基本構(gòu)件的彈性靜力分析

基本構(gòu)件的彈性靜力分析第1頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7-1扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩扭矩與扭矩圖7-1-1外力偶矩外力偶矩用T表示，矢量方向沿軸線，或直接給定，或由外力向軸線平移得到。國(guó)際單位制中,T的單位為N.m，對(duì)于傳遞功率的軸，外力偶矩通常給的是功率和轉(zhuǎn)速設(shè)力矩為T，轉(zhuǎn)速為ω，功率為P由功率定義：P=Tω（力偶矩在單位時(shí)間內(nèi)所作之功），國(guó)際單位制中,T的單位為N.m，ω的單位為rad/s(弧度/秒)，功率的單位為W(瓦)（焦耳/秒）工程實(shí)際中，功率的單位為KW(千瓦)，轉(zhuǎn)速的單位為r/min（轉(zhuǎn)/分），單位轉(zhuǎn)換1KW=1000N.m,ω=2πn/60，代入有T=P/ω=1000P×60/2πn=9549P/n(N.m)即：T=9549P/n(N.m)式中，P的單位為KW(千瓦),n的單位為r/min（轉(zhuǎn)/分）。TTΦT第2頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7-1-2扭矩與扭矩圖扭矩——矢量方向垂直于橫截面的內(nèi)力偶矩。扭矩符號(hào)規(guī)定：扭矩矢量與截面外法線方向一致者為正；反之為負(fù)（矢量指向離開(kāi)截面為正，指向截面為負(fù)）。計(jì)算時(shí)，采用“設(shè)正法”。扭矩的計(jì)算方法—截面法:在要求計(jì)算扭矩的截面，用一假想截面截開(kāi)，取其中一部分為研究對(duì)象，利用力矩平衡方程求解。如圖計(jì)算m-m截面扭矩，從m-m截面截開(kāi)，取左半部分為研究對(duì)象，由平衡條件列方程∑Mx=0Mx-T=0解得Mx=T可以取右半部分為研究對(duì)象驗(yàn)證。TTmmTMxx第3頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一扭矩圖—表示扭矩沿桿軸線變化情況的圖形。計(jì)算方法與軸力圖方法相似：1.確定分段（集中力偶作用處）2.寫出扭矩方程3.畫扭矩圖（線段形狀、正負(fù)、端值）第4頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[例題7-1]圓軸上有四個(gè)繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的外力偶，如圖所示。試畫出該軸的扭矩圖。解：1.確定分段：根據(jù)外力偶情況，分為AB、BC、CD三段；2.分段計(jì)算扭矩AB段：取左半段∑Mx=0Mx1+315=0BC段：取左半段∑Mx=0Mx2+315+315=0CD段：取右半段∑Mx=0-Mx3+486=0解得：Mx1=-315N.mMx2=-630N.mMx3=486N.m3.畫扭矩圖各段均為水平直線注明端值、正負(fù)、單位ABCD1500150020001122333153151116486AMx1315xxAMx2315315DMx3486x315630486（N.m）Mxx_+第5頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7-2切應(yīng)力互等定理剪切胡克定律7-2-1切應(yīng)力互等定理考察圖（a）所示微元，ABCD面為對(duì)應(yīng)圓軸橫截面，面上切應(yīng)力為τ，合力為τdydz?？紤]微體的平衡：對(duì)應(yīng)截面切應(yīng)力也應(yīng)為τ，方向相反，二力組成一個(gè)力偶力偶矩為τdydz×dx。設(shè)上下截面切應(yīng)力為τ’，也組成一個(gè)力偶，力偶矩為τ’dydx×dz。由力偶平衡條件∑M=0，有：

τ’dydxdz-τdydzdx=0解得τ=τ’在微體的兩個(gè)互垂截面上，垂直于截面交線（即微體棱邊）的切應(yīng)力數(shù)值相等，其方向均指向或均背離該交線。此關(guān)系稱為切應(yīng)力互等定理。xABCDEFzyτττ,τ,(a)dydzdxxyττ,(b)dydx第6頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7-2-2剪切胡克定律切應(yīng)變—微體在切應(yīng)力作用下，互垂側(cè)邊所夾直角的改變量，用Υ表示。在彈性范圍內(nèi)加載，即切應(yīng)力在比例極限內(nèi)，切應(yīng)力和切應(yīng)變成正比關(guān)系。有τ=GΥ稱為剪切胡克定律G為比例常數(shù)，稱為剪切彈性模量或切變模量。G的量綱與切應(yīng)力相同，其值與材料性質(zhì)有關(guān)，鋼材G=80～84GPa.τττ’τ’Υτττ’τ’Υ=α+

ββαττPτ=GΥΥ第7頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7-3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力、變形計(jì)算7-3-1變形特點(diǎn)受扭前，在圓軸表面用互相平行的圓周線和縱向線劃分成許多小矩形格；受扭后，矩形格變成了平行四邊形，縱向線段不發(fā)生伸長(zhǎng)或縮短，圓周線保持不變。1.平面假定：橫截面變形前為平面，變形后仍保持平面，只是繞軸線轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度。2.變形后，相鄰橫截面間的距離不變。各同軸圓柱面轉(zhuǎn)過(guò)角度相同，但切應(yīng)變不同。切應(yīng)變與圓柱表面到軸心的距離（半徑）成正比。橫截面上只有切應(yīng)力，與半徑成正比；沒(méi)有正應(yīng)力。TTτττ’τ’Υ第8頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一用相距dx的兩個(gè)橫截面以及夾角無(wú)限小的兩個(gè)徑向截面從軸中切取一楔形體，軸表層的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BC’D’，距軸線ρ處的矩形abcd變?yōu)閍bc’d’，均產(chǎn)生剪切變形。dΦ相同，Υ不相同。設(shè)距軸線ρ處的所切楔體左右兩橫截面相對(duì)轉(zhuǎn)角即扭轉(zhuǎn)角為dΦ，矩形abcd的剪應(yīng)變?yōu)棣矗é眩瑒t由圖看出Υ（ρ）≈tgΥ（ρ）=cc’/ac=ρdΦ/dx即Υ（ρ）=ρdΦ/dxdΦ/dx代表扭轉(zhuǎn)角沿桿軸的變化率。對(duì)同一橫截面，為一常數(shù)，可見(jiàn)Υ（ρ）與ρ成正比——變形的幾何關(guān)系7-3-2切應(yīng)力分布特點(diǎn)將胡克定律τ=GΥ代入，得到距軸線為ρ處的切應(yīng)力為τ（ρ）=

GΥ（ρ）=GρdΦ/dx物理關(guān)系對(duì)一個(gè)截面，G、dΦ/dx是常量，

τ與ρ成正比。OdxdΦΥ’（R）D’BADCC’Mxτ（ρ）ρMxdρdAτmaxτmaxRMxMxOdxdΦΥ’（ρ）d’badcC’ρ第9頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7-3-3切應(yīng)力計(jì)算公式考察距截面中心ρ處的微元dρ，其面積為dA，作用在微元上的力為τ（ρ）dA，對(duì)中心之矩為（τ（ρ）dA）ρ。將截面上所有微元上的力對(duì)中心之矩積分，即為該截面的扭矩Mx，即∫Aτ（ρ）dA×ρ=Mx——靜力學(xué)關(guān)系將τ（ρ）=GρdΦ/dx代入，得到∫AGdΦ/dx

