2023屆鄂西南三校合作體數學高二下期末監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，如圖所示，其中，．由右橢圓的焦點和左橢圓的焦點，確定叫做“果圓”的焦點三角形，若“果圓”的焦點為直角三角形．則右橢圓的離心率為（）A． B． C． D．2．三棱錐的棱長全相等，是中點，則直線與直線所成角的正弦值為（）A． B． C． D．3．如圖所示的函數圖象，對應的函數解析式可能是（）A． B． C． D．4．設定義在上的函數的導函數為，若，，則不等式（其中為自然對數的底數）的解集為（）A． B．C． D．5．已知隨機變量服從二項分布，若，，則，分別等于（）A．， B．， C．， D．，6．半徑為2的球的表面積為（）A． B． C． D．7．設A，B，C是三個事件，給出下列四個事件：（Ⅰ）A，B，C中至少有一個發(fā)生；（Ⅱ）A，B，C中最多有一個發(fā)生；（Ⅲ）A，B，C中至少有兩個發(fā)生；（Ⅳ）A，B，C最多有兩個發(fā)生；其中相互為對立事件的是（）A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅲ和Ⅳ D．Ⅳ和Ⅰ8．數列中，，（），那么（）A．1 B．-2 C．3 D．-39．若對任意正數x，不等式恒成立，則實數的最小值（）A．1 B． C． D．10．若函數的導函數的圖象如圖所示，則的圖象有可能是（）A． B．C． D．11．函數f(x)=x2ex在區(qū)間(a,a+1)上存在極值點，則實數aA．(-3,-2)∪(-1,0) B．(-3,-2) C．(-12．已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，平面，，，，則球的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若的展開式中第3項和第5項的二項式系數相等，則展開式中常數項等于____________.14．對于自然數方冪和，，，求和方法如下：，，…，將上面各式左右兩邊分別相加，就會有，解得，類比以上過程可以求得，且與無關，則的值為__________．15．當雙曲線M：的離心率取得最小值時，雙曲線M的漸近線方程為______．16．從，中任取2個不同的數，事件“取到的兩個數之和為偶數”，事件”取到的兩個數均為偶數”，則_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列的前項和為．已知，．（1）若，證明：數列是等差數列；（2）求數列的前項和．18．（12分）已知數列的前項和為，且滿足．（1）求數列的通項公式；（2）令，記數列的前項和為，證明：．19．（12分）已知數列的前n項和為，滿足，且，.（1）求，，的值；（2）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法予以證明.20．（12分）（1）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放1個球，共有多少種放法？（2）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子放球量不限，共有多少種放法？21．（12分）已知是定義在上的奇函數，且當時，．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）解不等式．22．（10分）已知條件p：方程表示焦點在y軸上的橢圓；條件q：雙曲線的離心率．（1）若a=2，P={m|m滿足條件P}，Q={m|m滿足條件q}，求；（2）若是的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據“果圓”關于軸對稱，可得是以為底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立關于，，之間的關系式，求出結果.【詳解】解：連接，，根據“果圓”關于軸對稱，可得是以為底的等腰三角形，是直角三角形，，.又和分別是橢圓和的半焦距，，即.，.即，.故選：B.【點睛】本題考查橢圓的標準方程與簡單幾何性質，屬于中檔題.2、C【解析】分析：取中點，連接，由三角形中位線定理可得，直線與所成的角即為直線與直線所成角，利用余弦定理及平方關系可得結果.詳解：如圖，取中點，連接，分別為的中點，則為三角形的中位線，，直線與所成的角即為直線與直線所成角，三棱錐的棱長全相等，設棱長為，則，在等邊三角形中，為的中點，為邊上的高，，同理可得，在三角形中，，，直線與直線所成角的正弦值為，故選C.點睛：本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到，異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結果一定要取絕對值.3、D【解析】

對B選項的對稱性判斷可排除B.對選項的定義域來看可排除，對選項中，時，計算得，可排除，問題得解．【詳解】為偶函數，其圖象關于軸對稱，排除B.函數的定義域為，排除.對于，當時，，排除故選D【點睛】本題主要考查了函數的對稱性、定義域、函數值的判斷與計算，考查分析能力，屬于中檔題．4、A【解析】

