七年級數(shù)學競賽培優(yōu)專題06 有理數(shù)的計算

22專

有數(shù)計閱與考在小學我們已經(jīng)學會根據(jù)四則運算法則對整數(shù)和分數(shù)進行計算，當引進負數(shù)概念后，數(shù)集擴大到了有理數(shù)范圍，我們又學習了有理數(shù)的計算，有理數(shù)的計算與算術(shù)數(shù)的計算有很大的不同：先，有理數(shù)計算每一步要確定符號；其次，代數(shù)與算術(shù)不同的是“字母代數(shù)所有理數(shù)的計很是字母運算，也就是通常說的符號演算．數(shù)學競賽中的計算通常與推理相結(jié)合，這不但要求我們能正確地算出結(jié)果，而且要善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特點，將推理與計算相結(jié)合，靈活選用算法和技巧，提高計算的速度．有理數(shù)的計算用的技巧與方法有：1．利用運算律．2．以符代數(shù)．3．裂項相消．4．分解相約．5．巧用公式等．例與解【例1】

已知m，n互為相反數(shù)，a，b互為負數(shù)x的絕對值等于3，則x

3

(1++n+ab)

2

+(mnx

20

(ab)

20

的值等______________．（湖北省黃岡市競賽試題）解思：用互為相反數(shù)、互為倒數(shù)的兩個有理數(shù)的特征計算．【2】

已知整數(shù)

,c,滿abcd25，a，么a

等于（）A．0B．10C．D．（江蘇省競賽試題）解思：題的關(guān)鍵是把25表示4個不的整數(shù)的積的形式．1

【3

計算：（）

1

1111

;沖杯”邀請賽試題）（）

7

234

；（江蘇省泰州市奧校競賽試題）（）

112

5161220304272

．望”邀請賽試題）解思：于先計算每個分母值，則掩蓋問題的實質(zhì)，不妨先從考察一般情形入手；對于（于鄰的一項與一項的比都是，考慮用字母表示和式）中裂項相消，簡計算．【4

,n

都是正整數(shù)，并且

1111A)(1))233

，111B)(1)(1))223nn

．(1)證明：

n，2m2n

；(2)若

126

，求

和

的值．羅金杯”少年邀請賽試）解思1）對題中已知式子進行變形把1）中證明得到的式子代入，再具體分析求解．2

【5】

在數(shù)學活動中，小明為了求

11122222n

的值（結(jié)果用

表示計如圖①，所示的幾何圖形．（）你用這個幾何圖形求

111122224

的值．（）你用圖②，在設計一個能求

11122222n

的值的幾何圖形．（遼寧省大連市中考試題）解思：原式的值有不同的解題方法，二剖分圖形面積是構(gòu)造形的關(guān)鍵．【6

記

S2n

稱

為a,12

n

這列數(shù)理數(shù)

a,12

500的“理想數(shù)”為2004．求

a1

500

的“理想數(shù)（安徽省中考試題）解思：據(jù)題意可以理解為為項和，T為項和的和乘以n能訓級

1n

．1．若xy互相反數(shù)，mn互倒數(shù)．，a

2y2011

2012

的值為___________．（湖北省武漢市調(diào)考試題）2．若

2

，則

M

=___________．望”邀請賽試題）3

223．計算）

1131997

＝________________；（）1114．將1997減它的，減余下的，減去余下的，再減去余下的，2345

，依次類推，直至最后減去余下的

，最后的答案是_______________．沖杯”邀請賽試題）5．右圖是個由六個正方體組合而成的幾何體，每個小正方體的六個面上都分別寫著1，，，－，，六個數(shù)字，那么圖中有看不見的面上的數(shù)字和___________．（湖北省仙桃市中考試題）6．如果有理數(shù)

,,

滿足關(guān)系式

a

，那么代數(shù)式

bc-abc3

的值（）A．必為數(shù)B．必為負數(shù)．可正可負D可能為0（江蘇省競賽試題）7．已知有理數(shù)

,,

兩兩不相等，則

x-y-zz-，，中數(shù)的個數(shù)是y-z-y

）A．1個B．2個C．3個．0個或（重慶市競賽試題）8．若與)

互為相反數(shù)，則

1898a2+99b

2

＝（）A．0．1C．1．1997（重慶市競賽試題）9．如果

a+2001

=-1，a-)2002

=1，

2003

+b

2003

的值是（）A．2B．1．0D．-1望”邀請賽試題）4

10．若

abc

是互為不相等的整數(shù)且=，+b+c+d

等于（）A．B．4．8．無法確定111．把，，5

6

12

，2.9，分別在圖中五個Ο內(nèi)，再在每個eq\o\ac(□,)填上和它相連的三Ο中的數(shù)的平均數(shù)，再把三個□中的平均數(shù)填在△中．找出一種填法，eq\o\ac(△,使)的數(shù)盡可能小，并求這個數(shù)．羅金杯”少年邀請賽試）12．知

a,,c

都不等于零，且

a+++a

的最大值為

，最小值為

n

，求

(1)

