大氣科學(xué)專(zhuān)業(yè)流體力學(xué)第二章基本方程

大氣科學(xué)專(zhuān)業(yè)流體力學(xué)第二章基本方程1第1頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第二章 基本方程

流體運(yùn)動(dòng)同其他物體的運(yùn)動(dòng)一樣，同樣遵循質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒等基本物理定律。本章將介紹描述流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程、運(yùn)動(dòng)方程和能量方程。2第2頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一主要內(nèi)容：第一節(jié) 連續(xù)方程第二節(jié) 作用于流體的力、應(yīng)力張量第三節(jié) 運(yùn)動(dòng)方程第四節(jié) 能量方程第五節(jié)簡(jiǎn)單情況下的N-S方程的準(zhǔn)確解第二章 基本方程

3第3頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第一節(jié) 連續(xù)方程

連續(xù)方程是流體力學(xué)的基本方程之一，它是在質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程，反映流體運(yùn)動(dòng)和質(zhì)量分布的關(guān)系，重點(diǎn)討論幾種不同表現(xiàn)形式的流體連續(xù)方程。4第4頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1、拉格郎日(Lagrange)觀點(diǎn)下的流體連續(xù)方程Lagrange觀點(diǎn)下質(zhì)量守恒定律：某一流體塊（流點(diǎn)）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，盡管其體積和形狀可以發(fā)生變化，但其質(zhì)量是守恒不變的。拉格郎日型連續(xù)方程5第5頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Lagrange觀點(diǎn)下連續(xù)方程的物理意義？6第6頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

