高考模擬題分類匯編：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

專題：高考模擬題分類匯編：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1.(2011北京朝陽區(qū)期末)

下列函數(shù)中，在(-1,1)內(nèi)有零點且單調(diào)遞增的是(B)

(A)y=log,x(B)y=2X-1(C)y=x2-—(D)y=-x'

22

2.(2011北京朝陽區(qū)期末)

I—Cl

已知函數(shù)f(x)=\nx-ax^--------1(aeR).

x

(I)當(dāng)〃二一1時，求曲線y=/(x)在點(2,7(2))處的切線方程；

(口)當(dāng)0Wa<g時，討論/(x)的單調(diào)性.

2

解：(I)當(dāng)“=-1時，/(x)=lnx+x+—1,x?(0,?).

x

X2+X-2

所以「(%)=*+：，x?(0,?)............(求導(dǎo)、定義域各一分)2分

因此/'(2)=1.即曲線)，=/(x)在點(2,/(2))處的切線斜率為1..............3分

又/(2)=ln2+2,....................................................................4分

所以曲線>=/(x)在點(2,/(2))處的切線方程為x-y+ln2=0..........5分

\—Cl

(n)因為/(x)=lnx-ax+--------1,

x

aax

nr..ir/zX]~1^-x+l-aQo公

所以/(x)=_?Q+——=------------3--------，x?(°,?)?..............7分

XXX

令g(x)=ax-1-a,x?(0,?),

①當(dāng)〃=0時，g(x)=-x+l,x?(0,?),

當(dāng)xi(0,1)時，g(x)>0,此時尸(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;...8分

當(dāng)X6(1,+00)時，g(x)<0,此時尸(x)〉0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增.9分

②當(dāng)0<。<,時，由/'(x)=0即a/—X+1—。=0解得斗=1,x2=--1.

2"a

此時L-1>1>0,

a

所以當(dāng)xi(0,1)時，g(x)>0,此時/'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；…10分

xe(l,，一1)時，g(x)<0,此時/'(x)〉0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增：……11分

a

xe(--l,+8)時，g(x)>0,此時/'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減.…12分

a

綜上所述：

當(dāng)。=0時，函數(shù)/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+?)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<。<1時，函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,工-1)上單調(diào)遞增；在('-1,+?)

2aa

上單調(diào)遞減.............................

3.(2011北京朝陽區(qū)期末)

/(x)x>0,

已知函數(shù)/(》)=如92+云+1(a,6為實數(shù)，。工0,xeR),F(x)=f

-/(x)x<0.

(I)若/(—1)=0,且函數(shù)/(x)的值域為［0,+8),求尸(x)的表達(dá)式；

(II)在(I)的條件下，當(dāng)xw［—2,2］時，g(x)=/(x)-履是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)人

的取值范圍；

(III)設(shè)m+n>Q,a>0,且函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，判斷/?！?+尸。?)是

否大于0?

解：(I)因為/(—1)=0,所以。一匕+1=0.

a>0,

因為/(X)的值域為［0,+8)，所以4—0................2分

所以從一-1)=0.解得匕=2,a=l.所以/(x)=(x+l)2.

LLIf(x+l)2X>0,

所以/(x)=1o..........................4分

［-(x+1)~x<0.

(II)因為g(x)=/(x)-履=/+2x+l-b;=x2+(2-k)x+l

=a+n+i——..................6分

24

k-1"-2

所以當(dāng)25*e2或￡5?遼-2時8(口單調(diào).

即k的范圍是(-?,2］或［6,+?)時，g(x)是單調(diào)函數(shù)...........8分

(III)因為/(x)為偶函數(shù)，所以小)=++1.

~axx>0,

所以/(x)={..................................10分

-axx<0.

因為mn<0,依條件設(shè)m>0,則〃<0.

又加+鹿>0,所以機>一〃>0.

所以網(wǎng)〉卜小.............................................12分

止匕時/(〃2)+F(n)=f一f(n)=am2+l-an2-1=a(f?i2-n2)>0.

