2023屆福建省福州市三校聯(lián)考數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A．2 B． C．1 D．2．即將畢業(yè)，4名同學(xué)與數(shù)學(xué)老師共5人站成一排照相，要求數(shù)學(xué)老師站中間，則不同的站法種數(shù)是A．120 B．96 C．36 D．243．有名學(xué)生，其中有名男生.從中選出名代表，選出的代表中男生人數(shù)為，則其數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．4．“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn)，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是楊輝三角數(shù)陣，記為圖中第行各個(gè)數(shù)之和，為的前項(xiàng)和，則A．1024 B．1023 C．512 D．5115．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位），則等于（）A．2 B．-2 C． D．6．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)>1,f(2)=,則()A．a(chǎn)< B．a(chǎn)<且a≠1 C．a(chǎn)>且a<-1 D．-1<a<7．的值為（）A．0 B．2 C．－1 D．18．投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B,則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是()A．512 B．12 C．79．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．10．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，則P(X＝1)的值為()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－811．在極坐標(biāo)系中，曲線，曲線，若曲線與交于兩點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（）A．2 B． C． D．112．設(shè)實(shí)數(shù)，則下列不等式一定正確的是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為的直線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，則_______.14．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_______15．從一堆蘋(píng)果中任取5只，稱(chēng)得它們的質(zhì)量如下（單位：克）125124121123127，則該樣本標(biāo)準(zhǔn)差（克）（用數(shù)字作答）．16．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且的外接圓半徑為1，若，則的面積為_(kāi)_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）中，三內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知成等差數(shù)列．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求角的取值范圍．18．（12分）現(xiàn)有男選手名，女選手名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各名.選派人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？（結(jié)果用數(shù)字表示）（1）男選手名，女選手名；（2）至少有名男選手；（3）既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有男選手.19．（12分）已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在區(qū)間與上均有零點(diǎn)；（提示）（2）若關(guān)于的方程存在非負(fù)實(shí)數(shù)解，求的最小值.20．（12分）已知正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)在線段上.（1）求異面直線與所成角的大??；（用反三角函數(shù)值表示）（2）若直線平面所成角大小為，求多面體的體積.21．（12分）已知的角、、所對(duì)的邊分別是、、，設(shè)向量，，.（1）若，求證：為等腰三角形；（2）若，邊長(zhǎng)，角，求的面積.22．（10分）（1）六個(gè)從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有幾種？（2）把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰，且產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，則不同的擺法有幾種？（3）某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目、2個(gè)小品類(lèi)節(jié)目和1個(gè)相聲類(lèi)節(jié)目的演出順序，則同類(lèi)節(jié)目不相鄰的排法有幾種？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由，可得，則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，據(jù)此可得，結(jié)合函數(shù)的周期性與奇偶性，即可求解．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿(mǎn)足，則有，則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，則，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，即；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件，求得函數(shù)的周期是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】分析：數(shù)學(xué)老師位置固定，只需要排學(xué)生的位置即可.詳解：根據(jù)題意得到數(shù)學(xué)老師位置固定，其他4個(gè)學(xué)生位置任意，故方法種數(shù)有種，即24種.故答案為：D.點(diǎn)睛：解答排列、組合問(wèn)題的角度：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類(lèi)”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對(duì)某些元素的位置有、無(wú)限制等；(3)“分類(lèi)”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類(lèi)，然后逐類(lèi)解決；(4)“分步”就是把問(wèn)題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡(jiǎn)單的排列、組合問(wèn)題，然后逐步解決．3、B【解析】

利用超幾何分布分別求隨機(jī)變量X的概率，分布列及其數(shù)學(xué)期望即可得出．【詳解】隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．所以，隨機(jī)變量X的分布列為X1234P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝.【點(diǎn)睛】本題考查了超幾何分布的概率計(jì)算公式、分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．4、B【解析】