對(duì)于不可壓縮流體，它在流動(dòng)過(guò)程中每個(gè)流點(diǎn)的密度始終保持不變，應(yīng)有，此時(shí)流體的連續(xù)性方程為：7第7頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2-1-1判斷下列流體運(yùn)動(dòng)是否為不可壓縮？8第8頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一利用歐拉控制體積法導(dǎo)出流體的連續(xù)方程的微分形式。在空間上選取一無(wú)限小的控制體，如圖所示。2、歐拉(Euler)觀點(diǎn)下的流體連續(xù)方程（一）yxz單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)左側(cè)面流入控制體的流體質(zhì)量為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)右側(cè)面流出控制體的流體質(zhì)量為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)x方向上流體通過(guò)控制體的質(zhì)量?jī)袅鞒隽繛椋?第9頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一類(lèi)似可得到y(tǒng)、z方向上的表達(dá)式，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)整個(gè)控制體的流體凈流出量為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，該控制體內(nèi)的質(zhì)量減少為：根據(jù)質(zhì)量守恒定律，對(duì)于固定的控制體，單位時(shí)間內(nèi)流出控制體的流體質(zhì)量應(yīng)等于單位時(shí)間內(nèi)該控制體內(nèi)質(zhì)量的減少，由此得到：10第10頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2、歐拉(Euler)觀點(diǎn)下的流體連續(xù)方程（二）拉格郎日型連續(xù)方程歐拉型連續(xù)方程11第11頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一歐拉型連續(xù)方程的物理意義單位體積的流體質(zhì)量通量12第12頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)于流體的定常運(yùn)動(dòng)，有流體的連續(xù)性方程可寫(xiě)為：可知，在定常運(yùn)動(dòng)中，通過(guò)任意控制體表面流體質(zhì)量的凈流入量等于零，即單位時(shí)間內(nèi)流出控制體表面的質(zhì)量等于流進(jìn)控制體表面的質(zhì)量。13第13頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)于沿流管的定常流動(dòng)，設(shè)流速與截面垂直，且密度和流速在任意截面內(nèi)為定值，則沿流管的連續(xù)方程：14第14頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3、具有自由表面的流體連續(xù)方程通常把自然界中水與空氣的交界面稱(chēng)為水面或水表面。這種因流動(dòng)而伴隨出現(xiàn)的可以升降的水面，在流體力學(xué)中稱(chēng)之為自由表面。實(shí)際物理現(xiàn)象：當(dāng)水面向某處匯集時(shí)，該處水面將被擁擠而升高；反之，當(dāng)該處有水向四周散開(kāi)時(shí)，將使得那里的水面降低。水空氣交界面15第15頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一假設(shè)流團(tuán)密度為，考慮流體運(yùn)動(dòng)為二維的，即滿(mǎn)足：，取流向方向?yàn)閤軸。設(shè)流體自由表面高度為，即h在各處高低不同且可以隨時(shí)間變化。具有自由表面的流體連續(xù)方程的導(dǎo)出：16第16頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在流體中，選取一個(gè)以為底的長(zhǎng)方形柱體，該柱體是一底面固定不動(dòng)的空間區(qū)域，稱(chēng)為控制區(qū)。流體可以通過(guò)控制區(qū)的側(cè)面，沿x軸方向流出、流入該柱體。17第17頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一經(jīng)流體柱后側(cè)流入的流體質(zhì)量應(yīng)為：同時(shí)，經(jīng)流體柱前側(cè)流出的質(zhì)量為：考慮柱體內(nèi)流體的質(zhì)量為：流入質(zhì)量=流出質(zhì)量=18第18頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一流出質(zhì)量減去流入質(zhì)量柱體內(nèi)的凈流出量＝柱體內(nèi)質(zhì)量的減少。流出質(zhì)量=流入質(zhì)量=柱體內(nèi)流體的質(zhì)量減少為：19第19頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一 ***積分上限h為x，y，t的函數(shù)，可變上限的積分規(guī)則：對(duì)上式兩項(xiàng)展開(kāi)，左端項(xiàng)為：20第20頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一 ***積分上限h為x，y，t的函數(shù)，可變上限的積分規(guī)則：右端項(xiàng)為：21第21頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一考慮到與z無(wú)關(guān)，并消掉等式兩端公共項(xiàng)可得：22第22頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一可以得到：考慮水為不可壓縮的，根據(jù)連續(xù)方程有： 23第23頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一討論時(shí)流向僅取x軸。如流向取平面上的任意方向，上式可寫(xiě)為：這就是用自由表面高度所表示的連續(xù)方程。進(jìn)一步有：均勻流體自由表面附近的流體（淺流體）24第24頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一具有自由表面的流體連續(xù)方程歐拉型連續(xù)方程水空氣25第25頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一具有自由表面的流體連續(xù)方程的物理意義？通常流向取平面上的任意方向它是討論水面波動(dòng)及簡(jiǎn)單的大氣動(dòng)力學(xué)問(wèn)題所經(jīng)常用到的。26第26頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1、作用于流體的力質(zhì)量力流體的作用力表面力分析對(duì)象：流體中以界面包圍的體積為的流體塊第二節(jié)作用于流體的力、應(yīng)力張量27第27頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一質(zhì)量力1定義：質(zhì)量力是指作用于所有流體質(zhì)點(diǎn)的力。如重力、萬(wàn)有引力、電磁力等。2特征：（1）質(zhì)量力是一種長(zhǎng)程力：質(zhì)量力隨相互作用的元素之間的距離的增加而減小，但對(duì)于一般流體的特征運(yùn)動(dòng)距離而言，質(zhì)量力均能顯示出來(lái)。（2）質(zhì)量力是一種分布力，分布于流體塊的整個(gè)體積內(nèi)，流體塊所受的質(zhì)量力與其周?chē)袩o(wú)其他流體無(wú)關(guān)。通常情況下，作用于流體的質(zhì)量力通常就是指重力。28第28頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如果表示單位質(zhì)量的流體的質(zhì)量力：其中是作用在質(zhì)量為的流體塊上的質(zhì)量力。不難看出，可以看做質(zhì)量力的分布密度。例如：對(duì)處于重力作用的物體而言，質(zhì)量力的分布密度就是重力加速度。29第29頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一表面力1定義：表面力是指流體內(nèi)部之間或者流體與其他物體的接觸面上所受到的相互作用力。如流體內(nèi)部的粘性力和壓力、流體與固體接觸面上的摩擦力等。30第30頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一表面力的特征：（1）表面力是一種短程力：源于分子間的相互作用。表面力隨相互作用元素之間的距離增加而迅速減弱，只有在相互作用元素間的距離與分子距離同量級(jí)時(shí)，表面力才顯現(xiàn)出來(lái)。（2）流體塊內(nèi)各部分之間的表面力是相互作用而相互抵消的。（3）表面力也是一種分布力，分布在相互接觸的界面上。31第31頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定義單位面積上的表面力（即：表面應(yīng)力）為： 其中是作用于某個(gè)流體面積上的表面力例如：流體受到的表面力為壓力，就是壓強(qiáng)。32第32頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

