高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義(七)──解三角形

2222222222222222高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽義（七──解三角形一基知在本章中約定用A，BC分別表ABC的個(gè)內(nèi)角，a,b,c分表示它們所對(duì)的各邊長(zhǎng)，

為半周長(zhǎng)。．正弦定理：

（R為ABC外圓半徑）。推論：△的積為ABC推論：在△中有推論：在△中，解a滿，則a=A.正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到，這里不再給出，下證推論。先證推論1由正弦函數(shù)定義BC邊的高為bsinC所以=ABC

；再證推論，因?yàn)锽+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA兩邊同乘以2RbcosC+ccosB=a；再證推論3，由正弦定理，以，即sinasin(-a)sinA價(jià)于

[cos(-A-a)]=-a+A)-cos(-a-A)]于-A+a)=cos(，為0<-A+a，-a+A<證。．余弦定理：-2bccosA常用的結(jié)論。

所以只有-a+A，所以a=A，得，下面用余弦定理證明幾個(gè)（1）特瓦特定理：在△ABC中D是BC邊任意一點(diǎn)，BD=p，DC=q，AD=

（1【證明】因=AB·BDcos

，所以c-2AD·pcos

①

2222同理

+q

2

-2AD·qcos

，②因?yàn)锳DC=，所以cosADB+cosADC=0所以q×①+p×②得qc+pb+pq(p+q)，即=注：在（1）式中，若p=q，則中線長(zhǎng)公式（）海倫公式：因?yàn)閎csinA=

bc(1-cosA)=

bc[(b+c)-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c).這里所以=eq\o\ac(△,S)ABC二、方法與例題．面積法。例（共線系的張角公式）如圖所示，從點(diǎn)發(fā)出的三條射線滿另外OQOR的長(zhǎng)分別為w,v里∈(0,則，QR的共線的充要條件是

)，【證明P，R共線(β)=uwsinα+vwsin，得證。．正弦定理的應(yīng)用。例如圖所ABC內(nèi)一點(diǎn)使得ACB求證：·BC=BPCA=CPAB

BPC-BAC=CBA=APB-

0000022222222200000222222222【證明】過(guò)作PD，PEACAB，垂足分別為D，，，，，CAPDBF三四點(diǎn)共圓，所以PDF=BPC-。題設(shè)及CPA+可得BAC+ACB=180。

PCA+CBA+所以BPC-BAC=CBA=APB-。所以，理DEF=60，以DEF是正三角形。所以DE=EF=DF，由正弦定理，ACB=APsin，兩邊同時(shí)乘以△ABC的外接圓直徑2R得·BA=AP··AC得證：例如圖所ABC的邊分別與兩圓⊙，O相，直線GF與DE交于P，求證：BC。【證明】延PA交GD于M，因?yàn)镚BC，OD，所以只需證12由正弦定理，所以另一方面，，所以，所以即PA

，所以PA//OG1，得證。．一個(gè)常用的代換：在ABC中記點(diǎn)A，B，內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)分別為x,y,，則a=y+z,c=x+y.例在△ABC中，求證a(c+a-b)+cc)≤3abc.【證明】令，則=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a(c+a-b)+c所以a．三角換元。

(c+a-b)+c(a+b-c)≤3abc.

+22222222222222222422+22222222222222222422442444222例設(shè)c∈R，且abc+a+c=b試求【解】由題設(shè)，a=tanα,c=tanb=tan則tanβ=tan(γ),P=2sinα+γ≤，即當(dāng)且僅當(dāng)α+β=，γ=例在△ABC中，若a+b+c=1，求證:+b+c+4abc<【證明】設(shè)αcosβ,αcosβ,c=sinβ,β因?yàn)闉檫呴L(zhǎng)，所以c>|a-b|從而，以β>|cosαβ|.因?yàn)?=(a+b+c)=a+c所以a+b+c又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)=sinβcosβ+sinαcos·β·β2α)cosβcos2β]=[1-cos2β+(1-cos=+cos2β(cosβ2β-β)

