(gè)量時(shí)，該量本身所具有的真實(shí)大小。分類：理論值約定真值三角形內(nèi)角之和恒為180o一個(gè)整圓周角為360o國(guó)際千克基準(zhǔn)1Kg第二十頁(yè)，共117頁(yè)。約定真值(ConventionalTrueValue）指定值、最佳估計(jì)值、約定值或參考值

是指對(duì)于給定用途具有適當(dāng)不確定度的、賦予特定量的值。這個(gè)術(shù)語(yǔ)在計(jì)量學(xué)中常用。由國(guó)家建立的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)（或基準(zhǔn)）所指定的千克副原器質(zhì)量的約定真值為1kg，其復(fù)現(xiàn)的不確定度為0.008mg。當(dāng)今保存在國(guó)際計(jì)量局的鉑銥合金千克原器的最小不確定度為0.004mg誤差是針對(duì)真值而言的，真值一般都是指約定真值。

亦稱第二十一頁(yè)，共117頁(yè)。誤差絕對(duì)誤差相對(duì)誤差粗大誤差系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差表示形式性質(zhì)特點(diǎn)第二十二頁(yè)，共117頁(yè)。絕對(duì)誤差（AbsoluteError）

測(cè)得值

被測(cè)量的真值，常用約定真值代替

絕對(duì)誤差特點(diǎn)：1)絕對(duì)誤差是一個(gè)具有確定的大小、符號(hào)及單位的量。2)單位給出了被測(cè)量的量綱，其單位與測(cè)得值相同。L＝L－L0絕對(duì)誤差測(cè)得值真值＝－第二十三頁(yè)，共117頁(yè)。修正值(Correction)

:為了消除固定的系統(tǒng)誤差用代數(shù)法而加到測(cè)量結(jié)果上的值。

修正值真值測(cè)得值－特點(diǎn)：1)與誤差大小近似相等，但方向相反。2)修正值本身還有誤差。誤差－第二十四頁(yè)，共117頁(yè)。【例1】用某電壓表測(cè)量電壓，電壓表的示值為226V，查該表的檢定證書(shū)，得知該電壓表在220V附近的誤差為5V

，被測(cè)電壓的修正值為－5V

，則修正后的測(cè)量結(jié)果為226+(－5V)=221V。

測(cè)得值真值絕對(duì)誤差第二十五頁(yè)，共117頁(yè)。定義

被測(cè)量的真值，常用約定真值代替，也可以近似用測(cè)量值L

來(lái)代替

L0相對(duì)誤差特點(diǎn)：1）相對(duì)誤差有大小。2）無(wú)量綱，一般用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示。絕對(duì)誤差相對(duì)誤差（RelativeError）：

絕對(duì)誤差與被測(cè)量真值之比

相對(duì)誤差第二十六頁(yè)，共117頁(yè)。絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的比較用絕對(duì)誤差不便于比較不同量值、不同單位、不同物理量等的準(zhǔn)確度。

對(duì)于相同的被測(cè)量，絕對(duì)誤差可以評(píng)定其測(cè)量精度的高低，但對(duì)于不同的被測(cè)量以及不同的物理量，絕對(duì)誤差就難以評(píng)定其測(cè)量精度的高低，而采用相對(duì)誤差來(lái)評(píng)定較為確切。第二十七頁(yè)，共117頁(yè)。引用誤差（FiducialErrorofaMeasuringInstrument）

定義

該標(biāo)稱范圍（或量程）上限引用誤差

儀器某標(biāo)稱范圍（或量程）內(nèi)的最大絕對(duì)誤差

引用誤差是一種相對(duì)誤差，而且該相對(duì)誤差是引用了特定值，即標(biāo)稱范圍上限（或量程）得到的，故該誤差又稱為引用相對(duì)誤差、滿度誤差。

第二十八頁(yè)，共117頁(yè)。我國(guó)電工儀表、壓力表的準(zhǔn)確度等級(jí)（AccuracyClass）就是按照引用誤差進(jìn)行分級(jí)的。當(dāng)一個(gè)儀表的等級(jí)s選定后，用此表測(cè)量某一被測(cè)量時(shí)，所產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差為最大相對(duì)誤差為絕對(duì)誤差的最大值與該儀表的標(biāo)稱范圍（或量程）上限xm成正比選定儀表后，被測(cè)量的值越接近于標(biāo)稱范圍（或量程）上限，測(cè)量的相對(duì)誤差越小，測(cè)量越準(zhǔn)確

