人教課標(biāo)實驗版八年級上冊第十四章一次函數(shù)1一次函數(shù)“衡水賽”一等獎

千里之行始于足下在實際生活中有許多方程問題，都可以用我們剛剛學(xué)過的函數(shù)知識來解決，這類題目充分說明了數(shù)學(xué)的價值和意義。例1同學(xué)們都知道，一次函數(shù)的圖像是一條直線，它可以表示許多實際意義，比如下圖中，x表示時間（小時），y表示路程（千米），那么從圖（1）上可以看出，某人出發(fā)時（x＝0），高某地（原點）2千米，出發(fā)1小時后，由x＝1得y＝5，即某人離某地5km，他走了3km。在圖（2）中，OA、BA分別表示甲、乙兩人的運動圖像，請根據(jù)圖像回答下列問題：（1）如果用t表示時間，y表示路程，那么甲、乙兩人各自的路程與時間的關(guān)系式：甲__________，乙_____________。（2）甲的運動速度是______________km／小時。（3）兩人同時出發(fā)，相遇時，甲比乙多走了______________千米。解：（1）甲：y＝4t（）乙：y=3t＋5（）（2）4（3）5評述：本題是1998年江蘇省常州市中考題，本例并不困難，但是著重檢查了同學(xué)的識圖能力，以及待定系數(shù)法的簡單應(yīng)用，不失為一道好題。尤其值得一提的是第（3）小題，相遇這個實際問題在圖像上是怎樣表達(dá)出來的，值得同學(xué)仔細(xì)考慮。例2（行程問題）甲、乙兩人分別從相距18公里的A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，甲以4公里／時的平均速度步行，乙以每小時比甲快1公里的平均速度步行，相遇而止。（1）求甲、乙兩人相距的距離y（公里）和所用的時間x（小時）的函數(shù)關(guān)系式。（2）求出函數(shù)圖像與x軸、y軸的交點坐標(biāo)，畫出函數(shù)的圖像，求出自變量x的取值范圍。（3）求當(dāng)甲、乙兩人相距6公里時所用的時間。分析：這是一道應(yīng)用題，比較貼近我們的實際生活，依題意，顯然甲的速度是4公里／時，乙的速度是5公里／時，A、B兩地的總路程減去甲、乙兩人所走的路程即為兩人相距的距離了；而在畫函數(shù)圖像時，應(yīng)注意這里面的自變量的取值范圍，所畫出的圖像不能是一條直線，而只能是線段。解：①y＝18－4x－5x＝18－9x②在函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝18－9x中，在x＝0處得y＝18，在y＝0處得x＝2，∴與x軸的交點坐標(biāo)是（2，0），與y軸的交點坐標(biāo)是（），其函數(shù)圖像如下：③在y＝18－9x中，令y＝6，得6＝18－9x，∴9x＝1即兩人出發(fā)小時后相距6公里。例3甲每小時走3千米，走小時后，乙以每小時千米的速度追甲，設(shè)己行走的時間為t（時）。①寫出甲、乙兩人所走的路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系式。②在同一個坐標(biāo)系中作出它們的圖像。③求出圖像中兩直線的交點坐標(biāo)，并寫出它的實際意義。解：①②采用橫、堅點法，其函數(shù)圖像如下圖：③由圖像知交點坐標(biāo)為（3，）成立方程組令，得t＝3從而得S＝∴從圖像上看出交點坐標(biāo)為（3，），證明了乙追上甲用了3小時的時間。例4圖中的曲線表示一輛自行車離家的距離與時間的關(guān)系。騎車者9點離開家，15點回家。根據(jù)這個曲線圖，請你回答下列各問題：（1）騎車者離家最遠(yuǎn)的地方是什么時間？離家多遠(yuǎn)？（2）第一次休息時，離家多遠(yuǎn)？（3）何時開始第一次休息？休息多少時間？