構造函數，則可判斷，故是上的增函數，結合即可得出答案.【詳解】解：設，則，∵，，∴，∴是上的增函數，又，∴的解集為，即不等式的解集為.故選A.【點睛】本題考查導數與函數單調性的關系，構造函數是解題的關鍵.5、C【解析】分析：直接利用二項分布的期望與方差列出方程求解即可．詳解：隨機變量服從二項分布，若，，

可得故選：C．點睛：本題考查離散型隨機變量的分布列的期望以及方差的求法，考查計算能力．6、D【解析】

根據球的表面積公式，可直接得出結果.【詳解】因為球的半徑為，所以該球的表面積為.故選：D【點睛】本題主要考查球的表面積，熟記公式即可，屬于基礎題型.7、B【解析】

利用互斥事件、對立事件的定義直接求解．【詳解】解：，，是三個事件，給出下列四個事件：（Ⅰ），，中至少有一個發(fā)生；（Ⅱ），，中最多有一個發(fā)生；（Ⅲ），，中至少有兩個發(fā)生（Ⅳ），，最多有兩個發(fā)生；在中，Ⅰ和Ⅱ能同時發(fā)生，不是互斥事件，故中的兩個事件不能相互為對立事件；在中，Ⅱ和Ⅲ既不能同時發(fā)生，也不能同時不發(fā)生，故中的兩個事件相互為對立事件；在中，Ⅲ和Ⅳ能同時發(fā)生，不是互斥事件，故中的兩個事件不能相互為對立事件；在中，Ⅳ和Ⅰ能同時發(fā)生，不是互斥事件，故中的兩個事件不能相互為對立事件．故選：．【點睛】本題考查相互為對立事件的判斷，考查互斥事件、對立事件的定義等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．8、A【解析】∵，∴，即，∴，∴，∴是以6為周期的周期數列.∵2019=336×6+3，∴．故選B.9、D【解析】分析：由題意可得恒成立，利用基本不等式求得的最大值為，從而求得實數的最小值．詳解：由題意可得恒成立．

由于（當且僅當時取等號），故的最大值為，，即得最小值為，

故選D．點睛：本題主要考查函數的恒成立問題，基本不等式的應用，屬于基礎題．10、C【解析】分析：先根據導函數的圖象確定導函數大于0的范圍和小于0的x的范圍，進而根據當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減確定原函數的單調增減區(qū)間．詳解：由的圖象易得當時

故函數在區(qū)間上單調遞增；

當時，f'（x）＜0，故函數在區(qū)間上單調遞減；

故選：C．點睛：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．11、A【解析】

求得f'(x)=x(2+x)ex，函數f(x)=x2ex在區(qū)間(a,a+1)【詳解】f'(x)=2xe∵函數f(x)=x2ex在區(qū)間(a,a+1)上存在極值點令f'(x)=0，解得x=0或-2．∴a<0<a+1，或a<-2<a+1，解得：-1<a<0，或-3<a<-2，∴實數a的取值范圍為(-3,-2)∪(-1,0)．故選【點睛】本題考查了利用導數研究函數的極值，考查了推理能力與計算能力，意在考查轉化與劃歸思想的應用以及綜合所學知識解答問題的能力，屬于中檔題．12、B【解析】

根據所給關系可證明，即可將三棱錐可補形成長方體，即可求得長方體的外接球半徑，即為三棱錐的外接球半徑，即可得球的體積.【詳解】因為平面BCD，所以，又AB=4，，所以，又，所以，則．由此可得三棱錐可補形成長方體如下圖所示：設長方體的外接球半徑為，則，所以球的體積為，故選:B.【點睛】本題考查了三棱錐外接球體積的求法，將三棱錐補全為棱柱是常用方法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據題意先計算，再用展開式的通項公式計算常數項.【詳解】若的展開式中第3項和第5項的二項式系數相等.當時為常數項，為故答案為：【點睛】本題考查了二項式的計算，先判斷是解題的關鍵.14、.【解析】分析：利用類比法先求出，再求，從而得到答案.詳解：利用類比法：，，，…，將上面各式左右兩邊分別相加，就會有，解得；繼續(xù)使用類比法：，，，…，將上面各式左右兩邊分別相加，就會有，解得，.故答案為：.點睛：類比推理應用的類型及相應方法類比推理的應用一般為類比定義、類比性質和類比方法．(1)類比定義：在求解由某種熟悉的定義產生的類比推理型試題時，可以借助原定義來求解；(2)類比性質：從一個特殊式子的性質、一個特殊圖形的性質入手，提出類比推理型問題，求解時要認真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉化過程是求解的關鍵；(3)類比方法：有一些處理問題的方法具有類比性，可以把這種方法類比應用到其他問題的求解中，注意知識的遷移．15、【解析】

