對(duì)數(shù)線性模型

對(duì)數(shù)線性模型第1頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)數(shù)線性模型Logit模型描述的是概率與協(xié)變量之間的關(guān)系；對(duì)數(shù)線性模型用來描述期望頻數(shù)與協(xié)變量之間的關(guān)系；考慮期望頻數(shù)m的取值范圍在0到無窮之間，故需要進(jìn)行對(duì)數(shù)變換為，使它的取值在之間；對(duì)數(shù)線性模型具有以下形式：不過，與logit不同的是，對(duì)數(shù)模型中沒有解釋變量，是用行列因子的效應(yīng)參數(shù)來表示。第2頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型設(shè)它的對(duì)數(shù)線性模型就是對(duì)進(jìn)行分解，分解的方法與方差分析中效應(yīng)分解的方法完全相同。于是有，其中，是總的平均，和分別是屬性A在Ai時(shí)和屬性B在Bj時(shí)的效應(yīng)，而是屬性A和B的交互作用(關(guān)聯(lián)項(xiàng)或關(guān)聯(lián)參數(shù))。以上模型是二維列聯(lián)表的飽和模型，其期望頻數(shù)的估計(jì)就是實(shí)際頻數(shù)。第3頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型二維列聯(lián)表的非飽和模型為：其中沒有交互效應(yīng)，經(jīng)過轉(zhuǎn)換可以得到可見，列聯(lián)表獨(dú)立性成立，故稱為獨(dú)立性對(duì)數(shù)線性模型。其mij的估計(jì)為一般認(rèn)為，在對(duì)數(shù)線性模型中，當(dāng)?shù)碗A效應(yīng)為0時(shí)，其高階效應(yīng)也為0.因此，非飽和模型除以上形式外，還有另外兩種情況：第4頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型分別為：其中，屬性A與B獨(dú)立，或僅有屬性A的效應(yīng)，或僅有屬性B的效應(yīng)，且期望頻數(shù)的估計(jì)分別為：獨(dú)立對(duì)數(shù)線性模型是否成立的似然比檢驗(yàn)和皮爾遜卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：第5頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型獨(dú)立性對(duì)數(shù)線性模型也可以理解為：根據(jù)獨(dú)立性條件，在兩邊取對(duì)數(shù)就得到一個(gè)相加關(guān)系，即依賴于一個(gè)與樣本量n有關(guān)的項(xiàng)，一個(gè)與落入第i行的概率有關(guān)的項(xiàng)，和一個(gè)與落入第j列的概率有關(guān)的項(xiàng)，因此獨(dú)立性具有形式：其中，三個(gè)參數(shù)分別對(duì)應(yīng)樣本量的總效應(yīng)、行因素的效應(yīng)和列因素的效應(yīng)。因此，獨(dú)立性的原假設(shè)等價(jià)于該模型的原假設(shè)，獨(dú)立性卡方和似然比檢驗(yàn)，就是該模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。第6頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型從獨(dú)立性模型可知，列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型并不區(qū)分響應(yīng)變量和解釋變量，對(duì)單元頻數(shù)的建模，把行和列都看作響應(yīng)變量。對(duì)數(shù)線性模型的優(yōu)點(diǎn)在于：能定量表示屬性A在Ai時(shí)和屬性B在Bj時(shí)的效應(yīng)，以及它們之間的交互效應(yīng)?！纠繉?duì)給出的二維列聯(lián)表(表7.1)，構(gòu)建對(duì)數(shù)線性模型。首先根據(jù)原列聯(lián)表可以計(jì)算出期望頻數(shù)估計(jì)值，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，,df=(3-1)(3-1)=4,p>0.3,故獨(dú)立性成立。第7頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型在模型檢驗(yàn)通過后，來進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，方法與方差分析完全相同總的效應(yīng)平均為：屬性A在A1時(shí)的效應(yīng)(行效應(yīng))為：類似地，可得到屬性A在A2，A3時(shí)的效應(yīng)分別為：屬性B在B1,B2,B3時(shí)的效應(yīng)(列效應(yīng))分別為：第8頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型根據(jù)以上獨(dú)立模型的結(jié)果可知，在屬性A的效應(yīng)中，A1的行效應(yīng)最大為0.48，A3的行效應(yīng)最小為-0.49；在屬性B的效應(yīng)中，B1和B3的列效應(yīng)相同為-0.31，B2的列效應(yīng)最大為0.62；因此，對(duì)數(shù)線性模型可以定量給出各種效應(yīng)的值。