基本迭代方法

基本迭代方法第1頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一第五章線性方程組的迭代解法教學(xué)目的

1.掌握Jacobi迭代法，G-S迭代法解大型線性方程組的方法及其收斂性的判別方法；2.掌握SOR迭代法及收斂的必要條件(0<ω<2)；3.了解三種迭代法之間的改進關(guān)系從而掌握該思想方法；4.理解迭代法基本定理。教學(xué)重點及難點

重點是三種迭代法及收斂性的判別方法；難點是迭代法基本定理及三種迭代法收斂定理的證明。第2頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一第5章線性方程組的迭代解法首先看一個形成大型方程組的例子。考慮下面的Poisson方程的離散逼近，其邊界條件為：取進行網(wǎng)格剖分,用二階導(dǎo)數(shù),按逐行自左至右和自下而上的自然次序離散華可得下列線性方程組第3頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一其中是的近似值。這是一種特殊形狀的稀疏矩陣。隨著和的減少，所得到的方程組的階數(shù)將增大。對于大型線形代數(shù)方程組，常用迭代解法。它是從某些初始向量出第4頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一發(fā)，用設(shè)計好的步驟逐次算出近似解向量，從而得到向量序列。一般的計算公式是

稱之為多步迭代法．若只與有關(guān)，且是線性的，即

其中，稱為單步線性迭代法，稱為迭代距陣。若和都與k無關(guān)，即稱為單步定常線性迭代法。本章主要討論具有這種形式的各種迭代方法。第5頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一5.1基本迭代方法5.1.1迭代公式的構(gòu)造設(shè)，，A非奇異，滿足方程組

Ax=b。（5.1.1）如果能找到距陣，向量，使可逆，而且方程組x=Bx+f(5.1.2)的唯一解就是方程組（5.1.1）的解，則可從（5.1.2）式構(gòu)造一個定常的線性迭代公式（5.1.3）給定初始向量,由(5.1.3)可以產(chǎn)生序列,若它有極限,顯然

就是(5.1.1)和(5.1.2)的解。第6頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一

定義5.1若對任意初始向量，迭代公式（5.1.3）產(chǎn)生的序列都有則稱迭代法（5.1.3）是收斂的。從（5.1.1）出發(fā)，可以由不同的途徑得到各種不同的等價方程組（5.1.2），從而得到不同的迭代法（5.1.3）。例如，設(shè)A可以分解為，其中M非奇異，則由（5.1.1）可得令就可以得到（5.1.2）的形式。不同的分解方式，可的不同的B和f,下面給出對應(yīng)不同分解方式的常用迭代計算公式。第7頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一5.1.2Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法

1.Jacobi迭代法記，可以把A分解為

（5.1.4）其中現(xiàn)設(shè)D非奇異，即。方程組（5.1.1）等價于第8頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一用J法計算向量序列，要用兩組單元存放向量和。迭代法可以寫成分量形式（5.1.8）由此構(gòu)造迭代公式：（5.1.5）其中迭代距陣和向量為

（5.1.6）（5.1.7）稱（5.1.5）為解（5.1.1）的Jacobi迭代法，簡稱J法。2.Gauss-Seidel迭代法在J法中，計算時，分量已經(jīng)算出，所以可考慮第9頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一對J法進行修改。在每個分量計算出來之后，下一個分量的計算就利用最新的計算結(jié)果。這樣，在整個迭代過程中只要使用一組單元存放迭代向量，其分量形式的計算結(jié)果為（5.1.9）這就是Gauss-Seidel迭代法，簡稱GS法將（5.1.9）寫成距陣形式經(jīng)整理有（5.1.10）其中迭代距陣和向量為(5.1.11)第10頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一(5.1.12)Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式供計算編程用，它們的距陣形式供研究迭代序列是否收斂等理論分析用。例５.１用Ｊ法和ＧＳ法分別求解方程組其準確解為。解用J法計算，按（5.1.8）有第11頁，共12頁