中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題《對(duì)角互補(bǔ)模型》

?！秾?duì)互模》破策1．等之90°”如圖，∠AOB∠＝90°，OC分∠，則AD

COE（1）＝；（2）＋＝

2

OC；（3）S

2

．證方法：圖，過點(diǎn)C分別⊥，⊥，垂足分別為M．由角平分線的性質(zhì)可得＝，∠MCN＝90°．所以∠＝NCE從而△≌NCE（ASA，故CDCE易證四邊形MONC為正形．

MD

C所以O(shè)DOEODON＋＝2＝2OC．

N

所以S

正方形M

ON

2

OC

2

．方二如圖，過作⊥，OB于點(diǎn)．易證∠＝EFC＝45°＝，∠DCO＝∠ECF．所以△≌ECF（ASA所以CD＝，ODFE可得ODOEOFOC

D

C所以S

OC

2

．

F

【拓】如，當(dāng)DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)時(shí)則：

CD

（1）＝；（2）－＝

OC；（3）S

OCE

OCD

OC

2

．如圖，證明同上．

M

C

CD

N

D

FE2．等之120”如圖，∠AOB＝2∠＝120°，OC平分∠，則：ADE

B（1）＝；（2）＋＝；（3）

2

．證

方一如圖，過點(diǎn)C分別⊥，⊥，垂足分別為M，．所以

OCD

OCE

2S

OC

2易證△≌NCE（ASA，所以CDCEODOE＝O．

M

DN

D

EF

方二如圖，以CO為邊∠FCO＝60°，交OB點(diǎn)，eq\o\ac(△,則)OCF等邊三角形．易證△△ECFASA）．所以CD＝，ODOE＝OC，∴＋＝＝eq\o\ac(△,S)OCDeq\o\ac(△,S)OCEeq\o\ac(△,S)OCF

34

OC

【拓展】如圖，當(dāng)∠的一邊與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E時(shí)則（1）＝；）－＝；）－＝eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)如圖，證明同上．AAA

34

OC

D

D

C

D

CME

E

ONB

E

F3、等之任角如圖，∠AOB＝2

，∠DCE－2

，平∠AOB則：（1）＝；）＋＝2·cos

；）＋＝eq\o\ac(△,S)ODCeq\o\ac(△,S)OEC

·sin

cos

D

E

證明：方法一：如圖，過點(diǎn)C分作CM⊥OA，⊥，垂足分別為M，

AD

N

B易證△△NCEASA）∴，＋＝2ON＝2OC·cos

∴＋＝2＝OC·sineq\o\ac(△,S)ODCeq\o\ac(△,S)OEC方法二：如圖，以CO為一邊作∠，OB于．

D

CEF易證△△ECFASA）

∴，＋＝＝2·cos

∴＋＝＝·sineq\o\ac(△,S)ODCeq\o\ac(△,S)OECeq\o\ac(△,S)OCF【拓展】如圖，當(dāng)∠的一邊與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E時(shí)則（1）＝；）－＝2；（3）－＝eq\o\ac(△,S)ODCeq\o\ac(△,S)OEC如圖，證明同上D

A

AO

C

CEO

B

E

C

B4、似之90°”如圖，∠AOB∠＝90°，COB＝

，則CE·tan

E

方法一：如圖，過點(diǎn)C分作⊥OACNOB垂足分別為M、NDMCO易證△△NCE∴

MDCDCM

，即CE·tan

方法二：如圖，過點(diǎn)C作⊥，OB于點(diǎn)F．ADCEF

B

易證△△ECF∴

ODCD

，即CECD·tan

方法三：如圖，連接．AD

B易證D、、、點(diǎn)共圓∴∠CDE∠COE＝，CE＝·tan

【拓展】如圖，當(dāng)∠的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D時(shí)則CE＝·tan