時(shí)，=

，

的最大值。>+

cos2β(cos

β

β

β)=

所以a+b+c+4abc<三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

0+22200+2220．在△ABC中邊AB為長(zhǎng)邊，且sinAsinB=

，則cosAcosB的大值為．在△ABC中若AB=1BC=2，則

的取值范圍_．△ABC中tanC+tanB+．在△ABC中3sinA+4cosB=6,，則

，eq\o\ac(△,則)eq\o\ac(△,)ABC的積為．在△ABC中“”是“sinA>sinB的條．在△ABC中sinA+cosA>0,tanA-sinA<0，則角A的值范圍是_．在△ABC中sinA=

，

，則cosC=__________.．在△ABC中“邊a,b,c成等差數(shù)列”是tan

”的條件．在△ABC中若sinC=2cosAsinB則三角形形狀．在ABC中，·，則△ABC為_(kāi)_________角三角形．三角形有一個(gè)角是，這個(gè)角的兩邊之是8，內(nèi)切圓的面積是，求這個(gè)三角形的面積。．已知銳角ABC外心為D過(guò)A，BD三作圓，分別與AC，相于M，N兩。求證：△的接圓半徑等eq\o\ac(△,于)的接圓半徑。．已知ABC中sinC=四高水訓(xùn)題．在△ABC中若tanA=

，試判斷其形狀。，且最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為1，則最短邊長(zhǎng)_．已知∈，則以，，三邊長(zhǎng)的鈍角三角形________個(gè)+．已知p,∈R,，比較大小B__________pqsinC.．在△ABC中若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，ABC為_(kāi)________角三角形．若A為ABC的角，比較大小：

__________3.．若△ABC滿acosA=bcosB，ABC的形狀．滿足，,b=4的三角形個(gè)

222202220222202220．設(shè)為角形最內(nèi)角，且

+sin

-cos

，則a取值范圍是．A，B，C是段筆直公路上的三點(diǎn)，分別在塔D的南方向，正西方向，西偏北方，且AB=BC=1km，求塔與公路AC段最近距離。．求方程

的實(shí)數(shù)解。．求證：五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題．在△ABC中=ac，則取值范圍___________.．在△ABC中若，則△的狀_．對(duì)任意的ABC____________.．在△ABC中

-(cotA+cotB+cotC)，的大值為的最大值為_(kāi)___________.．平面上有四個(gè)點(diǎn)AB，，D其中A，為定點(diǎn)|AB|=

，C，為動(dòng)點(diǎn)，且。記=S，=T，則S的值范圍____________.ABD．在△ABC中AC=BC

，O為的點(diǎn)，，，

．△ABC中，≥最小值為_(kāi)

，則乘積

的最大值為_(kāi)___________，在△ABC中c-a等于AC邊的高則如所示MN分別是△ABC外圓弧

=____________.AC中為BC上動(dòng)點(diǎn)PM交AB于QPN交AC于，△ABC的心為I，求證：QI，R三共線。．如圖所示，P，，分別△的邊BC，CA，AB上一點(diǎn)，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。證（PQ+QR+RP）。．在△外三個(gè)等腰三角形，△，AEB使CD=DA，，ADC=2BAC于一點(diǎn)，試判斷ABC形狀。

，

ACB，并且AF，BD，交

00222220022222六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圓以BC的點(diǎn)圓，且與兩腰AB和AC分相切于點(diǎn)D和EF與半圓相切，交于，交AC于點(diǎn)F過(guò)E作AB的線，過(guò)F作AC的線兩線相交于作B

Q為足證：此．設(shè)四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)，M和N分是和BC的點(diǎn)，點(diǎn)H，1H（不重合）分別是AOB與的心，求證HH212

。已△ABC其中BC上一點(diǎn)M且△ABM與△ACM內(nèi)切圓大小相等求證：，此處

a,c分別為△ABC對(duì)三邊之長(zhǎng)。．已知凸五邊形ABCDE，其中于點(diǎn)O求證AO。

ABC=AED=90，

BAC=EAD，與CE交．已知等腰梯形ABCDG是角線BD與AC的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與、下底平行，點(diǎn)E和F分別在AB和，求證：的充要條件是AD+BC=CD。．，AQ，，是一個(gè)圓中的四條弦，已知PAQ=RAS，求證：AR（AP+AR）=AQ（AQ