（公式2）（公式1）電工儀表、壓力表的準(zhǔn)確度等級(jí)第二十九頁(yè)，共117頁(yè)?！纠?/p>

】檢定一只2.5級(jí)、量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)在50V處誤差最大，其值為2V，而其他刻度處的誤差均小于2V，問(wèn)這只電壓表是否合格？由公式2，該電壓表的引用誤差為由于所以該電壓表合格?！窘狻康谌?yè)，共117頁(yè)。【例

】

某1.0級(jí)電流表，滿度值（標(biāo)稱范圍上限）為100，求測(cè)量值分別為100，80和20時(shí)的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。根據(jù)題意得

由公式1可知，最大絕對(duì)誤差為

他們的相對(duì)誤差分別為

可見(jiàn)，在同一標(biāo)稱范圍內(nèi)，測(cè)量值越小，其相對(duì)誤差越大。

【解】第三十一頁(yè)，共117頁(yè)。

為了減小測(cè)量誤差，提高測(cè)量準(zhǔn)確度，就必須了解誤差來(lái)源。而誤差來(lái)源是多方面的，在測(cè)量過(guò)程中，幾乎所有因素都將引入測(cè)量誤差。主要來(lái)源

測(cè)量裝置誤差

測(cè)量環(huán)境誤差

測(cè)量方法誤差

測(cè)量人員誤差

二、誤差的來(lái)源第三十二頁(yè)，共117頁(yè)。測(cè)量裝置誤差標(biāo)準(zhǔn)器件誤差儀器誤差附件誤差以固定形式復(fù)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)量值的器具，如標(biāo)準(zhǔn)電阻、標(biāo)準(zhǔn)量塊、標(biāo)準(zhǔn)砝碼等等，他們本身體現(xiàn)的量值，不可避免地存在誤差。一般要求標(biāo)準(zhǔn)器件的誤差占總誤差的1/3～1/10。測(cè)量裝置在制造過(guò)程中由于設(shè)計(jì)、制造、裝配、檢定等的不完善，以及在使用過(guò)程中，由于元器件的老化、機(jī)械部件磨損和疲勞等因素而使設(shè)備所產(chǎn)生的誤差。

測(cè)量?jī)x器所帶附件和附屬工具所帶來(lái)的誤差。

設(shè)計(jì)測(cè)量裝置時(shí)，由于采用近似原理所帶來(lái)的工作原理誤差

組成設(shè)備的主要零部件的制造誤差與設(shè)備的裝配誤差設(shè)備出廠時(shí)校準(zhǔn)與定度所帶來(lái)的誤差讀數(shù)分辨力有限而造成的讀數(shù)誤差

數(shù)字式儀器所特有的量化誤差

元器件老化、磨損、疲勞所造成的誤差第三十三頁(yè)，共117頁(yè)。儀器誤差天平不等臂所造成的系統(tǒng)誤差第三十四頁(yè)，共117頁(yè)。BAOb

轉(zhuǎn)軸與幾何中心重合，由于所以可用弧長(zhǎng)反映角度的大小。

由于偏心，使之用弧長(zhǎng)反映角度時(shí)產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。如：這是由偏心造成的。

第三十五頁(yè)，共117頁(yè)。測(cè)量環(huán)境誤差指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。

對(duì)于電子測(cè)量，環(huán)境誤差主要來(lái)源于環(huán)境溫度、電源電壓和電磁干擾等

激光光波比長(zhǎng)測(cè)量中，空氣的溫度、濕度、塵埃、大氣壓力等會(huì)影響到空氣折射率，因而影響激光波長(zhǎng)，產(chǎn)生測(cè)量誤差。高精度的準(zhǔn)直測(cè)量中，氣流、振動(dòng)也有一定的影響第三十六頁(yè)，共117頁(yè)。測(cè)量方法誤差