矢量是質(zhì)量力的分布密度，它是時(shí)間和空間點(diǎn)的函數(shù)，因而構(gòu)成了一個(gè)矢量場(chǎng)。而矢量為流體的應(yīng)力矢量，它不但是時(shí)間和空間點(diǎn)的函數(shù)，并且在空間每一點(diǎn)還隨著受力面元的取向不同而變化。所以要確定應(yīng)力矢量，必須考慮點(diǎn)的矢徑、該點(diǎn)受力面元的方向（或者說(shuō)面元的法向單位矢量）以及時(shí)間t。確切地說(shuō)應(yīng)力矢是兩個(gè)矢量（、）和一個(gè)標(biāo)量的函數(shù)t。質(zhì)量力和表面力的比較質(zhì)量力和表面力有著本質(zhì)的差別。33第33頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2、應(yīng)力張量取如圖所示的流體四面體元，分析其受力情況。MxyzABC質(zhì)量為質(zhì)量力為表面力？？？34第34頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一MxyzABC為了區(qū)分不同面元所受到的表面力，將應(yīng)力矢量的下標(biāo)取其受力面元的外法向方向，并且規(guī)定為外法向流體對(duì)另一部分流體施加的應(yīng)力。35第35頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一根據(jù)牛頓第二定律，MxyzABC根據(jù)作用力與反作用力原理36第36頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一 根據(jù)作用力與反作用力原理，方程可以寫(xiě)成如下形式：37第37頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一四面體體積取極限時(shí)：上式為作用于流體微元的應(yīng)力矢量之間的相互關(guān)系。38第38頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一MxyzABC考慮面元與的關(guān)系：PPAMKx39第39頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一xyzABC考慮各面元間的關(guān)系：40第40頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一將其在直角坐標(biāo)系中展開(kāi)，則有：41第41頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一引進(jìn)應(yīng)力張量：

42第42頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一¤¤對(duì)應(yīng)力分量的下標(biāo)作如下規(guī)定：第一個(gè)下標(biāo)表示受力面元的外法向方向；第二個(gè)下標(biāo)表示受到的應(yīng)力矢量所投影的方向。應(yīng)力分量的物理含義：

例2-2-1說(shuō)明應(yīng)力、表示的物理含義。43第43頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一法應(yīng)力和切應(yīng)力

通常應(yīng)力矢量也可以表示為：切應(yīng)力法應(yīng)力44第44頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2-2-1已知流體中某點(diǎn)的應(yīng)力張量為試求作用于通過(guò)該點(diǎn)，方程為的平面上的法應(yīng)力和切應(yīng)力。45第45頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2-2-2流體中的應(yīng)力張量為試求位于點(diǎn)（1，2，3）的法應(yīng)力。46第46頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一其中為反映流體粘性的粘性系數(shù)或內(nèi)摩擦系數(shù)；而流體與其他物體的粘性系數(shù)則稱(chēng)為外摩擦系數(shù)。牛頓粘性假設(shè)牛頓粘性定律建立了粘性應(yīng)力與流速分布之間的關(guān)系。3、應(yīng)力張量與流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間的關(guān)系47第47頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一廣義牛頓粘性假設(shè)牛頓粘性定律建立了粘性應(yīng)力與流速分布之間的關(guān)系，但它的不足在于僅僅適用與流體直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。牛頓將以上的粘性應(yīng)力與形變率的關(guān)系推廣到任意粘性流體運(yùn)動(dòng)，即廣義牛頓粘性假設(shè)：48第48頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一說(shuō)明：根據(jù)廣義牛頓粘性假設(shè)的應(yīng)力張量計(jì)算得到的應(yīng)力包含了流體壓力和流體粘性力兩部分即：不可壓流體49第49頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一牛頓粘性流體的概念：滿(mǎn)足牛頓廣義粘性假設(shè)的流體。給定流體的粘性系數(shù)和流體運(yùn)動(dòng)流速場(chǎng)，根據(jù)牛頓粘性假設(shè)，就可以計(jì)算得到流體的粘性應(yīng)力。50第50頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一51第51頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2-2-4設(shè)速度場(chǎng)為：，試求位于的單位質(zhì)量長(zhǎng)方體（高為）作用在頂面和底面上的粘性應(yīng)力。52第52頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三節(jié)運(yùn)動(dòng)方程流體的運(yùn)動(dòng)方程（普遍形式）納維-斯托克斯（N-S）方程（具體形式）歐拉方程（理想流體的運(yùn)動(dòng)方程）靜力方程（最簡(jiǎn)單情形的運(yùn)動(dòng)方程）