即歹(m)+尸(〃)>0....................................13分

4.(2011北京豐臺區(qū)期末)

設(shè)偶函數(shù)/(x)在［0,+8)上為增函數(shù)，且/(2>/(4)<0,那么下列四個命題中一定正確的

是(D)

A.7(3)-/(5)>0

B./(-3)>/(-5)

C.函數(shù)在點(-4,7(-4))處的切線斜率4<0

D.函數(shù)在點(4,/(4))處的切線斜率&220

5.(2011北京豐臺區(qū)期末)

定義方程/(x)=/'(x)的實數(shù)根Xo叫做函數(shù)/(X)的“新駐點”，如果函數(shù)g(x)=x,

h(x)=ln(x+l),(p{x)=cosx(xw(］,兀))的"新駐點”分別為a,(3,y,那么a,

B,y的大小關(guān)系是(，>a>￡).

6.(2011北京豐臺區(qū)期末)

設(shè)函數(shù)/(x)=(l+x)2—21n(l+x).

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)當(dāng)0vav2時,求函數(shù)g(x)=/(x)—―-仆一1在區(qū)間［0,3］上的最小值.

解：(I)定義域為(—1,+8).

ru)=2(i+x)—

x+1x+1

令;(x)>0,則2x(三2)〉0,所以x<—2或x>0.

x+1

因為定義域為(—1,+8)，所以X>0.

令;(x)<0,則2x(葉2)<0,所以一2<x<0.

x+1

因為定義域為(—1,+8)，所以—l<x<0.

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為

(-1,0).................7分

(II)g(x)=(2-a)x-21n(l+x)(x>-1).

、2C2—a)x-a

g'(X)=(2_a)x_—=——.

1+xX+x

因為0vav2,所以2—。>0,—a—>0.

2-a

令g'(x)>0可得0,

2-a

所以函數(shù)g(x)在(0,」一)上為減函數(shù)，在(」一,+8)上為增函數(shù).

2-a2-a

a

①當(dāng)0<，一<3,即0<“<士時，

2-a2

在區(qū)間［0,3］上，g(x)在(0,」一)上為減函數(shù)，在(」一,3)上為增函數(shù).

2-a2-a

所以g(x)min=g(y^-)=a—21n^--

2-a2-a

a

②當(dāng)，一N3,即士4a<2時，g(x)在區(qū)間(0,3)上為減函數(shù).

2-a2

所以g(x)min=g(3)=6-3a-21n4.

32

綜上所述，當(dāng)0<。<2時，g(x)min=a-21n——：

22-a

3

當(dāng)-<a<2時，

2

og(\xz)min=6-3〃-21n4.14分

7.（2011北京西城區(qū)期末）

對于函數(shù)①/（x）=4x+—5,②/（x）=|log2x|-（g『，?/（%）=cos（x+2）-cosx,

判斷如下兩個命題的真假：

命題甲：/（X）在區(qū)間（1,2）上是增函數(shù)；

命題乙：/（X）在區(qū)間（0,+8）上恰有兩個零點玉，且斗工2＜1.

能使命題甲、乙均為真的函數(shù)的序號是（D）

（A）①（B）②（C）①③（D）①②

8.（2011北京西城區(qū)期末）

已知函數(shù)/（x）=-（2a+l）x+2lnx（aeR）.

（1）若曲線），=/*）在》=1和工=3處的切線互相平行，求。的值：

（11）求/。）的單調(diào)區(qū)間；

（III）設(shè)g（x）=f-2x,若對任意玉w（0,2],均存在％G（0,2],使得〃％）＜g（無2），

求a的取值范圍.

2

解：/'(x)=ax—(2〃+1)H—(%>0)............2分

x

2

(I)r(1)=/(3),解得。=1............3分

(II)f'(x)=(x>0)............5分

X

①當(dāng)〃V0時，x>0,ax—1<0,

在區(qū)間(0,2)上，/r(x)>0；在區(qū)間(2,+8)上廣(x)<0,

故/。)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+8)............6分

②當(dāng)0＜。＜!時，-＞2,

2a

在區(qū)間（0,2）和（L+8）上，r（x）〉o；在區(qū)間（2―）上（（x）＜o(jì),

aa

故/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)和(L,+00),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,L)........7分

aa

③當(dāng)。時，尸(x)=(x二2匚,故/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+00).....8分

22x

④當(dāng)ci>—時，0<—<2,

2a

在區(qū)間(0,L)和(2,+00)上，r(x)>0；在區(qū)間(1,2)上r(x)<0,

aa

故/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,L)和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(4,2)......9分

aa

(HI)由已知，在(0,2］上有/(x)1rax<g(x)1rax............10分

由已知，g(X)ma、=0，由(H)可知，

①當(dāng)awg時，/(X)在(0,2］上單調(diào)遞增，

故/(x)max=/(2)=2。一2(2〃+1)4-2In2=一2〃一2+21n2,

所以，-2a-2+21n2<0,解得a>ln2-l,故In2—l<a44..........11分

2

②當(dāng)時，/(x)在((),,］上單調(diào)遞增，在1,2］上單調(diào)遞減，

2aa

故/(x)max=/(,)=-2-白-21na.

a2a

由a>,可知Ina〉In-〉In—=一1,2Ina>-2,-21nu<2,

22e

所以，—2—21na<0,/(x)max<0,...........13分

綜上所述，a〉ln2—1.