指使用的測(cè)量方法不完善，或采用近似的計(jì)算公式等原因所引起的誤差，又稱為理論誤差如用均值電壓表測(cè)量交流電壓時(shí)，其讀數(shù)是按照正弦波的有效值進(jìn)行刻度，由于計(jì)算公式中出現(xiàn)無(wú)理數(shù)和，故取近似公式，由此產(chǎn)生的誤差即為理論誤差。第三十七頁(yè)，共117頁(yè)。測(cè)量人員誤差測(cè)量人員的工作責(zé)任心、技術(shù)熟練程度、生理感官與心理因素、測(cè)量習(xí)慣等的不同而引起的誤差。為了減小測(cè)量人員誤差，就要求測(cè)量人員要認(rèn)真了解測(cè)量?jī)x器的特性和測(cè)量原理，熟練掌握測(cè)量規(guī)程，精心進(jìn)行測(cè)量操作，并正確處理測(cè)量結(jié)果。第三十八頁(yè)，共117頁(yè)。按測(cè)量性質(zhì)分：系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差粗大誤差

1.基本概念：

在對(duì)同一被測(cè)量的多次測(cè)量過(guò)程中，保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差決定測(cè)量結(jié)果的“正確”程度。

（一）系統(tǒng)誤差（SystematicError）

三、測(cè)量誤差的分類

第三十九頁(yè)，共117頁(yè)。在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差。

定義特征

在相同條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，該誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，按某一確定規(guī)律變化的誤差。

第四十頁(yè)，共117頁(yè)。用天平計(jì)量物體質(zhì)量時(shí)，砝碼的質(zhì)量偏差用千分表讀數(shù)時(shí)，表盤安裝偏心引起的示值誤差刻線尺的溫度變化引起的示值誤差系統(tǒng)誤差舉例

在實(shí)際估計(jì)測(cè)量器具示值的系統(tǒng)誤差時(shí)，常常用適當(dāng)次數(shù)的重復(fù)測(cè)量的算術(shù)平均值減去約定真值來(lái)表示，又稱其為測(cè)量器具的偏移或偏畸（Bias）。

由于系統(tǒng)誤差具有一定的規(guī)律性，因此可以根據(jù)其產(chǎn)生原因，采取一定的技術(shù)措施，設(shè)法消除或減小；也可以在相同條件下對(duì)已知約定真值的標(biāo)準(zhǔn)器具進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量的辦法，或者通過(guò)多次變化條件下的重復(fù)測(cè)量的辦法，設(shè)法找出其系統(tǒng)誤差的規(guī)律后，對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。第四十一頁(yè)，共117頁(yè)。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因系統(tǒng)誤差是有固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，這些因素是可以掌握的。①測(cè)量裝置方面的因素②環(huán)境方面的因素

③測(cè)量方法的因素

④測(cè)量人員的因素計(jì)量校準(zhǔn)后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計(jì)原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測(cè)量時(shí)的實(shí)際溫度對(duì)標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差、測(cè)量過(guò)程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差等。采用近似的測(cè)量方法或計(jì)算公司引起的誤差等。測(cè)量人員固有的測(cè)量習(xí)性引起的誤差等。第四十二頁(yè)，共117頁(yè)。系統(tǒng)誤差與測(cè)量次數(shù)無(wú)關(guān)，不能用增加測(cè)量次數(shù)的方法使其消除或減小。第四十三頁(yè)，共117頁(yè)。按對(duì)誤差掌握程度，系統(tǒng)誤差可分為誤差絕對(duì)值和符號(hào)已經(jīng)明確的系統(tǒng)誤差。

已定系統(tǒng)誤差：舉例：

直尺的刻度值誤差

誤差絕對(duì)值和符號(hào)未能確定的系統(tǒng)誤差，但通常估計(jì)出誤差范圍。

未定系統(tǒng)誤差：第四十四頁(yè)，共117頁(yè)。按誤差出現(xiàn)規(guī)律，系統(tǒng)誤差可分為誤差絕對(duì)值和符號(hào)固定不變的系統(tǒng)誤差。

不變系統(tǒng)誤差：誤差絕對(duì)值和符號(hào)變化的系統(tǒng)誤差。按其變化規(guī)律，可分為線性系統(tǒng)誤差、周期性系統(tǒng)誤差和復(fù)雜規(guī)律系統(tǒng)誤差。