ρ2

dA=Mx將GdΦ/dx提出，得到GdΦ/dx∫Aρ2

dA=Mx令I(lǐng)P=∫Aρ2

dA,dΦ/dx=Mx

/G∫Aρ2

dA得到dΦ/dx=Mx

/GIP——計(jì)算變形的基本公式代入到τ（ρ）=

GρdΦ/dx得τ（ρ）=Mxρ/IP——切應(yīng)力計(jì)算公式ττRM

xτ（ρ）ρM

xdρdA第10頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一公式適用條件：圓截面軸，應(yīng)力在剪切比例極限內(nèi)分析橫截面上切應(yīng)力分布特點(diǎn)：1.橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)到軸線的距離成正比，同一半徑上各點(diǎn)的切應(yīng)力相等，橫截面外沿處切應(yīng)力最大，中心處切應(yīng)力為零；2.橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力垂直于該點(diǎn)所在的半徑方向。3.切應(yīng)力方向由“τdA對(duì)軸線之矩的方向與該截面上的扭矩方向一致”確定第11頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一IP=∫Aρ2

dA為與圓軸截面尺寸有關(guān)的量，稱為極慣性矩。直徑為d的實(shí)心圓軸:IP=πd4

/32內(nèi)徑為d，外徑為D的空心圓軸:IP=πD4(1-α4）/32，α=d/DDd第12頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一最大切應(yīng)力橫截面上最大切應(yīng)力在橫截面邊緣處，τmax=Mx

R

/IP=Mx

/(IP/

R)令WP=IP/

R得到τmax=Mx

/WPWP是與截面尺寸有關(guān)的量，稱為圓截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)直徑為d的實(shí)心圓軸:WP=IP/(d/2)=πd3

/16內(nèi)徑為d，外徑為D的空心圓軸:WP=πD3(1-α4）/16第13頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7-3-4相對(duì)扭轉(zhuǎn)角計(jì)算公式由dΦ/dx=Mx/GIP得到相鄰截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為dΦ=Mxdx/GIP兩端積分∫0Φ

dΦ=∫0lMxdx/GIP如果在長(zhǎng)度l內(nèi)，扭矩和截面尺寸為常量，積分得到Φ=Mx

l/GIP如果在長(zhǎng)度l內(nèi)，扭矩和截面尺寸不為常量，則需分段計(jì)算，然后進(jìn)行代數(shù)疊加，得到Φ=∑Mxi

li/GIPi第14頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7-4剪切時(shí)材料的力學(xué)性能低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn):經(jīng)歷線彈性、屈服和破壞三個(gè)主要階段，有屈服應(yīng)力τs和強(qiáng)度極限τb，最后沿橫截面被剪斷。鑄鐵受扭時(shí)，變形始終很小，沒(méi)有明顯的線彈性階段和屈服階段，只有強(qiáng)度極限τb，最后在與軸線約成45°傾角的螺旋面發(fā)生斷裂。τs0τbτΥ低碳鋼0τbτΥ鑄鐵第15頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7-5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)7-5-1強(qiáng)度設(shè)計(jì)強(qiáng)度條件τmax=（Mx

/WP）max≤[τ]對(duì)等截面軸有τmax=Mxmax/WP≤[τ]脆性材料[τ]=τb/nb韌性材料[τ]=τs/ns[τ]與[σ]關(guān)系：脆性材料[τ]=[σ]韌性材料[τ]=(0.5～0.577)[σ]第16頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7-5-2剛度設(shè)計(jì)剛度條件：θ≤[θ]θ=Φ/

l

=Mx

/GIP，工作時(shí)單位長(zhǎng)度上的最大相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，單位為rad/m，[θ]為單位長(zhǎng)度上的相對(duì)許用扭轉(zhuǎn)角，單位為（°）/m，[θ]的數(shù)值與軸的工作條件有關(guān):精密機(jī)械的軸，[θ]=0.25～0.5（°）/m；一般傳動(dòng)軸，[θ]=0.5～1.0（°）/m；剛度要求不高的軸，[θ]=2（°）/m。Mx/GIP≤[θ]計(jì)算時(shí)注意兩端單位統(tǒng)一：采用rad/m，右邊乘以π/180,采用（°）/m，左邊乘以180/π。第17頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一應(yīng)用強(qiáng)度條件和剛度條件，解決三方面問(wèn)題：1.校核強(qiáng)度：（Mx

/WP）max≤[τ]；Mx/GIP≤[θ]2.確定許用載荷：Mxmax≤[τ]WP；Mx

≤[θ]GIP3.確定截面尺寸：WP≥Mxmax/[τ]；IP≥Mxmax/G[θ]，確定軸的直徑若同時(shí)提出強(qiáng)度要求和剛度要求，一般由強(qiáng)度條件計(jì)算，再由剛度條件進(jìn)行校核第18頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[例題7-2]在圖示傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，水平E軸的轉(zhuǎn)速n1=120r/min，從B輪上輸入功率P=14KW，此功率的一半通過(guò)錐形齒輪傳給鉛垂C軸，另一半傳給水平H軸。若錐齒輪A和D的齒數(shù)分別為z1=36和z3=12，各軸直徑分別為d1=70mm，d2=50mm，d3=35mm。軸為鋼制，[τ]=29.4MPa。試校核各軸強(qiáng)度。BAE軸DC軸H軸d1d2d3第19頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：1.計(jì)算各軸所受外力偶矩和扭矩已知各軸傳遞功率分別為P1=14KW，P2=P3=14/2=7KW，各軸轉(zhuǎn)速為n1=n2=120r/min，n3=n1z1/z3=120×36/12=360r/min由T=9549P/n得到各軸所受外力偶矩，各軸扭矩與所受外力偶矩相等，分別為E軸：Mx1=T1=9549P1/n1=9549×14/120=1114N.mH軸：Mx2=T2=9549P2/n2=9549×7/120=557N.mC軸：Mx3=T3=9549P3/n3=9549×7/360=185.7N.mBAE軸DC軸H軸d1d2d3第20頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.強(qiáng)度校核對(duì)C軸：τ3max=Mx3/WP3=16×185.7×103

/π353

=22MPa﹤

[τ]=29.4MPa對(duì)H軸：τ2max=Mx2/WP2=16×557×103

/π503

=22.7MPa﹤

[τ]=29.4MPa對(duì)E軸：τ1max=Mx1/WP1=16×1114×103

/π703

=16.6MPa﹤

[τ]=29.4MPa三根軸均符合強(qiáng)度要求3.可以先判斷危險(xiǎn)狀態(tài)，然后再對(duì)危險(xiǎn)軸進(jìn)行校核根據(jù)τmax=Mxmax

/WP=16Mx

max

/πd3

分析比較各軸應(yīng)力比較E、C二軸：Mx1/Mx3=1114/185.7=6，WP1/WP3=d13/d33

=(2d3)3/d33=8τ1max/τ3max

=Mx1max

WP3

=

/Mx3max

WP1=

6/8=0.75C軸比E軸危險(xiǎn)；比較E、H二軸：

Mx1/Mx2=2，

WP1/WP2=d13/d23

=

(1.4d2)