9.(2011巢湖一檢)下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是(B)

A.y=--B.y=V+3'_3TC.y=logxD.y=3V

x3

2

10.(2011巢湖一檢)已知函數(shù)/(x)=log2(4+V16-x),命題p：

2,

F/wR,使f(xo)+af(xa)+l=O,,則在區(qū)間［-4,1］上隨機取一個數(shù)a,命題p為真命題的概

率為(B)

11.(2011巢湖一檢)求定積分。3一29=g.

12.(2011巢湖一檢)己知/(X)=x+asinx.

(1)若〃外在(-00,+00)上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(H)當(dāng)常數(shù)a>0時，設(shè)g(x)=&,求g(x)在工，至上的最大值和最小值.

x166

解：(i)???/a)在(-oo,+8)上為增函數(shù)，

=1+QCOSX20對XG(-00,+8)'恒成立.................2

令f=cosx,則1+afN0對fw[-1,1]恒成立，

.J,解得-14a41,

[l+a-l>0

???實數(shù)。的取值范圍是[-1,1].................................6分

/XM/^n_L/、f(x)?asinx.，/、a(xcosx-sinx)

(HTT)當(dāng)a>0時,g(x)=^^=l+-------,??g'(x)=-----------；---------、.............................8n分

XXX

i己Mx)=xcosx-sinx,xe(0、則〃'(x)=-xsinx<0對xw(0,))'恒成立，

/?(x)在xe(0,左)上是減函數(shù)，；?/z(x)<//(0)=0,即g<x)<0,

...當(dāng)a>0時，g(x)=△立在(0,萬)上是減函數(shù)，得g(x)在上，之口上為減函數(shù).

x1_66_

...當(dāng)x=工時，g(x)取得最大值1+四；當(dāng)“紅時，g(x)取得最小值1+出■.

6n657r

13.(2011承德期末)函數(shù)/(x)=±^-的定義域是(D)

2x-x—1

A,卜卜一苴B-{%|X>4}

C.，戈卜w且XW11D.卜卜>且XW1}

14.(2011承德期末)曲線y=xln%在點(e,e)處的切線方程為(A)

A.y-2x-eB.y--2x-ec.y-2x+eD.y=-x-1

15.(2011承德期末)若〃一/?!表示<〃)的區(qū)間長度，函數(shù)

/(%)=JF+?(a〉0)的值域區(qū)間長度為2(血一1)，則實數(shù)。的值是(A)

A.4B.2C.V2D.1

16.(2011承德期末)

設(shè)定義在R上的函數(shù)/(%)滿足:①對任意的實數(shù)%,yGR,有/(x+y)=/(x)/(y);

②當(dāng)x>0時，/(x)>1.數(shù)列｛?！埃凉M足a,=/(0),_&/(??,)=--(〃eN)?

(I)求證：〃制=1，并判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

f(~x)

(II)令”是最接近日的正整數(shù)，叫向N*)，設(shè)

111七

T=上+++…++(〃wAT)，求

"b、b2bn

T1000?，

解：(1)令y=0,x=l,/(l)(l-/(0))=0.

vy(i)>i/(0)=l.:%>0時，/(x)>1.

1=/(0)=f(-x+x)=/(-x)/(x).A/(X)=..........3分

x<0時,0</(x)<1/.xGR口寸，/(x)>0

設(shè)

x,<x2,f(x2)=/[%,+(x2-X.)]=/(X,)/(x2-X,)

而-陽

z>0,/(x2-X,)>1/(x2)=/(x,)/(x2-x,)>/(%,)

.../(龍)在R上是增函數(shù).............6分

(2)a,=/(O)=l,/K,)=,/-(?+1)

?.?a.M=a”+l，a“=〃(〃eN)

令b=k(k&N4),k-—<4n<k+—即％?一%+J_<〃<人2+攵+，.