變化系統(tǒng)誤差：第四十五頁(yè)，共117頁(yè)。舉例：

砝碼質(zhì)量、熱膨脹誤差

度盤偏心、電度表誤差……第四十六頁(yè)，共117頁(yè)。2.系統(tǒng)誤差的消除(1)測(cè)量前設(shè)法消除可能消除的誤差源——消誤差源法是最理想的方法。它要求測(cè)量人員，對(duì)測(cè)量過(guò)程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個(gè)環(huán)節(jié)作仔細(xì)分析，并在正式測(cè)試前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除或減弱到可忽略的程度。由于具體條件不同，在分析查找誤差源時(shí)，并無(wú)一成不變的方法，但以下幾方面是應(yīng)予考慮的：①所用基準(zhǔn)件、標(biāo)準(zhǔn)件（如量塊、刻尺、光波容器等）是否準(zhǔn)確可靠；②所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過(guò)檢定，并有有效周期的檢定證書(shū)；③儀器的調(diào)整、測(cè)件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理；④所采用的測(cè)量方法和計(jì)算方法是否正確，有無(wú)理論誤差；⑤測(cè)量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度、振動(dòng)、塵污、氣流等；⑥注意避免測(cè)量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。第四十七頁(yè)，共117頁(yè)。

（2）測(cè)量過(guò)程中采用適當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)方法替代法:用與被測(cè)對(duì)象處于相同條件下的已知量（標(biāo)準(zhǔn)量）來(lái)替代被測(cè)量，即先將被測(cè)量接入測(cè)試回路，使系統(tǒng)處于某個(gè)工作狀態(tài)，然后以已知量（標(biāo)準(zhǔn)量）替代之，并使系統(tǒng)的工作狀態(tài)保持不變。例如，利用電橋測(cè)量電阻、電感和電容等。被測(cè)量＝已知量（標(biāo)準(zhǔn)量）＋差值

第四十八頁(yè)，共117頁(yè)。

例：在紅顯上測(cè)螺紋的螺距、半角等參數(shù)，就是采用抵消法來(lái)消除恒定系統(tǒng)誤差的典型例子。如測(cè)螺距，左右各測(cè)一次，得與（正確值為P）為：，Δ為儀器兩頂尖不同心使被測(cè)螺紋件偏斜而產(chǎn)生的恒定系統(tǒng)誤差。將平均后，Δ即可抵消：補(bǔ)償法：通過(guò)兩次不同的測(cè)量，使測(cè)得值的誤差具有相反的符號(hào)，然后取平均值。第四十九頁(yè)，共117頁(yè)。對(duì)稱法：當(dāng)被測(cè)量為某量（如時(shí)間）的線性函數(shù)時(shí)，距相等的時(shí)間間隔依次進(jìn)行數(shù)次測(cè)量（至少三次），則其中任何一對(duì)對(duì)稱觀測(cè)值的累積誤差的平均值皆等于與兩次觀測(cè)的間隔中點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的累積誤差。第五十頁(yè)，共117頁(yè)。電位差計(jì)的原理電路第五十一頁(yè)，共117頁(yè)。（3）通過(guò)適當(dāng)?shù)母郊邮侄螌?duì)測(cè)量結(jié)果引入可能的修正量（4）通過(guò)若干人的重復(fù)測(cè)量來(lái)消除人員誤差第五十二頁(yè)，共117頁(yè)。（二）隨機(jī)誤差（RandomError）特征

在相同測(cè)量條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化的誤差。產(chǎn)生原因?qū)嶒?yàn)條件的偶然性微小變化，如溫度波動(dòng)、噪聲干擾、電磁場(chǎng)微變、電源電壓的隨機(jī)起伏、地面振動(dòng)等。

1.基本概念第五十三頁(yè)，共117頁(yè)。

隨機(jī)誤差的大小、方向均隨機(jī)不定，不可預(yù)見(jiàn)，不可修正。

雖然一次測(cè)量的隨機(jī)誤差沒(méi)有規(guī)律，不可預(yù)定，也不能用實(shí)驗(yàn)的方法加以消除。但是，經(jīng)過(guò)大量的重復(fù)測(cè)量可以發(fā)現(xiàn)，它是遵循某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。因此，可以用概率統(tǒng)計(jì)的方法處理含有隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)，對(duì)隨機(jī)誤差的總體大小及分布做出估計(jì)，并采取適當(dāng)措施減小隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。隨機(jī)誤差的性質(zhì)第五十四頁(yè)，共117頁(yè)。

隨機(jī)誤差是由很多暫時(shí)未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有以下幾方面：

①

測(cè)量裝置方面的因素②環(huán)境方面的因素

③人為方面的因素零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號(hào)處理電路的隨機(jī)噪聲等。溫度、濕度、氣壓的變化，光照強(qiáng)度、電磁場(chǎng)變化等。瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當(dāng)?shù)取５谖迨屙?yè)，共117頁(yè)。2.概率論是研究隨機(jī)誤差的理論基礎(chǔ)隨機(jī)事件在一定的條件組下進(jìn)行同一個(gè)試驗(yàn)，可能出現(xiàn)、也可能不出現(xiàn)的事件，稱為隨機(jī)事件。