3/d23=2.74τ1max/τ2max=2/2.74=0.73H軸比E軸危險(xiǎn)，校核C軸和H軸第21頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[例題7-2]實(shí)心軸與空心軸通過(guò)牙嵌離合器相聯(lián)，已知轉(zhuǎn)速n=100r/min，傳遞功率p=7.5KW，材料[τ]=39.3MPa。實(shí)心軸直徑為d1，空心軸內(nèi)外徑之比d2/D2=0.5，求：1.由強(qiáng)度條件確定d1，D2；2.實(shí)心軸與空心軸橫截面面積之比。D2d1d2第22頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：1.因兩軸轉(zhuǎn)速相等，傳遞功率也相等，所以扭矩相等：Mx=T=9549P/n=9549×7.5/100=716.2N.m由強(qiáng)度條件τmax=Mx

/WP≤[τ]，對(duì)實(shí)心軸:WP=πd13

/16代入得到d1≥3√16

Mx

/π

[τ]=3√16×716.2×103/π×39.3=45.3mm對(duì)空心圓軸:WP=πD23(1-α4）/16代入得到D2≥3√16Mx

/π(1-α4）[τ]=3√16×716.2×103/π(1-0.54）×39.3=46.3mm2.實(shí)心軸與空心軸橫截面面積之比A1/A2=πd12/πD22(1-α2)=d12/D22(1-α2)=45.32/46.32(1-0.52)=1.28承受相同的載荷，空心軸比實(shí)心軸面積小。第23頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[例題7-4]鋼制空心圓軸外徑D=100mm，內(nèi)徑d=50mm，材料G=80.4GPa。要求軸在2m內(nèi)的最大相對(duì)扭轉(zhuǎn)角不超過(guò)1.5°，求：1.該軸所能承受的最大扭矩；2.此時(shí)軸內(nèi)的最大切應(yīng)力。解：1.確定軸所能承受的最大扭矩由題所給條件知:[θ]=1.5/2=0.75°/m=0.75×π/180=0.013rad/mIP=πD4(1-α4）/32=π0.14(1-0.54）/32=9.2×10-6m4由剛度條件θ=Mx/GIP≤[θ]得到Mx≤

GIP[θ]=80.4×109×9.2×10-6×0.013=9.62×103N.m=9.62KN.m2.計(jì)算軸內(nèi)的最大切應(yīng)力。WP=IP/D/2=9.2×10-6/0.05=1.84×10-4m3τmax=Mx/WP=9.62×103/1.84×10-4=52.28×106Pa=52.28MPa作業(yè)：7-6，7-7，7-8第24頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7-6承受彎曲與扭轉(zhuǎn)的圓軸

強(qiáng)度設(shè)計(jì)7-6-1彎扭組合及計(jì)算簡(jiǎn)圖齒輪或皮帶輪傳遞功率時(shí)，受到的力將使傳動(dòng)軸同時(shí)產(chǎn)生彎曲和扭轉(zhuǎn)，即產(chǎn)生彎扭組合變形。計(jì)算簡(jiǎn)圖—將作用在齒輪上的力向軸的截面形心簡(jiǎn)化，用軸線受力代替軸的受力，這種圖稱為傳動(dòng)軸的計(jì)算簡(jiǎn)圖。ABFP1FP2FP3ABFP1FP2FP3T1T2T3FAyFAzFBzFBYxzyABFP1FP2FP3T1T2T3FAyFAzFBzFBYxzyCDE第25頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.內(nèi)力分析：轉(zhuǎn)軸上，既有扭矩，又有彎矩，畫出彎矩圖和扭矩圖，可以確定危險(xiǎn)截面：彎矩最大，扭矩最大或彎矩、扭矩同時(shí)最大。2.危險(xiǎn)截面的危險(xiǎn)點(diǎn)上的應(yīng)力分析：彎矩:σmax=M/WM=2√My2+Mz2距中性軸最遠(yuǎn)處；扭矩：τmax=Mx/Wp在截面的邊緣。結(jié)論：危險(xiǎn)點(diǎn)在截面的邊緣。應(yīng)力狀態(tài):既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力MxMzMyMxMMxMττσσ彎扭組合時(shí)危險(xiǎn)點(diǎn)微體應(yīng)力狀態(tài)第26頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7-6-2強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則微元體—由橫截面、縱截面及圓軸的圓柱面所截的六面體。應(yīng)力狀態(tài)—微元體及其各方向面的應(yīng)力情況稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。微元體只有正應(yīng)力σ作用，稱為單向拉伸（壓縮）狀態(tài)；微元體只有切應(yīng)力τ作用的狀態(tài)，稱為純剪應(yīng)力狀態(tài)。以上兩種狀態(tài)，都可以直接利用實(shí)驗(yàn)結(jié)果建立設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。σmax≤[σ]τmax≤[τ]

既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力的狀態(tài)，但在一個(gè)平面內(nèi)，稱為平面應(yīng)力狀態(tài)。平面應(yīng)力狀態(tài)下，破壞不僅與應(yīng)力大小有關(guān)，還與兩者比值有關(guān)，不能由實(shí)驗(yàn)結(jié)果確定設(shè)計(jì)準(zhǔn)則σσ單向應(yīng)力狀態(tài)ττ純剪應(yīng)力狀態(tài)ττσσ平面應(yīng)力狀態(tài)第27頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一確定設(shè)計(jì)準(zhǔn)則方法：根據(jù)其可能的破壞形式，假設(shè)破壞原因，在此基礎(chǔ)上，利用拉伸試驗(yàn)結(jié)果，建立相應(yīng)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。對(duì)于韌性材料，破壞主要由最大切應(yīng)力引起，一般有兩種設(shè)計(jì)準(zhǔn)則：最大切應(yīng)力準(zhǔn)則或第三強(qiáng)度準(zhǔn)則：√σ2+4τ2≤[σ]形狀改變比能準(zhǔn)則或第四強(qiáng)度準(zhǔn)則√σ2+3τ2≤[σ]對(duì)圓截面軸，彎扭組合情況下，有σ=M/W，τ=Mx/wp,考慮到WP=2W,代入可得到√M2+Mx2/W≤[σ]——第三強(qiáng)度準(zhǔn)則：√M2+0.75Mx2/W≤[σ]——第四強(qiáng)度準(zhǔn)則：W=πd3/32第28頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一引入記號(hào)Mr3=√M2+Mx2=√Mx2+My2+Mz2Mr4=√M2+0.75Mx2=√0.75Mx2+My2+Mz2得到Mr3/W≤[σ]Mr4/W≤[σ]將W=πd3/32代入得到設(shè)計(jì)彎扭組合時(shí)圓軸直徑計(jì)算公式d≥3√32Mr3/π[σ]≈