53第53頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在運(yùn)動(dòng)流體中選取一小六面體體元，其邊長(zhǎng)分別為：為了導(dǎo)出流體的運(yùn)動(dòng)方程，首先來(lái)分析小體元的受力情況。一、流體的運(yùn)動(dòng)方程根據(jù)牛頓第二定律： xyz54第54頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一x方向質(zhì)量力分析x方向的質(zhì)量力55第55頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一小體元所受到前后側(cè)面的沿x方向上表面力合力：x方向受到的表面力合力分析周?chē)黧w對(duì)小體元的六個(gè)表面都有表面力的作用后側(cè)面：x?前側(cè)面：xyz56第56頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一因此，周?chē)黧w通過(guò)六個(gè)側(cè)面作用于小體元沿x方向的表面力合力為：右左側(cè)面：上下側(cè)面：xyz57第57頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律：小體元受到的合外力等于其質(zhì)量與加速度的乘積。x方向合力分析單位質(zhì)量流體在x方向的運(yùn)動(dòng)方程方程可以簡(jiǎn)化為：58第58頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一單位質(zhì)量流體在y方向的運(yùn)動(dòng)方程單位質(zhì)量流體在z方向的運(yùn)動(dòng)方程同理可得：59第59頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一矢量形式或者：流體運(yùn)動(dòng)方程的普遍形式60第60頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一分析對(duì)象：流體中以界面包圍的體積為的流體塊根據(jù)牛頓第二定律流體運(yùn)動(dòng)方程的普遍形式61第61頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一應(yīng)用奧—高公式，將以上曲面積分轉(zhuǎn)化為體積分，則有：當(dāng)曲面面元向內(nèi)無(wú)限收縮時(shí)，即體積元趨向于零：62第62頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、納維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程流體運(yùn)動(dòng)方程的普遍形式納維-斯托克斯方程廣義牛頓粘性假設(shè)63第63頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一流體運(yùn)動(dòng)方程的普遍形式廣義牛頓粘性假設(shè)這就是適合牛頓粘性假設(shè)的流體運(yùn)動(dòng)N-S方程。法國(guó)工程師Navier英國(guó)數(shù)學(xué)家Stokes64第64頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一65第65頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定義流體運(yùn)動(dòng)學(xué)粘性系數(shù)，記作。直角坐標(biāo)系中形式為：對(duì)于不可壓流體N-S方程簡(jiǎn)化為：66第66頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一其中是單位質(zhì)量流體的加速度，為單位質(zhì)量流體所受的質(zhì)量力。①壓力梯度力②粘性（粘滯）力方程物理意義的討論：①②67第67頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一方程右端的第二項(xiàng)，對(duì)于某一流體塊，有

從而得到：

即為周?chē)黧w通過(guò)單位質(zhì)量流點(diǎn)的表面，對(duì)其所產(chǎn)生的壓力的合力矢量，將其稱(chēng)為壓力梯度力。68第68頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一僅考慮壓力梯度力的作用高壓中心低壓中心大氣的運(yùn)動(dòng)形式？69第69頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一僅考慮流體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)對(duì)于某一流體塊其受到的粘滯力U小U大當(dāng)四周流體速度大于所考慮的流體塊時(shí)，粘滯力為曳力；當(dāng)四周流體速度小于所考慮的流體塊時(shí)，粘滯力為阻力；70第70頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一東亞副熱帶急流中心受到的粘滯力大于0，小于0，等于0？?jī)H考慮流體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)71第71頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一僅考慮流體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)上層流體運(yùn)動(dòng)，圖中處于靜止?fàn)顟B(tài)的流體塊受到的粘滯力大于0，小于0，等于0？72第72頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一僅考慮流體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)流體運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)（定常），圖中流體塊受到的粘滯力大于0，小于0，等于0？73第73頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3、歐拉方程理想流體（不考慮流體粘性），則納維-斯托克斯方程：可以簡(jiǎn)化，相當(dāng)于去掉方程中含有粘性的項(xiàng)。于是，方程簡(jiǎn)化為： 歐拉方程：理想流體的運(yùn)動(dòng)方程74第74頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2-3-1已知流場(chǎng)u=ay，v=bx，w=0，其中a、b為常數(shù)，試根據(jù)不計(jì)質(zhì)量力和流體粘性的運(yùn)動(dòng)方程，導(dǎo)出等壓線(xiàn)方程。75第75頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