隨機(jī)事件的概率

反映隨機(jī)事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)量指標(biāo)，便稱為概率。

第五十六頁(yè)，共117頁(yè)。3.隨機(jī)變量及其概率分布（1）隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果所決定的、反映試驗(yàn)條件的各種未估計(jì)到的波動(dòng)的變量。隨機(jī)變量的具體值在試驗(yàn)前不能確切預(yù)知，是一個(gè)隨機(jī)而定的值。就基本概念來(lái)說(shuō)，隨機(jī)事件是由試驗(yàn)結(jié)果所反映的可能出現(xiàn)或不出現(xiàn)的事件，是一種“定性”（出現(xiàn)或不出現(xiàn)）的概念；而隨機(jī)變量則是根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果而決定其值（具體值）的變量，是一種“定量”的概念。第五十七頁(yè)，共117頁(yè)。

類型：離散型和連續(xù)型

1）離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量是事先能夠給出可能值的隨機(jī)變量。

2）連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量是其可能值連續(xù)充滿某個(gè)區(qū)間、不能預(yù)定的隨機(jī)變量。第五十八頁(yè)，共117頁(yè)。第五十九頁(yè)，共117頁(yè)。（2）隨機(jī)變量的概率分布

為充分表征隨機(jī)變量，只知道可能有哪些值是不夠的，還應(yīng)知道這些值出現(xiàn)的可能性的大小，即與可能值相應(yīng)的概率P。描述隨機(jī)變量取各種可能值的概率的規(guī)律，稱為隨機(jī)變量的概率分布律，或概率分布。第六十頁(yè)，共117頁(yè)。

隨機(jī)誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有在非正態(tài)分布，而多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布。我們首先來(lái)分析服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的特性。設(shè)被測(cè)量值的真值為，一系列測(cè)得值為，則測(cè)量列的隨機(jī)誤差可表示為：(1)

1）正態(tài)分布式中第六十一頁(yè)，共117頁(yè)。

正態(tài)分布的分布密度與分布函數(shù)為

式中：σ——標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差）

e——自然對(duì)數(shù)的底，基值為2.7182……。它的數(shù)學(xué)期望為

它的方差為：（2）（3）（4）（5）第六十二頁(yè)，共117頁(yè)。其平均誤差為：

此外由

可解得或然誤差為：

（6）（7）第六十三頁(yè)，共117頁(yè)。由式（2）可以推導(dǎo)出：①有,可推知分布具有對(duì)稱性，即絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對(duì)稱性；②當(dāng)δ=0時(shí)有，即，可推知單峰性，即絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性；③雖然函數(shù)的存在區(qū)間是[-∞,+∞]，但實(shí)際上，隨機(jī)誤差δ只是出現(xiàn)在一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi)，即[-kσ,+kσ],稱為誤差的有界性；④隨著測(cè)量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于零：這稱為誤差的補(bǔ)償性。從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差都具有的四個(gè)特征：對(duì)稱性、單峰性、有界性、抵償性。由于多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布，因此正態(tài)分布在誤差理論中占有十分重要的地位。第六十四頁(yè)，共117頁(yè)。

下圖為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標(biāo)。σ值為曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，θ值為曲線右半部面積重心B的橫坐標(biāo)，ρ值的縱坐標(biāo)線則平分曲線右半部面積。

第六十五頁(yè)，共117頁(yè)。2)其它幾個(gè)重要隨機(jī)變量的概率分布形式二項(xiàng)分布泊松分布凱方分布t分布F分布第六十六頁(yè)，共117頁(yè)。第六十七頁(yè)，共117頁(yè)。第六十八頁(yè)，共117頁(yè)。

對(duì)某量進(jìn)行一系列等精度測(cè)量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，因此其獲得的測(cè)量值不完全相同，此時(shí)應(yīng)以算術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果。設(shè)為n次測(cè)量所得的值，則算術(shù)平均值為:

(8)

3.隨機(jī)誤差的表示方式（1）算術(shù)平均值第六十九頁(yè)，共117頁(yè)。

一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不可能按式（1）求得隨機(jī)誤差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的隨機(jī)誤差稱為殘余誤差，簡(jiǎn)稱殘差：(9)