"2244

?.?女,〃都是正整數(shù)，，攵2一攵+1(〃(左2+人.

二滿足瓦=上的正整數(shù)〃，有/+左一(/—左+1)+1=2攵(個)

312<1000<322322-32+1=993

.111C,“1/1〃1。1/J

T,W￥,=——I——+…H-----=2xl+4x—+6x-+…+62x——+8x——=62—

hb2bm02331324

12分

17.（2011承德期末）

已知函數(shù)/（x）=—_L/+”—2x—2在區(qū)間［一1,1］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［1,2］上

43

單調(diào)遞增.

（I）求實數(shù)a的值；

（II）若關(guān)于％的方程/（2'）=機有三個不同實數(shù)解，求實數(shù)機的取值范圍；

(Ill)若函數(shù)y=log1/(x)+p］的圖象與坐標(biāo)軸無交點，求實數(shù)p的取值范圍.

解：(I)..?函數(shù)/(x)在區(qū)間［一1,1］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增,

，X=1為其極小值點，/'⑴=0,........3分

121

(II)由(1)得f(x)———x1H—XH--X'_2x—2

432

f\x)=-%，+lx'+x-2=-(x一-2)(x+1)

58

可得函數(shù)/(%)的極大值為/(-1)=--,/(2)=--,極小值為/(1)=

?.?關(guān)于%的方程/(2')=加有三個不同實數(shù)解，令2'=，。＞0),即關(guān)于f的方程

/?)=加在fc(0,+8)上有三個不同實數(shù)解，即y=/Q)的圖象與直線y=機在

/e(0,+oo)上有三個不同的交點，畫出y=/Q)的圖像，觀察可得一378

517

綜合①②得——<p<一

1212

18.(2011東莞期末)

已知函數(shù)/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，那么下列式子中

對任意xeR恒成立的是(D)

A./(x+l)=/(x)

B./(x+2)=/(x)

C./(x+3)=/(x)

D./(x+4)=/(x)

19.(2011東莞期末)

為了預(yù)防流感，某段時間學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒.設(shè)藥物開始釋放后第r小時教室

內(nèi)每立方米空氣中的含藥量為y毫克.已知藥物釋放過程中，教室內(nèi)每立方米空氣中的

（1）求從藥物釋放開始每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系

式；

（2）按規(guī)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學(xué)生方可3"'一加’

（第17題圖）

從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少時間，學(xué)生才能回到教室？

解：（1）解：函數(shù)圖象由兩線段與一段指數(shù)函數(shù)圖象組成，兩曲線交于點（0.1,1）,故嶼（0,

0.1］時，由y（毫克）與時間t（小時）成正比，可設(shè)

y=kt,......................2分

所以有l(wèi)=0.U,即左=10,

片10t；......................4分

^[0.1,+8)時，將(0.1,1）代入y

故所求函數(shù)關(guān)系為：

10//€(0,0,1]

te[0.1,+oo)

10分

-5(t——)<-2即0.5小時以

10

11分

答：至少30分鐘后，學(xué)生才能回到教

12分

20.（2011東莞期末）

已知函數(shù)/（x）=2a2Inx-x2（常數(shù)a>0）.

（1）求證：無論。為何正數(shù)，函數(shù)/（x）的圖象恒過點A（l,-1）；

（2）當(dāng)a=l時，求曲線y=/（x）在x=l處的切線方程；

（3）討論函數(shù)/（x）在區(qū)間（Ie?）上零點的個數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

解：⑴?.?/⑴=2"inl—1=0-1=-1

，無論。為何正數(shù)，函數(shù)/(x)的圖象恒過點

.......2分

⑵當(dāng)a=l時，f(x)=2\nx-x2,

'''f'M=--2x.

X

⑴=0.

.......3分

又???/⑴=-1，

曲線y=/(x)在點x=l處的切線方程為

y+1=0.....................4分

⑶/(x)=2a2\nx-x2,所以

2a②.2/—2x2

=-----2x=--------

xx

-2(x-a)(x+a)

x

5分

因為尤>0,a>0,

于是當(dāng)0<x<a時，/'(x)〉0)當(dāng)x>a時，

/'(x)<0.....................6分

所以/(x)在(0,可上是增函數(shù)，在［a,+00)上是減函

數(shù).......................7分

所以，

/(x)max=/(a)=/(21na-l).....................8

分

討論函數(shù)/(X)的零點情況如下.