如流體靜止時(shí)，即流體的速度和加速度的個(gè)別變化均為零，作用于流體的力應(yīng)該達(dá)到平衡。此時(shí)，可得如下形式方程：

即所謂的靜力方程。它表明了流體的粘性只與流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，或者說(shuō)流體的粘性只有在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)才體現(xiàn)出來(lái)。4、靜力方程76第76頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一假設(shè)流體所受的質(zhì)量力就是重力，靜力方程可以變化為：上式表明：當(dāng)流體靜止時(shí)，作用于單位截面積流體柱的頂面、底面上的壓力差，正好等于流體柱的重力；靜力方程應(yīng)用：77第77頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一靜力平衡條件下A點(diǎn)受到的壓力？xz0hA在大尺度大氣運(yùn)動(dòng)中，垂直運(yùn)動(dòng)速度很?。?/100m/s），大氣科學(xué)中常用到靜力方程(靜力平衡)：靜力平衡的應(yīng)用：78第78頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一已知為定義在某物質(zhì)體上的標(biāo)量，試證明：79第79頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

單位時(shí)間總外力的作功率內(nèi)能動(dòng)能單位質(zhì)量的物質(zhì)：第四節(jié)能量方程吸收或者釋放的熱量q研究對(duì)象流體中以界面包圍的體積為的流體塊單位時(shí)間總外力的作功率內(nèi)能動(dòng)能吸收或者釋放的熱量80第80頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一外界對(duì)系統(tǒng)所作的功率＋吸收或釋放的熱量（內(nèi)能+動(dòng)能）的變化率流體中以界面包圍的體積為的流體塊研究對(duì)象81第81頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一方程變換總能量的變化項(xiàng)：熱流量的變化率82第82頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一表面力作功率項(xiàng)：83第83頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一可以改寫(xiě)為：?jiǎn)挝毁|(zhì)量流體的能量方程，它是能量守恒定律在流體運(yùn)動(dòng)中的具體表現(xiàn)形式。流體塊的能量守恒方程84第84頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一動(dòng)能方程根據(jù)流體的運(yùn)動(dòng)方程上式兩端同乘速度矢量右端第二項(xiàng)展開(kāi)后，則有：85第85頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一單位質(zhì)量流體微團(tuán)的動(dòng)能方程利用廣義牛頓粘性假設(shè)86第86頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一單位質(zhì)量流體微團(tuán)的動(dòng)能方程物理意義：①②①質(zhì)量力作功率②表面力作功率外力作功率引起的動(dòng)能變化87第87頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一E恒為正值粘性耗散項(xiàng)動(dòng)能內(nèi)能？88第88頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一③③膨脹、收縮在壓力作用下引起的能量轉(zhuǎn)換項(xiàng)：膨脹收縮動(dòng)能內(nèi)能？動(dòng)能內(nèi)能？流體壓縮性89第89頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一熱流量方程用能量方程減去動(dòng)能方程反映內(nèi)能變化率的熱流量方程90第90頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)于理想流體，即考慮無(wú)粘性，熱流量方程簡(jiǎn)化為：“熱力學(xué)第一定律”——能量轉(zhuǎn)換和守恒定律在大氣科學(xué)中所用的的形式。91第91頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2-4-1設(shè)不可壓縮流體平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，試證明：在運(yùn)動(dòng)平面上任取周長(zhǎng)線(xiàn)為S所圍的單位厚度的流體塊的動(dòng)能可寫(xiě)為：92第92頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一伯努利方程的適用條件：(1)無(wú)粘性流體(2)不可壓縮流體(3)定常流動(dòng)(4)質(zhì)量力為有勢(shì)力（保守力）伯努利方程理想不可壓縮流體在重力作用下作定常運(yùn)動(dòng)時(shí)，流體的總機(jī)械能（動(dòng)能、重力勢(shì)能、壓力能之和）沿著流線(xiàn)或跡線(xiàn)守恒。93第93頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)于理想流體，動(dòng)能方程簡(jiǎn)化為：理想流體動(dòng)能的變化，僅僅是由質(zhì)量力和壓力梯度力對(duì)流體微團(tuán)作功造成的，而與熱能不發(fā)生任何轉(zhuǎn)換。故最終理想流體的動(dòng)能方程可以寫(xiě)成：又因?yàn)?4第94頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一假設(shè)質(zhì)量力是有勢(shì)力，且質(zhì)量力位勢(shì)為，即滿(mǎn)足：如考慮為一定常場(chǎng)，則有：95第95頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一理想流體的動(dòng)能方程假設(shè)質(zhì)量力是有勢(shì)力且為定常場(chǎng)96第96頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一理想流體微團(tuán)的動(dòng)能方程：不可壓縮定常97第97頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一等式左端括號(hào)內(nèi)部分的個(gè)別變化為零，即：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常運(yùn)動(dòng)時(shí)，流體的總機(jī)械能（動(dòng)能、重力勢(shì)能、壓力能之和）沿著跡線(xiàn)守恒。98第98頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定常運(yùn)動(dòng):流體運(yùn)動(dòng)的跡線(xiàn)和流線(xiàn)是重合于是沿流體運(yùn)動(dòng)的流線(xiàn)也有：伯努利方程99第99頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一伯努利方程100第100頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定常不可壓縮各項(xiàng)點(diǎn)乘速度矢量101第101頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2-4-2理想不可壓流體，所受質(zhì)量力僅為重力的情況下作定常運(yùn)動(dòng)時(shí)，其中一流管如圖所示，已知O點(diǎn)壓力和速度均為零，討論此時(shí)圖中處于同一流線(xiàn)上A、B兩點(diǎn)的流速VA、VB及壓力PA、PB間的相對(duì)大小。O102第102頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一皮托管，又名“空速管”，“風(fēng)速管”，英文是Pitottube。皮托管是確定氣流速度的一種管狀裝置，由法國(guó)H.皮托發(fā)明而得名。下圖是皮托管的結(jié)構(gòu)示意圖。它是由兩個(gè)同軸細(xì)管組成,內(nèi)管的開(kāi)口在正前方,如圖中A所示。外管的開(kāi)口在管壁上,如圖中B所示。兩管分別與U型管的兩臂相連,在U型管中盛有液體(如水銀),構(gòu)成了一個(gè)壓強(qiáng)計(jì),由U型管兩臂的液面高度差h確定氣體的流速。