的值．級1．計算：

11351+(+)+(++)+???+(++?+)2446698

＝________________．羊”競賽試題）2．計算：

2-2

-3-2-5-6--2-2+10

＝________________．望”邀請賽試題）3．計算：

1×24×8+??2?()1×39×6×+???+?n

＝____________________．4．據(jù)美國詹姆斯·馬丁的測算在近十年，人類的知識總量已達到每三年翻一翻，到2020年至要達每73翻空前速度，因此基礎教育任務已不是“教會一切人一切知識，而是讓一切人學會學習已知年底人類知識總量a，入從2000年2009年每年翻翻；從2009年到年每年翻番；2020年是每73天一翻．5

（）年人類知識總量是__________________（）年人類知識總量是_____（）年365天計算，年底類知識總量會____________________．（北京市順義區(qū)中考試題）5．你能比較2002和20022001的小嗎？為了解決這個問題，我們首先寫出它的一般形式，即比n1與

(n+

n

的大小n是然數(shù)然后我們從分析，n=2，…中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)歸納、猜想得出結(jié)論（）過計算，比較下列各組中兩數(shù)的大小線上填寫“＞①

12，；③34；55；5665?????（2）從第（1）題的結(jié)果中，經(jīng)過歸納，可以想出

n

n+1

與

(+1)

n

的大小關(guān)系是_____________________________________________________________________________；（）據(jù)以上歸納．猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩數(shù)的大小2_____2002（福建省龍巖市中考試題）6．有2009個數(shù)成一列，其中任意相鄰的三個數(shù)中，中間的數(shù)總等于前后兩數(shù)的和．若第一個是1，第二個數(shù)是1，則這個2009數(shù)的和是（）A．－2B．－1C．D2（全國初中數(shù)學競賽海南省試題）7．如果

ttt1+2+3=ttt13

，那么

ttt12ttt12

的值為（）A．－1B．C．

±

D．不確定（河北省競賽試題）8．三進位制數(shù)201可十進制表示為

2×

2+×311=9+0+1=19

；二進數(shù)1011可十進制法表示為

1×3211=+0++1=11

．前者按3的降冪排列，后者6

冪降冪排列，現(xiàn)有三進位制數(shù)a=，進位制數(shù)b=10111則與的大小關(guān)系為（A．

>

B．

=

C．

<

D．不能確定（重慶市競賽試題）9．如果有理數(shù)

a,c

滿足

a+b>+

，則（）A．

a-1+b1>+d

B．

a2+>c2+d2C．

ab3>3D．a(chǎn)+>c+d望”邀請賽試題）10．有1998個互不相等的有理，每1997的和都是分母為3998的約真分數(shù)，則這個1998個有理數(shù)的和為（）A．

999997998999B．C．D．1997199719981998習》公開賽試題）11．觀測下列各式：

11

14

××22

，132=9=×4

3

，11+2+==34

×4

113+23+3+3==×42×24回答下面的問題：（）想

+23+3+???(-1)3n3

＝______________接出的結(jié)果）（）用你得到的1）中的結(jié)，計算

1+233+???+1003

的值．（）算①

113+12???+31003

的值；②

2

3+3+3+??++

的值．7

==專06

有數(shù)計算例

2826例2D提：abcd=5××，，c=-1，例3（）

提示：

11

1nn

=

2

11nn

2（）

6

提示：設s=

7

2

3

，則7s=

7

2

3

（3）

原

式=

1

12

16

3

112

120

5

130

142

7

156

+

=1+1-

11111=2-=23389910例4（）

12

113

1

1

12

1

13

1

=

mm=32mm同理B=由A-B=

nn111-==得m22nm∴m=

13

=13-

13

，又∵，均正整數(shù)，∴13+n為13×的數(shù)∴13+n=∴n156，m=12.例（）式1-

n

）8

例

由題意知

211

，即

23n3499500498

.

又∴500a4992

04×500.故8，

a1

，

a

2

，…，

a

0

的“

理

想

數(shù)“

為90500=

”

”級1.2提：原式

122011

=1+1=2.2.2提：

，解得M=2.3.（）

）4.

1

提

示：

設a=1997，

由

題

意

原

式=

a

aa26

a35.-13

6.B7.B

提示：不妨設x>y>z.8.B9.D10.A11.提示○內(nèi)從右到左填的數(shù)分為aaaaa則內(nèi)填的數(shù)為12345

aaa234

.要使△中填的數(shù)盡可能小，則

，

a

2

，

a

4

分別為2，，，，剩下的個為

a1

，

.12.1998

提示：

x時，m=4；x

時，n-4.級9

1.612.5提：倒敘相加.2.6

提示：

2

3.

4.（）

2

（）

2

（）

2

5.（）略（）