①當(dāng)。2(21na—l)<0,即0<a<五時，函數(shù)/(x)無零點，在(Le?)上也無零

點；........9分

②當(dāng)"Qlna-1)=0,即。=五時，函數(shù)/(x)在(0,+8)內(nèi)有唯一零點a,

而1<a=&<e?,

，/(x)在(11)內(nèi)有一個零

點；......................10分

③當(dāng)/Qin。-1)>0,即。>五時,

由于/⑴=—1<0,/(a)=a2(21na-l)>0,

f(e2)-2a2Ine2—e4—4a2—e4=(2a—e2)(2a+e2)>

22

當(dāng)2a—6一<0時，即<a<]■時，1<<a<]?<《，f(^')<0)由單調(diào)性可

知，函數(shù)〃x)在(l,a)內(nèi)有唯一零點再、在(。42)內(nèi)有唯一零點天2滿足，/(x)在

(1"2)內(nèi)有兩個零點；…11分

2

當(dāng)2a—0220時，即時，/(e2)>0,而且

f(4e)=2a2--e=a2-e>0,/(1)=—1<0由單調(diào)性可知，無論aNe?還是

a<e2,/(x)在(1,〃)內(nèi)有唯一的一個零點，在［J7,/)內(nèi)沒有零點，從而/(x)在

(Ie?)內(nèi)只有一個零點；......................13分

(注：這一類的討論中，若沒有類似“/(〃)>0來說明唯一零點在(1,及)內(nèi)”的這一

步，則扣去這2分)

綜上所述，有：

當(dāng)0<a<J7時，函數(shù)/(x)無零點；

2

當(dāng)。=人或。2/時，函數(shù)/(%)有一個零點；

當(dāng)Ve<67<y時，函數(shù)/(X)有兩個零

點........................

21.(2011佛山一檢)已知三次函數(shù)〃》)=辦3+敬2+cx(^a,b,ceR).

(1)若函數(shù)/(x)過點(―1⑵且在點(1處的切線方程為y+2=0,求函數(shù)/(x)

的解析式；

(H)在(I)的條件下，若對于區(qū)間［-3,2］上任意兩個自變量的值知馬都有

|/(x,)-/(x2)|<r,求實數(shù)f的最小值；

(III)當(dāng)-14x41時，試求。的最大值，并求。取得最大值時/(x)的表

達(dá)式.

解：(I)..?函數(shù)/(x)過點(一1,2),1)=-“+匕—c=2,①

又f'(x)=3ax2+2bx+c,函數(shù)/(X)點(1,3(1))處的切線方程為y+2=0,

.-2Ja+"c=-2

l/,(l)=0［3a+2b+c=0

由①和②解得a=l,b=0,c=—3,故/(X)=X3_3X

------------------------4分

(n)由(I)f'(x)=3x2-3,令/'(x)=0,解得x=±l,

???/(-3)=-18,/(-1)=2,f(l)=-2,/⑵=2,

在區(qū)間［—3,2］上人穌(X)=2,就(x)=-18,

...對于區(qū)間［一3,2］上任意兩個自變量的值和％，If(x,)-f(x2)l<20,

t>20從而，的最小值為20

........................8分

(IH)f'(x)=3ax2+2bx+c,

]'(0)=c

則,f'(-l)=3a-2b+c,可得64=/'(_1)+/'(1)_2/'(0).

/'⑴=3a+2b+c

?.?當(dāng)TWxWl時，，.?.，(一1心1,『(0)區(qū)1,『⑴田,

.??61a1=|f(-1)+/⑴-2/\0)|<|/,(-D|+1/,(1)|+2|/\0)|<4,

22

故。的最大值為

33

]r(o)|=M=i

2

當(dāng)時，，<|/Z(—I)|=|2-2Z?+c|=1,解得b=0,c=—1,

夕⑴l=|2+28+d=i

二.a取得最大值時

2

/(x)=—x3-x,------------------------14分

22.(2011福州期末)如圖，有一直角墻角，兩

邊的長度足夠長，在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是

am(0<a<12),4m,不考慮樹的粗細(xì),現(xiàn)在用16m長

的籬笆，借助墻角圍成一個矩形的花圃ABCD。設(shè)此矩形

花圃的面積為Sr^,S的最大值為/(a),若將這棵樹圍

在花墻內(nèi)，則函數(shù)a=/(a)的圖象大致是

23.(2011福州期末)設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為實數(shù)集R,對于給定的正數(shù)人，定