VA＝0VB？皮托管示意圖103第103頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：求定常條件下水從容器壁小孔中流出時(shí)的速率。解：水從小孔中流出時(shí)的流速可以根據(jù)伯努利方程求解。設(shè)ABC為一條流線(xiàn)。A和B分別是這條流線(xiàn)在水面和小孔處的兩點(diǎn),其中水面上點(diǎn)A和孔口處點(diǎn)B都與大氣接觸,所以那里的壓強(qiáng)都等于大氣壓p0。容器的橫截面比小孔的截面大得多,根據(jù)連續(xù)性方程,VA<<VB,故可以認(rèn)為VA

=0。將以上條件代入上式,即可求得小孔處的流速,為h104第104頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第五節(jié)簡(jiǎn)單情況下的N－S方程的準(zhǔn)確解流體力學(xué)的基本方程組：運(yùn)動(dòng)方程連續(xù)方程考慮流體為均勻不可壓縮（=常數(shù)），且粘性系數(shù)為常數(shù)（=常數(shù)）的情況下，方程組是閉合的。105第105頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求解流體力學(xué)問(wèn)題的一般方法，就是求解這樣的閉合的方程組并使之適合應(yīng)當(dāng)?shù)某跏紬l件和邊界條件。由于流體運(yùn)動(dòng)方程含有如平流加速度的非線(xiàn)性項(xiàng)，它是一個(gè)非線(xiàn)性方程組，在數(shù)學(xué)上求解這樣一個(gè)非線(xiàn)方程組是難以做到的。求解方程組前，對(duì)初始條件和邊界條件進(jìn)行介紹。本節(jié)通過(guò)簡(jiǎn)單問(wèn)題的求解－－了解基本方法