此時(shí)可用更簡(jiǎn)便算法來(lái)求算術(shù)平均值。任選一個(gè)接近所有測(cè)得值的數(shù)作為參考值，計(jì)算每個(gè)測(cè)得值與的差值：(10)

式中的為簡(jiǎn)單數(shù)值，很容易計(jì)算，因此按（10）求算術(shù)平均值比較簡(jiǎn)單。

若測(cè)量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該測(cè)量總體期望的一個(gè)最佳的估計(jì)量，即滿足無(wú)偏性、有效性、一致性，并滿足最小二乘法原理；在正態(tài)分布條件下滿足最大似然原理。第七十頁(yè)，共117頁(yè)。例測(cè)量某物理量10次，得到結(jié)果見(jiàn)表，求算術(shù)平均值。

解：任選參考值=1879.65，計(jì)算差值和列于表,很容易求得算術(shù)平均值＝1879.64。序號(hào)123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01

第七十一頁(yè)，共117頁(yè)。（2）標(biāo)準(zhǔn)差（11）

可導(dǎo)出，測(cè)量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)差比單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差小倍，即（12）算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差第七十二頁(yè)，共117頁(yè)。

另外，由于標(biāo)準(zhǔn)差亦是一個(gè)隨機(jī)變量，其本身也具有一定的標(biāo)準(zhǔn)差，即所謂的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差：（13）

若測(cè)次數(shù)(N)足夠大()，測(cè)得值的平均值為，則測(cè)量列的總體標(biāo)準(zhǔn)差為（14）標(biāo)準(zhǔn)差是每個(gè)測(cè)得值的函數(shù)，對(duì)一系列測(cè)得值中的大小誤差的反映都比較靈敏，是表示測(cè)量的隨機(jī)誤差的較好方式，已被普遍采用。第七十三頁(yè)，共117頁(yè)。（3）誤差的其他表示平均誤差（15）該誤差形式的缺點(diǎn)是不能體現(xiàn)各次測(cè)得值之間的離散情況，因?yàn)椴还茈x散大小，都可能有相同的平均誤差。第七十四頁(yè)，共117頁(yè)。或然誤差ρ（概差）

在一組等精度的測(cè)量數(shù)列中，若某隨機(jī)誤差具有的特性是絕對(duì)值比它大的誤差個(gè)數(shù)與絕對(duì)值比它小的誤差個(gè)數(shù)相同，則稱此誤差為或然誤差。即：（16）第七十五頁(yè)，共117頁(yè)。極限誤差

極限誤差亦稱范圍誤差，是一系列測(cè)得值中的最大值與最小值之差，即誤差限(范圍)，通常表示為l。顯然，該誤差只反映了誤差限，而沒(méi)有反映測(cè)量次數(shù)的影響，難以體現(xiàn)誤差的隨機(jī)性及其概率。上述的隨機(jī)誤差的各種表示方式，有的已不多用，甚至基本不用，最常用的是標(biāo)準(zhǔn)差。第七十六頁(yè)，共117頁(yè)。（4）標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種計(jì)算方法在等精度測(cè)量時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算在實(shí)際測(cè)量中，由于隨機(jī)誤差的真值通常無(wú)法求得，故計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差以殘差來(lái)代替。第七十七頁(yè)，共117頁(yè)。①貝塞爾(Bessel)公式

設(shè)xi為某量x0的等精度測(cè)量的測(cè)得值，測(cè)量次數(shù)為n，即i=1～n次，算術(shù)平均值為則根據(jù)定義：第七十八頁(yè)，共117頁(yè)。將以上各式平方后相加得第七十九頁(yè)，共117頁(yè)。因?yàn)椋核裕旱诎耸?yè)，共117頁(yè)。所以——貝塞爾公式，由殘差求單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差。（17）第八十一頁(yè)，共117頁(yè)。例1：第八十二頁(yè)，共117頁(yè)。第八十三頁(yè)，共117頁(yè)。第八十四頁(yè)，共117頁(yè)。②彼特斯(C．A．F．Peters)公式（18）第八十五頁(yè)，共117頁(yè)。當(dāng)n足夠大時(shí)（19）第八十六頁(yè)，共117頁(yè)。數(shù)據(jù)同例1：第八十七頁(yè)，共117頁(yè)。③用極差法計(jì)算σ