"(X)(/(x)WA),

義函數(shù)￡(x)=《，給出函數(shù)/(x)=—f+2,若對于任意的

xe(—8,+8),恒有A(x)=/(x),貝Ij(B)

A.k的最大值為2B.k的最小值為2

C.k的最大值為1D.k的最小值為1

24.(2011福州期末)設(shè)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/⑵=0,當(dāng)x>0時，有

寸(x)；/(x)<0恒成立,則不等式//(制〉0的解集為(-00,-2)U(0,2)

X

25.(2011福州期末)已知函數(shù)f(x)--x3+ax2+8x+c在(-8,0)

上是減函數(shù)，在(0,1)上是增函數(shù)，函數(shù)/(X)在R上有三個零點，且1是其中一個零

點。

(I)求b的值；

(II)求/(2)的取值范圍；

(III)設(shè)g(x)=x—1,且/(x)>g(x)的解集為(-8,1),求實數(shù)。的取值范圍。

解：(I)=f(x)=—(x)=-3x2+lax+b.1分

?."(x)在在(一8,0)上是減函數(shù)，在(0,1)上是增函數(shù)，

...當(dāng)x=0時，f(x)取到極小值，即/'(0)=0.r.b=0.3分

(n)由(1)知，f(x)=—Z+a^+c,

是函數(shù)f(x)的一個零點，即f(1)=0,；.c=1-a.5分

2

???/'(X)=-3x+2ax=0的兩個根分別為%,=0,x2=y.

■：f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，且函數(shù)f(x)在R上有三個零點,

2a1口門3r八

***=—>1,即〃>—.7?分

-32

/(2)=-8+4a+(l-a)=3a-7>――.

故f(2)的取值范圍為*+8).9分

3

(III)解法1：由(n)^n/(x)=-x3+ax2+l-G,且”>萬.

???1是函數(shù)/(x)的一個零點，.?."1)=0,

,?*g(x)=x-l,二g(l)=0，

?,?點(1,0)是函數(shù)和函數(shù)g(x)的圖像的一個交點.10分

結(jié)合函數(shù)/(x)和函數(shù)g(x)的圖像及其增減特征可知，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)"X)和函數(shù)g(x)

的圖像只有一個交點(1,0)時，/(x)>g(x)的解集為(-oo,l).

fy=x-l,[x=\

即方程組'9(1)只有一個解I.11分

[y=-x+〃尸+1—〃[y=o

323

由一X+ax4-1-^=%-1,得(r一])一。(冗2一])+(工一])=o

即(x—1乂%-+X+1)_Q(X_1)(X+1)+(X-1)=0.

即(1-1)[工2+(]-Q)X+(2-。)]=0.

...X=1或冗2+(1—a)x+(2—4)=0.12分

由方程/+(l—a)x+(2-a)=0,(2)

23

得△=(1一〃)一4(2—〃)=+2a—7.,?*tz>—,

當(dāng)△<(),即/+2。一7<0,解得3<。<20一113分

2

此時方程(2)無實數(shù)解，方程組(1)只有一個解!尢=1.

[y=。

所以j。<2^2-1時，y(x)>g(x)的解集為(—00,1).14分

3

32

(III)解法2：由(n)^f(x)=-x+ax+l-a,且〃>5.

V1是函數(shù)/(x)的一個零點

/.f(x)=-(x-l)[x2+

又f(x)>g(x)的解集為(-8,1),

/./(x)-g(x)=-(x-l)[x2+(1-Q)x+2-Q]〉0解集為t，ool)[0分

二.冗2+(1—+2-Q>0怛成乂11分

A=(1-(7)2-4xlx(2-a)<012分

/.Q~+2〃-7<0/.(a+1)<8

又的取?fi瓢;扁為"2四-1.5f-272-1^14分

22{2)

26.（2011廣東廣雅中學(xué)期末）

JI(Vl-x2+x)dx-(B)

?nn

A.71B.—C.〃+1D.7T—1

2

27.（2011廣東廣雅中學(xué)期末）

如圖放置的邊長為1的正三角形PAB沿x軸滾動，設(shè)頂點A(x,y)

的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式是y=/（x）,則/（x）在區(qū)間［-2,1］上的解析式是