3√10Mr3/[σ]d≥3√32Mr4/π[σ]≈

3√10Mr4/[σ]第29頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一計(jì)算步驟：1.內(nèi)力分析：畫出彎矩圖和扭矩圖，確定危險(xiǎn)截面，分析危險(xiǎn)截面的內(nèi)力；2.對(duì)危險(xiǎn)截面的危險(xiǎn)點(diǎn)進(jìn)行應(yīng)力分析；3.根據(jù)應(yīng)力情況，應(yīng)用相應(yīng)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，按照題目要求，進(jìn)行計(jì)算。第30頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[例題7-5]電動(dòng)機(jī)功率P=9KW，轉(zhuǎn)速n=715r/min，皮帶輪直徑D=250mm，電動(dòng)機(jī)軸外伸部分長(zhǎng)度l=120mm，軸的直徑d=40mm。已知[σ]=60MPa，試用第三強(qiáng)度理論，校核電動(dòng)機(jī)軸的強(qiáng)度。解：1.外力和內(nèi)力分析：電動(dòng)機(jī)軸的外伸部分可以看作懸臂梁，所受皮帶拉力一方面產(chǎn)生扭矩，另一方面產(chǎn)生彎矩，軸產(chǎn)生彎扭組合變形。將力向軸線簡(jiǎn)化，可以得到電動(dòng)機(jī)軸的受力簡(jiǎn)圖。危險(xiǎn)截面在根部，扭矩T=Mx=2FPD/2-FPD/2=FPD/2彎矩M=3FPldlDFP2FPDl3FPMxFPD/2+3FPl-第31頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.由題目所給條件求FP和M外力偶矩T=9549P/n=9549×9/715=120.2N.m=1.202×105N.mm

扭矩Mx=T=1.202×105N.mm

代入Mx=FPD/2得到FP=2Mx/D=2×120.2/250×10-3=961.6NM=3FPl=3×961.6×120=3.462×105N.mm3.強(qiáng)度校核由第三強(qiáng)度理論√M2+Mx2/W=32√M2+Mx2/πd3=32√(3.462×105)2+(1.202×105)2/π403

=58.32MPa≤[σ]=60MPa電動(dòng)機(jī)軸滿足強(qiáng)度要求。第32頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[例題7-6]一端固定的圓桿BD在B端與剛性桿AB固結(jié)在一起，A端作用有平行于y的力FP。已知FP=5KN，a=300mm，b=500mm，BD桿直徑d=60mm，[σ]=140MPa，校核BD桿強(qiáng)度。解：1.對(duì)BD桿進(jìn)行受力分析,確定危險(xiǎn)截面:將FP向B點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一個(gè)力偶和一個(gè)力FP，力偶矩為T=FP×a=5×103×300=1.5×106N.mm作BD桿的內(nèi)力圖，可以看出危險(xiǎn)截面在D，扭矩Mx=T=1.5×106N.mm彎矩M=FP×b=5×103×500=2.5×106N.mmABDFPabxyzFPTbDB+Mx+M第33頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.校核強(qiáng)度由第三強(qiáng)度理論√M2+Mx2/W=32√M2+Mx2/πd3=32√(2.5×106)2+(1.5×106)2/π603=137MPa≤[σ]=140MPaBD桿強(qiáng)度安全第34頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7-7圓軸疲勞強(qiáng)度概述7-7-1交變應(yīng)力與疲勞失效交變應(yīng)力—構(gòu)件上的應(yīng)力隨著時(shí)間的變化而變化。如火車輪軸受力σA=MyA/IzyA=RsinωtσA=MRsinωt/Iz應(yīng)力隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化應(yīng)力循環(huán)—交變應(yīng)力每變化一個(gè)周期，稱為一個(gè)應(yīng)力循環(huán)。疲勞失效—構(gòu)件在交變應(yīng)力作用下，經(jīng)過(guò)一定次數(shù)的應(yīng)力循環(huán)而發(fā)生的破壞現(xiàn)象，稱為疲勞失效，簡(jiǎn)稱疲勞。ωωtyAARMσ+maxσ-maxσtabc第35頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7-7-2疲勞失效的特點(diǎn)與原因簡(jiǎn)述在交變應(yīng)力作用下，疲勞失效的特征：1.破壞時(shí)的明義應(yīng)力值遠(yuǎn)低于材料在靜載荷作用下的強(qiáng)度指標(biāo)；2.構(gòu)件在一定數(shù)值的交變應(yīng)力作用下發(fā)生破壞有一個(gè)過(guò)程，即需要經(jīng)過(guò)一定數(shù)量的應(yīng)力循環(huán)；3.構(gòu)件在破壞前沒(méi)有明顯的塑性變形，即使塑性很好的材料，也將呈現(xiàn)脆性斷裂；4.疲勞破壞斷口一般都有明顯的光滑區(qū)域和顆粒狀區(qū)域。第36頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一原因概述：位錯(cuò)—金屬原子晶格的某些缺陷或錯(cuò)位。1.微裂紋：疲勞起源由于位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)引起，位錯(cuò)通過(guò)運(yùn)動(dòng)聚集在一起，形成初始的疲勞裂紋，裂紋長(zhǎng)度在10-4～10-7m，稱為微裂紋；2.宏觀裂紋：形成微裂紋后，在微裂紋處形成新的應(yīng)力集中，在交變應(yīng)力作用下，微裂紋不斷擴(kuò)大、相互貫通，形成較大的裂紋，長(zhǎng)度大于10-4m，稱為宏觀裂紋；3.破壞：再經(jīng)過(guò)若干次應(yīng)力循環(huán)后，宏觀裂紋繼續(xù)擴(kuò)展，致使截面削弱，類似在構(gòu)件存在尖銳的“切口”，使局部區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力達(dá)到很大數(shù)值，局部材料處于三向拉伸狀態(tài)，結(jié)果在較低的名義應(yīng)力下構(gòu)件發(fā)生破壞。第37頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一疲勞破壞斷口有三個(gè)不同區(qū)域：1.疲勞源區(qū)，初始裂紋由此形成并擴(kuò)展；2.疲勞擴(kuò)展區(qū)，有明顯的條紋，類似被海浪沖擊后的沙灘，由裂紋傳播形成；3.瞬間斷裂區(qū)，斷口為粗粒狀，是脆性斷裂的特征。裂紋的生成和擴(kuò)展是一個(gè)復(fù)雜過(guò)程，與構(gòu)件的外形、尺寸、應(yīng)力的變化情況以及所處的介質(zhì)都有關(guān)系，有些破壞突然發(fā)生，引起的后果比較嚴(yán)重，所以需要經(jīng)常檢測(cè)。第38頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7-7-3應(yīng)力—壽命曲線疲勞試驗(yàn)在疲勞試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行，形成對(duì)稱循環(huán)。為減少其它因素影響，試件采用表面磨光、橫截面尺寸無(wú)突然變化以及直徑為7-10mm的小尺寸試件，這種光滑小尺寸試樣的試驗(yàn)結(jié)果稱為材料的疲勞極限。對(duì)稱循環(huán)—交變應(yīng)力中，最大應(yīng)力與最小應(yīng)力數(shù)值相等，但符號(hào)相反，即σmax=-σmin,應(yīng)力—壽命曲線——表明試件壽命（N）隨其承受的應(yīng)力（S）變化趨勢(shì)的曲線。疲勞極限—經(jīng)過(guò)無(wú)窮多次應(yīng)力循環(huán)而不發(fā)生破壞時(shí)的最大應(yīng)力值，又稱為持久極限。S-1SmaxN試驗(yàn)點(diǎn)應(yīng)力-壽命曲線σ+maxσ-maxσt第39頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)于有水平漸近線的材料，經(jīng)歷107次應(yīng)力循環(huán)不破壞，即認(rèn)為可承受無(wú)數(shù)多次循環(huán)不破壞。對(duì)稱循環(huán)的疲勞極限用σ-1表示。試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，鋼材的疲勞極限與其靜強(qiáng)度極限存在近似關(guān)系:σ彎-1≈0.4σb,σ拉-壓-1≈0.28σb,

