復(fù)變函數(shù)與積分變換柯西積分定理

復(fù)變函數(shù)與積分變換柯西積分定理第1頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一問題:復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)滿足什么條件在單連通區(qū)域D內(nèi)沿閉路徑的積分為零?要使只要這只須u與v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且ux=vy,uy=-vx.Cauchy：若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析,且f'(z)連續(xù),則對(duì)D內(nèi)任意閉曲線C有第2頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Cauchy-Coursat定理:

若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析,則對(duì)D內(nèi)任意閉曲線C有第3頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、原函數(shù)與不定積分推論：如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,C屬于D，與路徑無關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。其中C：。固定z0,z1=z在D內(nèi)變化,于是在D內(nèi)確定了關(guān)于z的單值函數(shù):變上限積分。第4頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理2如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)解析,則F(z)在D內(nèi)也是解析的，且證明：第5頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一因f(z)在D內(nèi)解析，故f(z)在D內(nèi)連續(xù)第6頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一特別地定義：若在單連通區(qū)域D內(nèi)恒有F'(z)=f(z),則稱F(z)為f(z)的一個(gè)原函數(shù).f(z)的原函數(shù)的全體稱為f(z)的不定積分,記為解析函數(shù)的原函數(shù)仍為解析函數(shù)第7頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例題1C如圖所示：存在f(z)的解析單連通域D包含曲線C，故積分與路徑無關(guān)，僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。解：從而第8頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一這里D為復(fù)連通域。第9頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一可將柯西積分定理推廣到多連通域的情況，有定理2假設(shè)C及C1為任意兩條簡(jiǎn)單閉曲線,C1在C內(nèi)部,設(shè)函數(shù)f(z)在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析,在邊界上連續(xù)，則證明：取這說明解析函數(shù)沿簡(jiǎn)單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。------閉路變形原理第10頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一推論（復(fù)合閉路定理）：(互不包含且互不相交)，

所圍成的多連通區(qū)域，

第11頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例題2C為包含0與1的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線。解：

（由閉路變形原理）第12頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第13頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一從以上例子可以看出，復(fù)合閉路定理可以把沿任意簡(jiǎn)單閉曲線上的積分化為以所圍奇點(diǎn)為中心的圓周上的積分，也就是說，閉曲線任意變形，只要在變形過程中不經(jīng)過函數(shù)