O

D如圖，證明同上．A

C

CO

E

B

O

F

O

D

D

D例講例1已△是⊙內(nèi)接三角形ABAC在所對(duì)弧BC上任取一點(diǎn)D連AD，，．（1）如圖1，∠BAC＝120°，那么＋CD與AD間的數(shù)量關(guān)系是什么？（2）如圖2，∠BAC＝，么BD＋與之的數(shù)量關(guān)系是什么？D

C

B

A

圖1

2解：（1）＋＝

ADB

E

CA

3

F如圖3，過點(diǎn)A分別向∠BDC的兩邊作垂線，垂分別為、．由題意可得ADB＝∠ADC＝30°

易證△△AFC∴＝2＝

AD⑵＝2ADsin

．如圖4，作∠EAD∠BAC，交DB的延線于點(diǎn)．DB

F

CE則△EBA△DCA，所以＝AE＝D．

OA圖4作AF⊥于點(diǎn)，則＝

．所以＋＝＝2＝2sin．2例如1，將一個(gè)直角三角板的角頂點(diǎn)P放在正方形的角線上滑動(dòng)，并使其一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)，一直角邊與相交于點(diǎn)F⑴求證：＝；⑵如圖，將⑴中的正方形變?yōu)榫匦?，其余不變，且AD，＝8，求：的；⑶如圖，在⑵的條件下，當(dāng)P滑到的延長(zhǎng)線上時(shí)AP：的值是否發(fā)生變化？A

DBE圖1

P

AC

DPEC圖2

AB

圖

PFDC解⑴如圖4，過點(diǎn)P分別作⊥，⊥，足分別為M，．則PM＝，MPN＝90°，由已知條件可得APE，所以APM∠EPN，所以APM△．故AP＝．AM

DB圖4

C⑵如圖，過點(diǎn)P分別PM，⊥，足分別為，．則∥，∥D．所以△△BDA△∽BC．可得

PNPMAD，所以．ADPN易證△△EPN所以

APPM5．PEPN4

AMB⑶的不變．如，理由同]MA

DPE圖5D

PFB

圖6

CE進(jìn)訓(xùn)1．如圖，四邊形ABCD被對(duì)角線分等腰和eq\o\ac(△,Rt)，其中BAD和∠都是直角，另一條對(duì)角線的度2，則四邊形的積為_________ABC第1題答案：四邊形的面積為2．【提示證A四點(diǎn)共圓∠BCA∠BDA＝∠ABD＝ACD等型‘90°的結(jié)論可得＝

12

AC＝22．在△ABC中＝，A，是BC邊中點(diǎn)，EDF，DE與AB邊相于點(diǎn)，與邊或AC邊的延線）相交于點(diǎn)．A

AEE

NB

FC

BD

C

F第圖

第1題圖2⑴如圖，與邊交于點(diǎn)，求證BECF＝

12

AB；⑵如圖2，將圖1中∠繞D順針旋轉(zhuǎn)定的角度，使DF與AC邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，作DN⊥于N，若＝，證：＋CF＝（－）答案：略．

1AB21AB2【提示點(diǎn)D作DG∥交于G≌DFCBE＋＝＋＝＝B．2AGEFBD第1題圖1⑵過點(diǎn)DDG∥交AB于點(diǎn)G，同⑴可得BE＝

C

＝＝，長(zhǎng)至H使3得BH＝DHDF而BE＋CF＝＝2＝×2DN＝2以BE＋＝3（）．AEGNBH

D第1題圖2

C

F3．在菱形ABCD中兩條對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，∠MON∠，MON繞旋轉(zhuǎn)，射線OMBC于E射線ON交CD于，連結(jié)EF⑴如圖，當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，OEF的狀_；⑵如圖，當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，請(qǐng)判斷△OEF形狀，并說明理由；⑶如圖3，在⑴的條件下，將的點(diǎn)移動(dòng)的中點(diǎn)O處，MO'N繞點(diǎn)O'旋轉(zhuǎn)，仍滿足∠'＋∠BCD＝180°，射線交線于，射線O'N交線于，當(dāng)BC＝4，且

9V四邊形

時(shí)，求的長(zhǎng)．AD

A

D