τ扭-1≈0.22σb,在交變應(yīng)力作用下，材料抵抗破壞的能力顯著降低。第40頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7-7-4影響構(gòu)件疲勞極限的因素構(gòu)件的疲勞極限與材料的疲勞極限不同，不僅與材料的性能有關(guān)，還與構(gòu)件的外形、橫截面尺寸以及表面狀況等因素密切相關(guān)。1.應(yīng)力集中的影響（構(gòu)件外形的影響）應(yīng)力集中—在構(gòu)件或零件截面和尺寸突變處，局部應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于按一般理論公式算得的數(shù)值，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。應(yīng)力集中有利于初始疲勞形成和發(fā)展。應(yīng)力集中對(duì)疲勞極限的影響用有效應(yīng)力集中因數(shù)Kf度量，它代表光滑試件的疲勞極限與同樣尺寸但有應(yīng)力集中的試件疲勞極限的比值，表示所降低的倍數(shù)，Kf＞1。材料的靜強(qiáng)度極限越高，應(yīng)力集中對(duì)疲勞極限的影響越顯著。第41頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.零件尺寸的影響構(gòu)件尺寸大于標(biāo)準(zhǔn)試樣尺寸時(shí)，疲勞極限降低，強(qiáng)度越高，下降越明顯。原因：大構(gòu)件毛坯質(zhì)量比小構(gòu)件差；大尺寸構(gòu)件表面積和表層體積比較大，裂紋源一般在表面或表層下；高應(yīng)力區(qū)影響，大構(gòu)件高應(yīng)力區(qū)高于小試件，有利于初始裂紋的形成和擴(kuò)展，使疲勞極限降低。構(gòu)件尺寸對(duì)疲勞極限的影響用尺寸因數(shù)ε度量，代表光滑大尺寸試件的疲勞極限與光滑小尺寸試件的疲勞極限的比值，ε＜1。第42頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.表面加工質(zhì)量的影響構(gòu)件承受彎曲或扭轉(zhuǎn)時(shí)，表層應(yīng)力最大，對(duì)于截面有突變的拉壓構(gòu)件，表面加工質(zhì)量直接影響裂紋的形成和擴(kuò)展，影響構(gòu)件的疲勞極限。表面加工質(zhì)量對(duì)疲勞極限的影響，用表面質(zhì)量因數(shù)β度量，代表用某種方法加工的構(gòu)件的疲勞極限與光滑試件的疲勞極限的比值，β＜1。表面加工質(zhì)量越低，β越小，材料的靜強(qiáng)度越高，加工質(zhì)量的影響越顯著。第43頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一構(gòu)件的疲勞極限綜合考慮以上因素，可以得到構(gòu)件的疲勞極限計(jì)算公式，以對(duì)稱循環(huán)為例：（σ-1）d=(εβ/Kfσ)σ-1（τ-1）d=(εβ/Kfτ)τ-1式中：（σ-1）d，（τ-1）d—對(duì)稱循環(huán)的構(gòu)件疲勞極限；σ-1，τ-1—材料疲勞極限；Kfσ，Kfτ—正應(yīng)力和切應(yīng)力的應(yīng)力集中因數(shù)；ε—截面尺寸因數(shù)；β—表面質(zhì)量因數(shù)第44頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7-7-5疲勞強(qiáng)度設(shè)計(jì)工程設(shè)計(jì)中，一般首先根據(jù)靜載設(shè)計(jì)準(zhǔn)則確定構(gòu)件的初步尺寸，然后再根據(jù)疲勞強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則對(duì)危險(xiǎn)部位作疲勞強(qiáng)度校核。通常將疲勞強(qiáng)度設(shè)計(jì)寫成安全因數(shù)的形式，即n≥[n]n為零部件的工作安全因數(shù)，又稱計(jì)算安全因數(shù)；[n]為規(guī)定安全因數(shù)，又稱許用安全因數(shù)。材料均勻，且載荷和應(yīng)力計(jì)算精確時(shí)，取[n]=1.3；材料均勻程度差，且載荷和應(yīng)力計(jì)算精確度不高時(shí)，取[n]=1.5～1.8；材料均勻程度和載荷和應(yīng)力計(jì)算精確度都不高時(shí)，取[n]=1.8～2.5。第45頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一疲勞強(qiáng)度計(jì)算的主要工作是計(jì)算工作安全因數(shù)。對(duì)稱應(yīng)力循環(huán)下零件的工作安全因數(shù)為：nσ=（σ-1）/(εβσa/Kfσ)nτ=（τ-1）/(εβτa/Kfτ)σa，τa為應(yīng)力變化幅值，在對(duì)稱應(yīng)力循環(huán)下，為應(yīng)力變化的最大值。對(duì)于既有彎曲交變又有扭轉(zhuǎn)交變（對(duì)稱循環(huán)交變）的情形，工作安全因數(shù)為：n=nσnτ/√

nσ2+nτ2系數(shù)Kf，ε，β可以由設(shè)計(jì)手冊(cè)查得，計(jì)算過(guò)程十分繁瑣。第46頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7-8結(jié)論與討論7-8-1關(guān)于圓軸強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)過(guò)程1.分析與軸相連接的零件，以及作用在這些零件上的力（主動(dòng)力和約束力）；2.將作用在連接零件上的力向軸線簡(jiǎn)化，畫出軸的受力圖；3.繪制軸的扭矩圖、彎矩圖，確定可能的危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)截面的內(nèi)力；4.根據(jù)危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力確定危險(xiǎn)點(diǎn)的位置；5.應(yīng)用相應(yīng)的強(qiáng)度理論和題目要求，進(jìn)行計(jì)算。剛度設(shè)計(jì)一般在強(qiáng)度設(shè)計(jì)之后進(jìn)行，第47頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7-8-2關(guān)于非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力1.非圓截面桿桿的橫截面扭轉(zhuǎn)后不保持平面，發(fā)生翹曲，平面假設(shè)不成立。2.截面邊緣各點(diǎn)處的剪應(yīng)力平行于周邊，角點(diǎn)處的剪應(yīng)力為零；3.矩形截面桿的最大剪應(yīng)力發(fā)生在長(zhǎng)邊中點(diǎn)處，短邊中點(diǎn)處的剪應(yīng)力也有相當(dāng)大的數(shù)值。設(shè)l為桿長(zhǎng)，a和b分別為矩形截面的長(zhǎng)邊與短邊，扭矩Mx=T，則長(zhǎng)邊中點(diǎn)處τmax=Mx/C1ab2短邊中點(diǎn)處的剪應(yīng)力τ=C3τmax相對(duì)扭轉(zhuǎn)角Φ=Mx

l

/C2Gab3G為材料的切變模量；系數(shù)C1、C2、

C3與比值a/b有關(guān)。(表7-1p167)作業(yè)：7-12abτ

maxτ

第48頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一6-24已知q=10N/mm，l=4m，[σ]=100MPa，[w]=l/1000，E=200GPa，確定槽鋼型號(hào)。解：先由強(qiáng)度條件確定槽鋼型號(hào)。跨中有最大彎矩:Mmax=ql2/8=10×(4×103)2/8=2×107N.mm由強(qiáng)度條件Mmax/Wz≤[σ]得到Wz≥Mmax