在一列等精度測(cè)量的測(cè)得值中，其最大值與最小值的差值稱為極差R。即：用極差來(lái)估計(jì)σ用貝賽爾公式和別捷爾斯公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差均需先求算術(shù)平均值，再求殘余誤差，然后進(jìn)行其他運(yùn)算，計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜。當(dāng)要求簡(jiǎn)便迅速算出標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，可用極差法。（20）第八十八頁(yè)，共117頁(yè)。第八十九頁(yè)，共117頁(yè)。因此，σ的更粗略估計(jì)為（21）第九十頁(yè)，共117頁(yè)。④用最大誤差法計(jì)算在某些情況下，我們可以知道被測(cè)量的真值或滿足規(guī)定精度的用來(lái)代替真值使用的量值（稱為實(shí)際值或約定值），因而能夠算出隨機(jī)誤差，取其中絕對(duì)值最大的一個(gè)值，當(dāng)各個(gè)獨(dú)立測(cè)量值服從正態(tài)分布時(shí)，則可求得關(guān)系式：一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不能按（22）式求標(biāo)準(zhǔn)差，應(yīng)按最大殘余誤差進(jìn)行計(jì)算，其關(guān)系式為：

式（22）和（23）中兩系數(shù)、的倒數(shù)見(jiàn)下表。（22）（23）第九十一頁(yè)，共117頁(yè)。n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44最大誤差法簡(jiǎn)單、迅速、方便，且容易掌握，因而有廣泛用途。當(dāng)時(shí)，最大誤差法具有一定精度。

仍用例1表的測(cè)量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標(biāo)準(zhǔn)差，則有，而

故標(biāo)準(zhǔn)差為第九十二頁(yè)，共117頁(yè)。例2：解：因后測(cè)得的波長(zhǎng)是用更精確的方法，故可認(rèn)為其測(cè)得值為實(shí)際波長(zhǎng)(或約定真值)，則原檢定波長(zhǎng)的隨機(jī)誤差為：第九十三頁(yè)，共117頁(yè)。四種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn)

①貝塞爾公式的計(jì)算精度較高，但計(jì)算麻煩，需要乘方和開(kāi)方等，其計(jì)算速度難于滿足快速自動(dòng)化測(cè)量的需要；②別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺(tái)，它的計(jì)算速度較快，但計(jì)算精度較低，計(jì)算誤差為貝氏公式的1.07倍；③用極差法計(jì)算σ，非常迅速方便，可用來(lái)作為校對(duì)公式，當(dāng)n<10時(shí)可用來(lái)計(jì)算σ，此時(shí)計(jì)算精度高于貝氏公式；④用最大誤差法計(jì)算σ更為簡(jiǎn)捷，容易掌握，當(dāng)n<10時(shí)可用最大誤差法，計(jì)算精度大多高于貝氏公式，尤其是對(duì)于破壞性實(shí)驗(yàn)(n=1)只能應(yīng)用最大誤差法。第九十四頁(yè)，共117頁(yè)。（5）多次測(cè)量的測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

在多次測(cè)量的測(cè)量列中，是以算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，因此必須研究算術(shù)平均值不可靠的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。如果在相同條件下對(duì)同一量值作多組重復(fù)的系列測(cè)量，每一系列測(cè)量都有一個(gè)算術(shù)平均值，由于隨機(jī)誤差的存在，各個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值也不相同，它們圍繞著被測(cè)量的真值有一定的分散，此分散說(shuō)明了算術(shù)平均值的不可靠性，而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差則是表征同一被測(cè)量的各個(gè)獨(dú)立測(cè)量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。

第九十五頁(yè)，共117頁(yè)。(24)

即在n次測(cè)量的等精度測(cè)量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差的，當(dāng)n愈大，算術(shù)平均值越接近被測(cè)量的真值，測(cè)量精度也愈高。增加測(cè)量次數(shù)，可以提高測(cè)量精度，但測(cè)量精度是與n的平方根成反比，因此要顯著提高測(cè)量精度，必須付出較大的勞動(dòng)。由圖可知,σ一定時(shí)，當(dāng)n>10以后，的減小很慢。此外，由于增加測(cè)量次數(shù)難以保證測(cè)量條件的恒定，從而引入新的誤差，因此一般情況下取n=10以內(nèi)較為適宜。總之，提高測(cè)量精度，應(yīng)采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y(cè)量次數(shù)。第九十六頁(yè)，共117頁(yè)。第九十七頁(yè)，共117頁(yè)。第九十八頁(yè)，共117頁(yè)。（三）粗大誤差（GrossError）指明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期值的誤差。又稱為疏忽誤差、過(guò)失誤差或簡(jiǎn)稱粗差。定義產(chǎn)生原因某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。