依次算出前幾行的數(shù)值，然后歸納總結(jié)得出第行各個(gè)數(shù)之和的通項(xiàng)公式，最后利用數(shù)列求和的公式，求出【詳解】由題可得：，，，，，依次下推可得：，所以為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故；故答案選B【點(diǎn)睛】本題主要考查楊輝三角的規(guī)律特點(diǎn)，等比數(shù)列的定義以及前項(xiàng)和的求和公式，考查學(xué)生歸納總結(jié)和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。5、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再利用純虛數(shù)的定義即可得出．【詳解】∵復(fù)數(shù)（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（1a﹣1）i是純虛數(shù)，∴，解得a＝﹣1．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

先利用函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集上的以3為周期的奇函數(shù)得f（2）=f（-1）=-f（1），再利用f（1）＞1代入即可求a的取值范圍．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集上的以3為周期的奇函數(shù)，

所以f（2）=f（-1）=-f（1）．

又因?yàn)閒（1）＞1，故f（2）＜-1，即＜-1?＜0

解可得-1＜a＜．

故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的周期性，以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】分析：求二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)和一般方法為賦值法，即分別令x=1與x=-1得，最后相乘得結(jié)果.詳解：令，則，令，則，因此，選D.點(diǎn)睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對(duì)形如的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令即可.8、C【解析】試題分析：由題意可知，事件A與事件B是相互獨(dú)立的，而事件A、B中至少有一件發(fā)生的事件包含AB、AB、AB，又P(A)=12，考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算．9、B【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求得，進(jìn)而求得，由此得到結(jié)果.【詳解】，，，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)、對(duì)數(shù)比較大小的問(wèn)題，涉及到對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，則P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.11、B【解析】

分別將曲線，的極坐標(biāo)方程化為普通方程，根據(jù)直線與圓相交，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合垂徑定理，可得結(jié)果【詳解】根據(jù)題意，曲線曲線，則直線與圓相交，圓的半徑為，圓心到直線的距離為設(shè)長(zhǎng)為，則有，即解得（舍負(fù)）故線段的長(zhǎng)度為故選【點(diǎn)睛】本題主要考查的是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題12、D【解析】

對(duì)4個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由于a＞b＞0，，A錯(cuò)；當(dāng)0＜c＜1時(shí)，ca＜cb；當(dāng)c＝1時(shí)，ca＝cb；當(dāng)c＞1時(shí)，ca＞cb，故ca＞cb不一定正確，B錯(cuò)；a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C錯(cuò)．，D對(duì)；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接寫(xiě)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組解得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由焦半徑公式得出，求比值即得?！驹斀狻柯?lián)立，可得，解得，所以，故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交問(wèn)題，考查焦半徑公式。解題方法是直接法，即解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)。14、【解析】

由題意，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，即可求解．【詳解】由題意，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，即，可得，即展開(kāi)式中的系數(shù)為40.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題，其中解答中熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、2【解析】因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)，則樣本方差所以．16、【解析】

分析：由正弦定理可把其中一邊化為角，從而由及公式求得面積.

詳解：由題意得，即，∴，故答案為.點(diǎn)睛：正弦定理：，利用它把三角形的邊角與外接圓半徑建立聯(lián)系，這樣可得三角形面積為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)見(jiàn)證明；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)由成等差數(shù)列，可得，結(jié)合基本不等式和正弦定理可以證明出；(Ⅱ)運(yùn)用余弦定理可以求出的表達(dá)式，利用重要不等式和(Ⅰ)中的結(jié)論，可以求出，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象和角是三角形的內(nèi)角，最后可求出角的取值范圍．【詳解】解:(Ⅰ)成等差數(shù)列，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)由正弦定理得(Ⅱ)由余弦定理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)由(Ⅰ)得，，，故角的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)的概念，考查了正弦定理、余弦定理、重要不等式和基本不等式，考查了余弦函數(shù)的圖象，是一道綜合性很強(qiáng)的題目.18、（1）30；（2）65；（3）51.【解析】