（4）11：00到12：00他騎車騎了多少千米？（5）他在9：00－10：00和10：00－10：30的平均速度各是多少？（6）他在何時何地停止前進(jìn)并休息、午餐？（7）他在停止前進(jìn)后返回，騎了多少千米？（8）返回時的平均速度是多少？（9）11：30和13：30時，分別離家多遠(yuǎn)？（10）何時距家22千米？分析：這個曲線圖，與課本上的函數(shù)圖像的不同點在于：橫軸表示的時間不是從0開始的．而早從9開始。橫縱軸上的數(shù)值代表不同的實際含意；曲線上每一點的坐標(biāo)（t，S）中，t表示時間，S表示離家的距離。解：（1）騎車者離家最遠(yuǎn)的地方的時間是中午12點，離家30千米。（2）10：30開始第一次休息，休息了半個小時。（3）第一次休息時離家17千米。（4）11：00到12：00，他騎了13千米。（5）9：00－10：00的平均速度是10千米／時；10：00－10：30的平均速度是14千米／時。（6）從12：00－13：00停止前進(jìn)，并休息、午餐，較為符合實際情況。（7）返回騎了30千米。（8）返回30千米共用了2小時，故返回時的平均速度為15千米／時。（9）首先確定直線DE所在直線的解析式。設(shè)其為：S＝kt＋b，將D（11，17），E（12，30）的坐標(biāo)值代入，得：解得所以S＝13t－126。當(dāng)t＝時，S＝故11：30時，離家千米。（再用同樣的方法求出13：30時，離家千米之后，你是否想出較為簡便的方法？）（10）由（9）的解答可知，直線DE的方程應(yīng)為：S＝13t－126，將S＝22代入得，t＝，即11點18分時離家22千米。在FG上同樣有一點離家22千米。下面我們可以這樣考慮：13點至15點的速度是15千米／時；從F點到22千米處走了8千米，故需小時（即32分鐘），故在13點32分時同樣離家22千米。說明：題目中的圖像有生動的實際生活背景，必須細(xì)心觀察曲線的特征，聯(lián)系實際問題的背景知識，才能一一解答題中的若干小問題。大家可以自己嘗試提出問題加以解決。如；“何時離家13千米？”“什么時間范圍內(nèi)的速度最快？”等等。例5給出某種運動的速度曲線如圖所示，從以下運動中選出一種，其速度變化最符合圖中的曲線，就作的判斷作出解釋。A釣魚；B擲標(biāo)槍；C100米短跑；D10000米跑；E跳高；F射箭；G高臺跳水；H桌球游戲解答：本題答案為點C。這是因為100米短跑中，起跑后速度能有較快的提高，隨后進(jìn)入途中跑階段、沖刺階段，速度仍然提高，但提高幅度明顯下降，并一直持續(xù)到達(dá)終點，隨后速度則較快地降了下來。說明：本題顯然是100米短跑的各個階段的過程說明，顯然要求同學(xué)們不但要有較踏實的識別函數(shù)圖像的能力，而且平時在日常生活中應(yīng)有較敏銳的觀察力，用心去體會我們?nèi)粘Ｉ钪械母鞣N現(xiàn)象，實為落實素質(zhì)教育的一個方面。例6已知長途汽車開始兩小時行駛的速度是46千米／時，以后的速度是40千米／時。列出顯示汽車行駛路程S（千米）時間與t（時）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，并畫出圖像。分析：有些函數(shù)關(guān)系中，隨著自變量的取值范圍的不同，在整個變化過程中，會出現(xiàn)不同的對應(yīng)關(guān)系。這時要加以討論，列出分段式函數(shù)。解：如圖所示示意圖：①在AB段（前2小時）：S＝46t（0＜t≤2）②在BC段（2小時之后）：S＝AB＋BC＝2×46＋40（t－2）＝40t＋12（t≥2）綜合所求的函數(shù)關(guān)系式為：其函數(shù)圖像如圖所示：說明：本題著重要求同學(xué)具有分類討論的思想，認(rèn)識分段函數(shù)。分