（說明：“正三角形P43沿x軸滾動”包括沿x軸正方

向和沿x軸負(fù)方向滾動.沿x軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點B

落在x軸上時，再以頂點S為中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù).；類似地，正三角形PA8也可

以沿x軸負(fù)方向逆時針滾動）

28.（2011廣東廣雅中學(xué)期末）

某園林公司計劃在一塊。為圓心,R（R為常數(shù)，單位為米）為半徑的半圓形（如圖）地上種植

花草樹木，其中弓形CMDC區(qū)域用于觀賞樣板地，AOCD區(qū)域用于種植花木出售，其余

區(qū)域用于種植草皮出售.已知觀賞樣板地的或本是每平方米2元，花木的利津是每平方米

8元，草皮的型洞是每平方米3元.

（1）設(shè)/coo=e（單位：弧度），，用e表示弓形cMoc的面積s弓=/（e）；

（2）園林公司應(yīng)該怎樣規(guī)劃這塊土地,才能使總利潤最大？并求相對應(yīng)的e

（參考公式:扇形面積公式S==J表示扇形的弧長）

【解析】(1)s.=#sim

2

St4=/(61)=l/?(6(-sin61)...........3分

(2)設(shè)總利潤為y元，草皮利潤為月元，花木地利潤為力，觀賞樣板地成本為外

2

%=3(；乃R2_(R2e),%=gR2sin0.8,j3=1/?(^-sin^).2,

1,1,1,1,

y=月+%一%=3(]乃H--R田+5R2sin"8—萬R2(G_sin6)?2.

=-/?2[3^--(5^-lOsin0)]...........8分

2

設(shè)g(e)=56—10sin。。€(0,乃).

g(6)=5-10cose

1-rr

8'(。)<0,85。>上遙(。)在僅秋)g上為減函數(shù)；

23

g'(e)>0,cose<Lg⑹在砧多乃上為增函數(shù)...........12分

23

當(dāng)。=1?時，g(e)取到最小值，此時總利潤最大.

答：所以當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計成工時，總利潤最大...........14分

3

29.(2011廣東廣雅中學(xué)期末)

已知函數(shù)/(x)=/+b(常數(shù)女,bwR)的圖像過點(4,2)、(16,4)兩點.

(1)求/(x)的解析式；

(2)若函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)/(%)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，若不等式

g(x)+g(x—2)<2a后2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若耳,鳥,生…，鳥,…是函數(shù)"X)圖像上的點列，。1,。2，。3l.，?！耙皇恰氛胼S上

的點列，。為坐標(biāo)原點，AOQf,八。1。2鳥，…，AQ,iQ,￡，…是一系列正三角形，記它們

的邊長是“,々，。3,…，凡，…，探求數(shù)列｛6,｝的通項公式，并說明理由.

【解析】(1)《3分

(2)g(x)-x2(x>0)

x-2>0

g(x)+g(x—2)<2。分2u><

+(x—2)~<2ax+2

原問題等價于a>x+^—2在xe[2,+s）恒成立..........6分

X

利用函數(shù)y=x+2—2在區(qū)間[2,+oo）上為增函數(shù)可得aw0

X

.........8分

[y=Vx12

（3）由4=%=—=〃=—.........9分

[y=^3x33

由]:6n瓜-4-6-=0nx="6S,-+4+12Sj

將x代人a“=2（x—Si）=；++12s,i，由此原問題轉(zhuǎn)化為

Ii2

已知（4_鼻）2=不?（1+125,1）且/=1，求。”..........11分

JyJ

又3,m_；）2=\（l+12S“），兩式相減可得：（?！?「$2-（勺_；）2=（4

=（a”+i-；）2=&+=（%+i+4,）（4+1一%一$=°

2

又，因為%>0,所以。用—%—1二。

0G0

從而｛為｝是以（為首項，；為公差的等差數(shù)列，即?！?號..........14分

30.(2011廣州調(diào)研)

函數(shù)g(x)=V77i的定義域為⑷

A{x\x>-3}B.{小>一3}c{x\x<-3}口.卜卜<一3}

31.(2011廣州調(diào)研)

/(x)=]2，，xe(—oo,l),

設(shè)函數(shù)I"'xe[L+oo),若〃x)>4,則x的取值范圍是

(-00,-2)U(2,4-00)

32.（20H廣州調(diào)研）

/（x）=x+@（ae、g（x}=}nx

已知函數(shù)xR）,