/[σ]=2×107/100=2×105mm3由于有兩個(gè)槽鋼，每個(gè)槽鋼W=1×105mm3=100cm3查表得到No.16a:Wx=108.3cm3,Ix=866.2cm4。BAlq第49頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由剛度條件w=5ql4/384EI≤[w]得到I≥5ql4/384E[w]=5×10×(4×103)4/384×200×103×4=4.17×107mm4=4.17×103mm4由于有兩個(gè)槽鋼，每個(gè)槽鋼I=2.085×103cm3查表得到No.22a：Ix=2393.9cm4,Wx=217.6cm3,綜合考慮，取No.22a槽鋼或由強(qiáng)度條件確定No.16a:Wx=108.3cm3,Ix=866.2cm4后，由剛度條件校核跨中有最大撓度，查表得：wmax=5ql4/384EI=5×10×(4×103)4/384×200×103×866.2×104=19.2mm[w]=l/1000=4000/1000=4mmwmax＞

[w]，不滿足剛度要求。再由剛度條件確定。第50頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7-6試作圖示軸的扭矩圖，單位為KN.m解：分成四段，由∑Mx=0計(jì)算各段扭矩EB段：Mx1=-30KN.mDE段：Mx2=-30+20=-10KN.mCD段：Mx3=-30+20+15=5KN.mAC段：Mx4=-30+20+15+10=15KN.m作扭矩圖30Mx130Mx22030Mx3152030Mx4152010-+1551030(KN.m)xMx10152030ABCDE作業(yè)講評(píng)第51頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7-7已知T1=1765N.m，T2=1171N.m，G=80.4GPa，求1.軸內(nèi)的最大切應(yīng)力及其作用位置；2.軸內(nèi)最大相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。解：1.作軸的扭矩圖BC段最大切應(yīng)力τ1max=Mx1/WP1=-16×1171×103/π503=47.74MPaAB段最大切應(yīng)力τ2max=Mx2/WP2=-16×2936×103/π703=43.61MPa比較得到τmax=-47.74MPa2.求軸內(nèi)最大相對(duì)扭轉(zhuǎn)角ΦBC=Mx1l1/GIP1=-32×1171×103×500/80.4×103×π504=-1.187×10-2radΦA(chǔ)B=Mx2l2/GIP2=-32×2936×103×700/80.4×103×π704=-1.085×10-2radΦA(chǔ)C=ΦA(chǔ)B+ΦBC=Mx1l1/GIP1+Mx2l2/GIP2

=-32×1171×103×500/80.4×103×π504-32×2936×103×700/80.4×103×π704=-2.272×10-2radABCT1T2700500Φ50Φ70Tx11712936-第52頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7-8已知T=3KN.m，l=200mm，求1.軸內(nèi)最大切應(yīng)力；2.半徑r=15mm處的切應(yīng)力與最大切應(yīng)力的比值。解：1.軸內(nèi)扭矩為Mx=T=3KN.m=3×106N.mmτmax=Mx/WP=16×3×106/π603=70.77MPa2.半徑r=15mm處的切應(yīng)力τ=Mxr/IP=32×3×106×15/π604=35.38MPa與最大切應(yīng)力的比值:τ/τmax=35.38/70.77=0.5第53頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7-12已知功率P=7KW，轉(zhuǎn)速n=200r/min，F(xiàn)S1=2FS2，[σ]=80MPa，試按第三強(qiáng)度理論選軸的直徑。解：1.計(jì)算外力矩T=9549p/n=9549×7/200=334N.m=334×105N.mm2.扭矩Mx=T=(FS1-FS2)R=(2FS2-FS2)R=FS2R解得FS2=T/R=334/0.25=1337N選軸為研究對(duì)象，由平衡條件得到：

∑Mx=0

FS1R-FS2R-FRcos20°r=0解得FR=FS2R/rcos20°=1337×250/150×0.94=2371NABCD20020040030050020°FS2FS1FR第54頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.計(jì)算彎矩D截面彎矩MDz=(FS1+FS2)200=3×1337×200=8.02×105N.mmC截面彎矩MC=FR×200=2371×200=4.74×105N.mm＜MDzD截面為危險(xiǎn)截面,彎扭組合變形。4.由第三強(qiáng)度理論確定軸的直徑√M2+Mx2/w≤[σ],W=πd3/32代入解得d≥3√32√M2+Mx2/π[σ]=3√32√(8.02×105)2+(3.34×105)2/π×80=48mm4.74×1058.02×105CDABABCD200200400300500FS1+FS2FRFCFD第55頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第8章受壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)§8-1彈性平衡穩(wěn)定性的基本概念8-1-1平衡構(gòu)形的穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性平衡構(gòu)形—結(jié)構(gòu)在壓縮載荷或在其它特定載荷作用下，在某一位置保持平衡，這一平衡位置稱為平衡構(gòu)形。穩(wěn)定平衡—當(dāng)載荷小于一定數(shù)值時(shí)，微小外界擾動(dòng)使其偏離平衡構(gòu)形，外界擾動(dòng)除去后，構(gòu)件仍能回復(fù)到初始平衡構(gòu)形，則稱初始的平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的，不穩(wěn)定平衡—擾動(dòng)除去后，構(gòu)件不能回復(fù)到初始平衡構(gòu)形，則稱初始的平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的。屈曲—不穩(wěn)定的平衡構(gòu)形在任意微小的外界擾動(dòng)下，都要轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌胶鈽?gòu)形，這一過(guò)程稱為屈曲或失穩(wěn)。屈曲將導(dǎo)致構(gòu)件失效。由于這種失效具有突發(fā)性，常給工程帶來(lái)災(zāi)難性后果。第56頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一8-1-2臨界狀態(tài)與臨界載荷臨界狀態(tài)——壓桿介于穩(wěn)定和不穩(wěn)定之間的狀態(tài)，稱臨界狀態(tài)，臨界載荷——使壓桿桿件處于臨界狀態(tài)的壓縮載荷稱為臨界載荷，用FPcr表示。在臨界載荷作用下，壓桿可以在微彎狀態(tài)保持平衡。失穩(wěn)現(xiàn)象的發(fā)生，是因?yàn)檩S向壓力值達(dá)到或超過(guò)了壓桿的臨界載荷，壓桿直線形式的平衡變?yōu)椴环€(wěn)定造成的。△△FP≥FPcr第57頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一8-1-3三種類型的壓桿的不同臨界狀態(tài)根據(jù)壓桿不同的失效形式，受壓桿件分為三種類型，臨界狀態(tài)和臨界載荷各不相同。1.細(xì)長(zhǎng)桿—發(fā)生彈性屈曲。當(dāng)外加載荷FP＜FPcr時(shí)，不發(fā)生屈曲，F(xiàn)P＞FPcr時(shí)，發(fā)生彈性屈曲，如圖（a）所示。彈性屈曲—外加載荷除去后，桿仍能由彎形平衡構(gòu)形回復(fù)到初始直線平衡構(gòu)形。2.中長(zhǎng)桿—發(fā)生彈塑性屈曲。當(dāng)外加載荷FP＞FPcr時(shí)，發(fā)生彈塑性屈曲，如圖（b）所示。彈塑性屈曲—外加載荷除去后，桿不能由彎形平衡構(gòu)形回復(fù)到初始直線平衡構(gòu)形，有些部分出現(xiàn)塑性變形。3.短粗桿—不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服。當(dāng)外加載荷FP＞FPcr時(shí)，桿件屈服。如圖（c）所示。臨界狀態(tài)不同，臨界載荷也不同，短粗桿最大，細(xì)長(zhǎng)桿最小。OFPFPcr△(b)OFPFPcr△(c)OFPFPcr△(a)第58頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2細(xì)長(zhǎng)桿的臨界載荷—?dú)W拉臨界力8-2-1兩端鉸支的壓桿的臨界載荷當(dāng)FP無(wú)限接近FPcr時(shí)，在直線平衡構(gòu)形附近無(wú)窮小的鄰域內(nèi)存在微彎的屈曲平衡構(gòu)形。由平衡條件和小撓度微分方程以及端部約束條件，確定臨界載荷。建立圖示坐標(biāo)系，設(shè)距坐標(biāo)原點(diǎn)x處壓桿撓度為w，由小撓度微分方程d2w/dx2=±M(x)/EI求解（順時(shí)針轉(zhuǎn)90°，x向右為正，w向下為正，方程右邊取負(fù)號(hào)）即：d2w/dx2=-M(x)/EI由截面法得到，彎矩方程為M(x)=FPw代入得到d2w/dx2=-FPw/EI令k2=FP/EI，整理得到d2w/dx2+k2w=0為二階齊次微分方程FPBABMFPFP’xxwwlFPBA△BMFPFP’xxww第59頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一方程的通解為w=Asinkx+Bcoskx由邊界條件w（0）=0，w（l）=0得到0=Asin0°+Bcos0°，解得B=0；0=Asinkl+Bcoskl，解得Asinkl=0；或者A=0或者sinkl=0A=0，壓桿各橫截面撓度均為0，與假設(shè)不符；由此解得sinkl=0即kl=0，π，2π，…,nπ即kl=nπ(n=0,1,2,…)解得k=nπ/l代入到k2=FP/EI得到FP=n2π2EI/l2當(dāng)n=1時(shí)，解得有實(shí)際意義的臨界載荷的最小值即：FPcr=π2EI/l2臨界載荷FPcr與EI成正比，與桿長(zhǎng)的平方成反比。由于端部為光滑鉸鏈約束，I為壓桿橫截面軸慣性矩的最小值。FPcrBA△n=1時(shí)FPcr=π2EI/l2第60頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一8-2-2不同支承條件下的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷不同支承條件下的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷計(jì)算公式不同，但是可以寫成如下相似的形式，即FPcr