從以上對(duì)數(shù)線性模型的應(yīng)用可以看出，對(duì)數(shù)模型有假設(shè)前提：上例是假定每個(gè)因子的效應(yīng)參數(shù)和等于0.在一些軟件中通常是假定每個(gè)屬性的最后一個(gè)類別的參數(shù)等于0.第9頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一高維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型第10頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一高維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型與二維列聯(lián)表的情況類似，高維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型也分飽和模型、非飽和模型；對(duì)于三維列聯(lián)表的飽和模型為：其中，除四個(gè)單因子項(xiàng)外，三個(gè)雙因子項(xiàng)，一個(gè)三因子項(xiàng)；而它的非飽和對(duì)數(shù)模型可能有8種情況：對(duì)于模型，等價(jià)于三維列聯(lián)表中A,B,C相互獨(dú)立，記為(A,B,C)；對(duì)于模型,等價(jià)于A與BC,B與AC,C與AB相互獨(dú)立；第11頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一高維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型對(duì)于模型，等價(jià)于A給定后B和C條件獨(dú)立，B給定后A和C條件獨(dú)立，C給定后A和B條件獨(dú)立;對(duì)于包括所有一次效應(yīng)和三個(gè)二次效應(yīng)的模型，等價(jià)于所有的獨(dú)立性被拒絕后的三維列聯(lián)表的相關(guān)模，即兩兩有交互作用，但三個(gè)之間沒有交互作用去情形；【例】對(duì)例5.3普通車和高檔車問題構(gòu)建對(duì)數(shù)線性模型(齊次關(guān)聯(lián)模型)。在高維列聯(lián)表的相關(guān)性討論中，該例中所有的獨(dú)立性都被拒絕了，因此判斷是相關(guān)模型，形式為：第12頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一高維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型應(yīng)用統(tǒng)計(jì)軟件可以方便得到模型的參數(shù)估計(jì)；也可以利用迭代法得到的期望頻數(shù)的估計(jì)值(表5.39)，來計(jì)算模型的效應(yīng)參數(shù)，方法與二維表相類似，與方差分析中效應(yīng)的計(jì)算完全相同；與二維表相比，需要注意的是交互作用的計(jì)算方法；在某一格確定后，要用這一格的均值同時(shí)減去行效應(yīng)、列效應(yīng)和總效應(yīng)，才是交互效應(yīng)。在以上齊次關(guān)聯(lián)模型中，條件優(yōu)勢(shì)比與分層因素?zé)o關(guān)，只與兩個(gè)因子的交互效應(yīng)有關(guān)；兩因子的交互效應(yīng)決定了條件優(yōu)勢(shì)比；決定的方式與因子效應(yīng)的計(jì)算有關(guān)；第13頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一高維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型在上述齊次關(guān)聯(lián)模型下，無論按哪個(gè)屬性分層均得到四格表，其對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)比為：因此，條件優(yōu)勢(shì)比與交互效應(yīng)的關(guān)系式為：當(dāng)按照對(duì)數(shù)模型每個(gè)因子的效應(yīng)參數(shù)和等于0的假設(shè)前提時(shí)，；當(dāng)按照軟件的處理，令最后一類的參數(shù)等于0時(shí)，第14頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一不完備列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型對(duì)于先驗(yàn)0的不完備列聯(lián)表，也可以建立對(duì)數(shù)線性模型；不完備二維列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型，與完備列聯(lián)表的區(qū)別僅在于定義域僅限于非空格，模型特點(diǎn)和功效與完備表類似；不完備列聯(lián)表的對(duì)數(shù)線性模型所起的作用，與完備表類似，既是擬獨(dú)立性討論的延伸，又具有應(yīng)用上的同一性；不完備三維列聯(lián)表的情況與完備的三維表相類似，需要借助軟件建立對(duì)數(shù)線性模型。第15頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)數(shù)模型與logit模型區(qū)別：對(duì)數(shù)線性模型關(guān)心的是屬性響應(yīng)變量