106第106頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在初始時(shí)刻，基本方程組之解所應(yīng)滿(mǎn)足的既定條件，即在時(shí)，在定常流場(chǎng)的情況下，所有的流場(chǎng)參數(shù)均與時(shí)間無(wú)關(guān)，因而不存在初始條件的問(wèn)題。（1）初始條件107第107頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一當(dāng)流體流經(jīng)固體壁時(shí)，必須滿(mǎn)足不可穿透條件和無(wú)滑脫條件。 （2）邊界條件而當(dāng)固體壁運(yùn)動(dòng)時(shí)，則滿(mǎn)足：當(dāng)固體壁靜止時(shí)，滿(mǎn)足：固體壁邊界流體與固體分界面上的條件108第108頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）邊界條件在自由表面上，兩種流體在邊界面上的法向速度應(yīng)該相等，即：

另外，如果不考慮表面張力，兩種流體質(zhì)點(diǎn)在邊界面上的法向應(yīng)力應(yīng)該相等，即:流體空氣流體與流體分界面上的條件109第109頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、平面庫(kù)埃托流動(dòng)（PlaneCouetteFlow）h

h

Uu？zx考慮如下簡(jiǎn)單流動(dòng)，設(shè)流體在兩相距為2h的無(wú)界平行平板間，沿x軸作定常直線(xiàn)平面運(yùn)動(dòng)，此時(shí)滿(mǎn)足：試確定流體的速度分布。上平板勻速運(yùn)動(dòng)下平板靜止110第110頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一考慮了xoz平面的運(yùn)動(dòng)，則 假設(shè)流體是不可壓縮的：可見(jiàn)，u僅僅是z的函數(shù)作定常直線(xiàn)平面運(yùn)動(dòng)111第111頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一N-S方程簡(jiǎn)化為：積分沿x軸作定常直線(xiàn)平面運(yùn)動(dòng)質(zhì)量力為重力：流體是不可壓縮的。112第112頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一方程第一式可以得到：積分上式可以得到：113第113頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一設(shè)在x方向的壓力分布均勻，即：已知邊界條件：

最終可以得到：上式即給出了平面庫(kù)埃托流動(dòng)的流速分布，流速沿z軸呈線(xiàn)性分布。114第114頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、平面普瓦瑟耶流動(dòng)（PlanePoiseuilleFlow）h

h

zx在平面庫(kù)埃托流動(dòng)的基礎(chǔ)上，假定沿x方向的壓力梯度不為零，而上、下板處于靜止?fàn)顟B(tài)。下平板靜止上平板靜止115第115頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一此時(shí)，邊界條件為： 即為平面Poiseuille流動(dòng)的流速分布，流速沿z軸方向呈拋物線(xiàn)分布。將邊界條件代入方程通解中，可以得到：116第116頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一?？寺鲃?dòng)

（EkmanFlow）1893～1896年，挪威海洋調(diào)查船“前進(jìn)”號(hào)橫越北冰洋時(shí)，F(xiàn).南森觀察到冰山不是順風(fēng)漂移，而是沿著風(fēng)向右方20o～40o的方向移動(dòng)。1905年，V.W.?？寺芯苛诉@種現(xiàn)象，得出了著名的?？寺骼碚摗?17第117頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、?？寺鲃?dòng)?？寺菥€(xiàn)：風(fēng)向隨高度增大而向右旋轉(zhuǎn)（北半球），風(fēng)速隨高度增加而增大，不同高度的風(fēng)速矢量末端的連線(xiàn)為一螺線(xiàn)。118第118頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一考慮粘性系數(shù)和密度均為常數(shù)的流體，在旋轉(zhuǎn)角速度為的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)出現(xiàn)了地轉(zhuǎn)偏向力的作用。而地轉(zhuǎn)偏向力為：假設(shè)流體作平面運(yùn)動(dòng)，該平面繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則流速表示為：119第119頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一假設(shè)流體相對(duì)于旋轉(zhuǎn)參考系無(wú)加速度，且無(wú)質(zhì)量力作用，其運(yùn)動(dòng)方程（N-S方程）為：地轉(zhuǎn)偏向力為：120第120頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一假設(shè)p與x，y，z無(wú)關(guān)地轉(zhuǎn)偏向力與粘滯力相平衡121第121頁(yè)，共137頁(yè)，2023年，2月20日，星期一考慮u、v僅是z的函數(shù)，即滿(mǎn)足：