=π2EI/（μl）2稱為歐拉公式其中μ稱為長(zhǎng)度系數(shù)，反映了支承方式對(duì)臨界載荷的影響，μ

l稱為有效長(zhǎng)度：為不同支承形式的壓桿屈曲后正弦半波的長(zhǎng)度。。(a)一端自由，一端固定：μ=2.0(b)兩端固定：μ=0.5(c)一端鉸支，一端固定：μ=0.7(d)兩端鉸支：μ=1.0公式適用條件：壓桿微彎曲，彈性范圍內(nèi)。FPl(a)FPl(c)FPl(b)FPBA(d)l第61頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-3柔度三類不同壓桿的區(qū)分8-3-1柔度臨界應(yīng)力—壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)橫截面上的平均應(yīng)力。σcr=FPcr

/A=π2EI/A（μl）2令i2=I/A，稱為截面的慣性半徑，量綱為長(zhǎng)度，令λ=μl/i，代入得到細(xì)長(zhǎng)桿的臨界應(yīng)力為σcr=π2E/(μl/i)2=π2E/λ2

λ稱為柔度或長(zhǎng)細(xì)比，是一個(gè)無(wú)量綱的量，綜合反映了壓桿的支承方式（μ）、長(zhǎng)度（l）、截面幾何性質(zhì)（i）對(duì)壓桿臨界應(yīng)力的影響。對(duì)由一定材料制成的細(xì)長(zhǎng)壓桿，臨界應(yīng)力僅與柔度有關(guān)，柔度越大，臨界應(yīng)力越低。第62頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一8-3-2三類不同壓桿的區(qū)分1.細(xì)長(zhǎng)桿歐拉公式只在彈性范圍內(nèi)適用，即壓桿在直線平衡時(shí)，橫截面上的應(yīng)力小于或等于材料的比例極限，即σcr=FPcr

/A=π2E/λ2≤σP由此解得

λ≥

√π2E/σP令λ1=

√π2E/σP。壓桿柔度λ≥λ1時(shí)，歐拉公式成立，壓桿稱為細(xì)長(zhǎng)桿，計(jì)算臨界應(yīng)力的公式為σcr=π2E/λ2(λ≥λ1)第63頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.中長(zhǎng)桿壓桿柔度λ＜λ1，不是細(xì)長(zhǎng)桿，但λ﹥?chǔ)?λ2=a-σs/b滿足λ2＜λ＜λ1

稱為中長(zhǎng)桿，其中λ2=（a-σs）/ba、b與材料有關(guān)，為材料常數(shù)，單位為MPa，一般可以查表得到(p176)。σs為材料的屈服應(yīng)力。計(jì)算臨界應(yīng)力的公式為σcr=a-bλ(λ2＜λ＜λ1)λ為壓桿的柔度3.粗短桿壓桿柔度λ≤λ2的壓桿稱為粗短桿。細(xì)長(zhǎng)桿和中長(zhǎng)桿破壞形式為屈曲，粗短桿破壞形式為屈服。臨界應(yīng)力為材料的屈服應(yīng)力σcr=σs(λ≤λ2)第64頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4臨界應(yīng)力總圖非細(xì)長(zhǎng)桿的臨界應(yīng)力根據(jù)三類壓桿的臨界應(yīng)力與柔度的關(guān)系作出的σcr-λ曲線,稱為臨界應(yīng)力總圖1.細(xì)長(zhǎng)桿σcr=π2E/λ2(λ＞

λ1)2.中長(zhǎng)桿：發(fā)生了塑性變形，理論計(jì)算比較復(fù)雜，采用直線經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算σcr，再由FPcr=σcrA計(jì)算臨界載荷σcr=a-bλ(λ2＜λ＜λ1)3.粗短桿：不發(fā)生屈曲，只發(fā)生屈服，臨界應(yīng)力為材料的屈服應(yīng)力σcr=σs(λ≤

λ2)OλAλ2λ1BCσcrσsσpσcr=σsσcr=a-bλσcr=π2E/λ2

第65頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-5壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)8-5-1設(shè)計(jì)準(zhǔn)則FP≤FPcr/nstFP為工作載荷，F(xiàn)Pcr為臨界載荷，nst為安全因數(shù)。即受壓桿件的實(shí)際載荷，小于桿件的臨界載荷，并具有一定的安全裕度。安全因數(shù)法nW≥[n]stnW稱為工作安全因數(shù)，nW=FPcr/FP=σcrA