測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤，測(cè)量操作疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯(cuò)讀數(shù)或單位、記錄或計(jì)算錯(cuò)誤等）

測(cè)量條件的突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機(jī)械沖擊和振動(dòng)等）。由于該誤差很大，明顯歪曲了測(cè)量結(jié)果。故應(yīng)按照一定的準(zhǔn)則進(jìn)行判別，將含有粗大誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。第九十九頁(yè)，共117頁(yè)。判別粗大誤差的準(zhǔn)則在測(cè)量過(guò)程中，確實(shí)是因讀錯(cuò)記錯(cuò)數(shù)據(jù)，儀器的突然故障，或外界條件的突變等異常情況引起的異常值，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，就應(yīng)在記錄中除去，但需注明原因。這種從技術(shù)上和物理上找出產(chǎn)生異常值的原因，是發(fā)現(xiàn)和剔除粗大誤差的首要方法。有時(shí)，在測(cè)量完成后也不能確知數(shù)據(jù)中是否含有粗大誤差，這時(shí)可采用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行判別。統(tǒng)計(jì)法的基本思想是：給定一個(gè)顯著性水平，按一定分布確定一個(gè)臨界值，凡超過(guò)這個(gè)界限的誤差，就認(rèn)為它不屬于偶然誤差的范圍，而是粗大誤差，該數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除。在判別某個(gè)測(cè)得值是否含有粗大誤差時(shí)，要特別慎重，應(yīng)作充分的分析和研究，并根據(jù)判別準(zhǔn)則予以確定。常用的判別準(zhǔn)則有：準(zhǔn)則準(zhǔn)則是最常用也是最簡(jiǎn)單的判別粗大誤差的準(zhǔn)則，它是以測(cè)量次數(shù)充分大為前提，但通常測(cè)量次數(shù)比較少，因此該準(zhǔn)則只是一個(gè)近視的準(zhǔn)則。實(shí)際測(cè)量中，常以貝塞爾公式算得，以代替真值。對(duì)某個(gè)可疑數(shù)據(jù)，若其殘差滿足：則可認(rèn)為該數(shù)據(jù)含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。（17）第一百頁(yè)，共117頁(yè)。在n≤10的情形，用準(zhǔn)則剔除粗誤差注定失敗。為此，在測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，最好不要選用準(zhǔn)則。下表是準(zhǔn)則的“棄真”概率，從表中看出準(zhǔn)則犯“棄真”錯(cuò)誤的概率隨n的增大而減小，最后穩(wěn)定于0.3%。

例對(duì)某量進(jìn)行15次等精度測(cè)量，測(cè)得值如下表所列，設(shè)這些測(cè)得值已消除了系統(tǒng)誤差，試判別該測(cè)量列中是否含有粗大誤差的測(cè)得值。

表表準(zhǔn)則“棄真”概率an11 1661121333a0.0190.0110.0050.0040.003 序號(hào)12345678910111213141520.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40+0.016+0.026-0.004+0.026+0.016+0.026-0.014-0.104-0.004+0.026+0.016+0.006-0.014-0.014-0.0040.0002560.0006760.0000160.0006760.0002560.0006760.0001960.0108160.0000160.0006760.0002560.0000360.0001960.0001960.000016+0.009+0.019-0.011+0.019+0.009+0.019-0.021——-0.011+0.019+0.009-0.001-0.021-0.021-0.0110.0000810.0003610.0001210.0003610.0000810.0003610.000441——0.0001210.0003610.0000810.0000010.0004410.0004410.000121第一百零一頁(yè)，共117頁(yè)。

由表可得根據(jù)準(zhǔn)則，第八測(cè)得值的殘余誤差為：即它含有粗大誤差,故將此測(cè)得值剔除。再根據(jù)剩下的14個(gè)測(cè)得值重新計(jì)算，得：

剩下的14個(gè)測(cè)得值的殘余誤差均滿足,故可以認(rèn)為這些測(cè)得值不再含有粗大誤差。第一百零二頁(yè)，共117頁(yè)。格拉布斯準(zhǔn)則