（1）先選兩名男選手，再選兩名女選手，乘法原理得到答案.（2）用總的選擇方法減去全是女選手的方法得到答案.（3）分為有男隊(duì)長(zhǎng)和沒(méi)有男隊(duì)長(zhǎng)兩種情況，相加得到答案.【詳解】(1)第一步：選名男運(yùn)動(dòng)員，有種選法.第二步：選名女運(yùn)動(dòng)員，有種選法.共有(種)選法.(2)至少有名男選手”的反面為“全是女選手”.從人中任選人，有種選法，其中全是女選手的選法有種.所以“至少有名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有(種).(3)當(dāng)有男隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人選法任意，共有種選法.不選男隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選女隊(duì)長(zhǎng)，共有種選法，其中不含男選手的選法有種，所以不選男隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，共有種選法.故既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有男選手的選法有(種).【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合問(wèn)題的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和解決問(wèn)題的能力.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）-4【解析】

（1）利用零點(diǎn)判定定理直接計(jì)算求解，即可證明結(jié)果；（2）設(shè)，令，通過(guò)換元，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解的取值范圍，進(jìn)而可得最小值.【詳解】（1）證明：，在區(qū)間上有零點(diǎn)，在區(qū)間上有零點(diǎn).從而在區(qū)間與上均有零點(diǎn)（2）設(shè)，令則，，，時(shí)，，則在上遞增，，故【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)的單調(diào)性的判斷，零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用異面直線所成角的定義再結(jié)合正四棱柱中的性質(zhì)可得直線與所成的角即為所求然后在三角形利用余弦定理即可得解．（2）由于多面體的不規(guī)則性故可利用因此需利用直線與平面所成角為來(lái)確定點(diǎn)的位置后問(wèn)題就解決了．【詳解】（1）連接則由于在正四棱柱中故異面直線與所成角即為直線與所成的角正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，，，異面直線與所成角即為（2）正四棱柱中面，直線與平面所成角為，，，，即多面體的體積為．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角和幾何體體積的求解．解題的關(guān)鍵是第一問(wèn)要利用圖形的性質(zhì)將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；第二問(wèn)對(duì)于不規(guī)則圖形體積的求解常采用規(guī)則圖形的體積差來(lái)求解（比如本題中的多面體的體積轉(zhuǎn)化為正三棱柱的體積減去三棱錐的體積）.21、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

⑴因?yàn)椋?，?其中是的外接圓半徑，所以，所以為等腰三角形.⑵因?yàn)椋?由余弦定理可知，，即解方程得：（舍去）所以.22、（1）216（2）36（3）120【解析】分析：（1）分兩種情況討論甲在最左端時(shí)，有，當(dāng)甲不在最左端時(shí)，有(種）排法，由分類(lèi)計(jì)數(shù)加法原理可得結(jié)果；（2）分三步：將看成一個(gè)整體，將于剩余的2件產(chǎn)品全排列，有3個(gè)空位可選，根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理可得結(jié)果；（3）用表示歌舞類(lèi)節(jié)目，小品類(lèi)節(jié)目，相聲類(lèi)節(jié)目，利用枚舉法可得共有種，每一種排法種的三個(gè)，兩個(gè)可以交換位置，故總的排法為種.詳解：（1）當(dāng)甲在最左端時(shí)，有；當(dāng)甲不在最左端時(shí)，乙必須在最左端，且甲也不在最右端，有(種）排法，共計(jì)（種）排法.（2）根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰，將看成一個(gè)整體，考慮之間的順序，有種情況，將于剩余的2件產(chǎn)品全排列，有種情況，產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，有3個(gè)空位可選，即有3種情況，共有種；（3）法一：用表示歌舞類(lèi)節(jié)目，小品類(lèi)節(jié)目，相聲類(lèi)節(jié)目，則可以枚舉出下列10種：每一種排法種的三個(gè)，兩個(gè)可