/FP[nst]為規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)。在靜載作用下，穩(wěn)定安全因數(shù)略高于強(qiáng)度安全因數(shù)。鋼材：[n]st=1.8～3.0；鑄鐵：[n]st=5.0～5.5木材：[n]st=2.8～3.2穩(wěn)定安全因數(shù)與柔度有關(guān)。第66頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一8-5-2穩(wěn)定計(jì)算與設(shè)計(jì)過(guò)程1.首先根據(jù)桿長(zhǎng)、橫截面慣性矩和面積以及支承條件，計(jì)算桿件的柔度λ=μl/i，由此判斷桿件類型；2.根據(jù)桿件類型選擇相應(yīng)的臨界應(yīng)力計(jì)算公式，并計(jì)算臨界載荷FPcr=σcrA；3.計(jì)算工作安全因數(shù)，并驗(yàn)算是否滿足穩(wěn)定性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。nW=FPcr/FP≥[n]stFPcr為臨界載荷，F(xiàn)P為壓桿的工作壓力。對(duì)于結(jié)構(gòu)，需要先計(jì)算受壓桿的壓力，然后按穩(wěn)定性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則進(jìn)行計(jì)算。第67頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-6例題[例題8-1]圖示兩壓桿，直徑為d，材料都是Q235鋼，長(zhǎng)度和約束條件不同。已知λ1=132，λ2=62。分析：1.哪一根桿臨界載荷大？2.d=160mm時(shí)，兩桿的臨界載荷。E=206GPa。解：計(jì)算兩桿柔度i2=I/Aλ=μl/i圓截面：I=πd4/64,A=πd2/4,代入得到i=√I/A=d/4對(duì)(a)兩端鉸支:μ=1，l=5mλa=μl/i=1×5×4/d=20/d對(duì)(b)兩端固定：μ=0.5，l=9mλb=μl/i=0.5×9×4/d=18/dλa＞λb，因?yàn)棣伺c臨界載荷成反比，所以，(b)桿的臨界載荷大于(a)桿。FP5mFP9m第68頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.計(jì)算兩桿的臨界載荷對(duì)于（a）桿：λa=μl/i=20/d=20/160×10-3=125λ1=132，λ2=62。λ1＞λa＞λ2屬于中長(zhǎng)桿FPcr=σcrA

=(a-bλa)A查表8-1（p176）a=304,b=1.12代入得到：FPcr=(304-1.12×125)×π1602/4=3.3×106N對(duì)于（b）桿：λb=μl/i=18/d=18/160×10-3=112.5λ1＞λb＞λ2屬于中長(zhǎng)桿FPcr=σcrA

=(a-bλb)A=(304-1.12×112.5)A×π1602/4=3.577×106N思考：1.其它條件不變，桿長(zhǎng)減小一半，臨界載荷將增加幾倍？2.改用高強(qiáng)度鋼（屈服強(qiáng)度高2倍，E相差不大），能否提高臨界載荷？第69頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[例題8-2]Q235鋼制成的矩形截面桿，受力及約束如圖所示，(圖a為正視圖，圖b為俯視圖)，A，B為銷釘連接。若已知l=2300mm，b=40mm，h=60mm，材料E=205GPa，求此桿臨界載荷。解：由圖知，壓桿在正視圖平面內(nèi)彎曲時(shí)，A，B兩處可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，相當(dāng)于鉸鏈約束；在俯視圖平面內(nèi)彎曲時(shí)，A，B兩處不能轉(zhuǎn)動(dòng)，相當(dāng)于固定端約束。即：上下為鉸鏈約束，前后為固定端約束。需分別計(jì)算柔度。hbFPFPhl(a)FPblFP(b)第70頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在正視圖平面內(nèi)，Iz=bh3/12，A=bh，μ=1.0，iz=√Iz/A=h/√12=h/2√3λz=μl/iz=1×2300×2√3/60=132.6Q235鋼λ1=132，λ2=62λz＞λ1為細(xì)長(zhǎng)桿在俯視圖平面內(nèi)，Iy=hb3/12，A=bh，μ=0.5，iy=√Iy/A=b/2√3λy=μl/iy=0.5×2300×2√3/40=99.48＜λ1=132λ1＞λy＞λ2屬于中長(zhǎng)桿λz＞λy,桿將在正視圖平面內(nèi)屈曲，即上下屈曲，由歐拉公式計(jì)算臨界載荷FPcr=σcrA=π2Ebh/λz2=π2205×103×40×60/132.62=2.76×105N=276KN第71頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[例題8-3]圖示結(jié)構(gòu)，AB梁為No.14普通熱軋工字鋼，CD為直徑為d的圓截面直桿，二者材料為Q235鋼，λ1=132，λ2=62。已知FP=25KN，l1=1.25m，l2=0.55m，[σ]=160MPa，[n]st=2.0，校核結(jié)構(gòu)是否安全？解：1.結(jié)構(gòu)受力變形分析結(jié)構(gòu)中梁AB為拉伸與彎曲組合變形，屬于強(qiáng)度問(wèn)題；桿CD承受壓縮載荷，屬于穩(wěn)定問(wèn)題，分別校核。選梁AB為研究對(duì)象，受力分析如圖由平衡條件∑MA=0

-FPsin30°×2l1+

FC×l1=0解得Fc=2FPsin30°=FP=25KNABCDFPl1l1l2xyz30°30°ABCFPl1l1xFcFAXFAY第72頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.校核AB梁軸力FN=FPcos30°=25×103×0.866=21.65×103NC截面彎矩最大Mmax=Mc=FPsin30°l1=25×103×0.5×1.25×103=15.63×106N.mm查表(P304)得到No.14普通熱軋工字鋼Wz=102cm3=102×103mm3A=21.5cm2=21.5×102mm2σmax=Mmax/Wz+FN/A=15.63×106/102×103+21.65×103/21.5×102=163.2MPa＞[σ]=160MPa，{（σmax-[σ]）/[σ]}×100%={（163.2-160）/160}×100%=2%＜5%符合強(qiáng)度要求+21.65×10315.63×106N.mm-第73頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.壓桿CD穩(wěn)定校核CD桿受壓力Fp=Fc=25KN,圓截面桿，i=√I/A=d/4=20/4=5mm兩端鉸支，μ=1.0λ=μl/i=1×550/5=110λ1=132，λ2=62λ1＞λ＞λ2，為中長(zhǎng)桿由FPcr=σcrA=(a-bλ)A計(jì)算A=πd2/4=π202/4=314mm2由表8-1(p176)得到Q235鋼：a=304MPa，b=1.12MPa代入得到FPcr=(304-1.12×110)×314=56.8×103N求壓桿工作安全因數(shù)，nW=FPcr/Fp將Fp=Fc=25KN代入有：nW=FPcr/FP=56.8/25=2.272nW＞[n]st=2.0壓桿CD穩(wěn)定性安全。結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和穩(wěn)定性都是安全的。第74頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-7結(jié)論與討論1.穩(wěn)定計(jì)算的重要性由于失穩(wěn)現(xiàn)象突然發(fā)生，造成災(zāi)難性事故。如橋梁坍塌、高層建筑坍塌等，所以要高度重視穩(wěn)定性計(jì)算。2.影響壓桿承載能力的因素細(xì)長(zhǎng)桿：FPcr

=π2EI/（μl）2因素較多，與彈性模量E有關(guān)，與截面形狀、幾何尺寸及支承條件有關(guān)；中長(zhǎng)桿：FPcr=σcrA

=(a-bλ)A主要是材料常數(shù)a和b，以及壓桿的柔度和橫截面積；粗短桿：FPcr=σcrA

=σcrA

不發(fā)生屈曲，只發(fā)生屈服或破壞，取決于屈服強(qiáng)度和桿件橫截面積。第75頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.提高壓桿承載能力的主要途徑由FPcr=σcrA=π2EA/λ2考慮減小λ，再由λy=μl/i