求出雙曲線離心率的表達式，求解最小值，求出m，即可求得雙曲線漸近線方程．【詳解】解：雙曲線M：，顯然，雙曲線的離心率，當且僅當時取等號，此時雙曲線M：，則漸近線方程為：．故答案為：．【點睛】本題考查雙曲線漸近線方程的求法，考查基本不等式的應用，屬于基礎題．16、【解析】

先求得事件所包含的基本事件總數，再求得事件所包含的基本事件總數，由此求得的值.【詳解】依題意，事件所包含的基本事件為共六種，而事件所包含的基本事件為共三種，故.【點睛】本小題主要考查條件概型的計算，考查列舉法，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由題意可得，再由等差數列的定義即可得證；（2）求得，即，再由數列的分組求和，結合等差數列和等比數列的求和公式，化簡可得所求和．【詳解】（1）因為，所以可化為，又，所以是首項為2，公差為2的等差數列．（2）由（1），知，所以，所以.【點睛】本題主要考查等差數列的定義、通項公式、等差（等比）數列的前項和公式，以及數列的分組求和法的應用．18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）可以通過取計算出，再通過取時計算出,得出答案。（2）可通過裂項相消求解。【詳解】（1）當時，有，解得.當時，有，則，整理得：，數列是以為公比，以為首項的等比數列．所以，即數列的通項公式為：．（2）由（1）有，則所以易知數列為遞增數列，所以?！军c睛】本題考察的是求數列的通項公式以及構造數列然后求和，求等比數列的通項公式可以先求首項和公比，求和可以通過裂項相消求解。19、（1），，（2）猜想，證明見解析.【解析】

1利用代入計算，可得結論；2猜想，然后利用歸納法進行證明，檢驗時等式成立，假設時命題成立，證明當時命題也成立．【詳解】1，且，當時，，，當時，，，或舍，當時，，，或舍，，，；2由1猜想，下面用數學歸納法證明：①當時，，顯然成立，②假設時，結論成立，即，則當時，由，有，，，或舍，時結論成立，由①②知當，均成立．【點睛】本題考查了歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：驗證成立；假設成立；利用已知條件證明也成立，從而求證，這是數列的通項一種常用求解的方法，屬中檔題．20、（1）.（2）【解析】

（1）把三個不同的小球分別放入5個不同的盒子里(每個盒子至多放一個球)，實際上是從5個位置選3個位置用3個元素進行排列，即可求得答案.（2）因為3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子放球量不限，所以一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有5種獨立的放法，即可求得答案.【詳解】（1）把3個不同的小球分別放入5不同的盒子里(每個盒子至多放一個球)，實際上是從5個位置選3個位置用3個元素進行排列，共有種結果，共有：方法．（2）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子放球量不限一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有5種獨立的放法，由分步乘法計數原理，放法共有種共有：放法．【點睛】本題的求解按照分步計數原理可先將球分組，選擇盒子，再將球排列到選定的盒子里，這種先選后排的方法是最常用的思路，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）當時，，因為是定義在上的奇函數，所以可得；，進而求出解析式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得出函數的單調性，利用單調性解不等式．【詳解】（Ⅰ）當時，，因為是定義在上的奇函數所以；當時，；所以（Ⅱ）易知當時，單調遞增，又是定義在上的奇函數，所以在上單調遞增，所以不等式等價于，解得，所以原不等式的解集為．【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性，解題的關鍵是