2023屆吉林省高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某市組織了一次高二調研考試，考試后統(tǒng)計的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)，x∈(－∞，＋∞)，則下列命題不正確的是()A．該市這次考試的數(shù)學平均成績?yōu)?0分B．分數(shù)在120分以上的人數(shù)與分數(shù)在60分以下的人數(shù)相同C．分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同D．該市這次考試的數(shù)學成績標準差為102．命題，，則為（）A．， B．，C．， D．，3．在數(shù)學興趣課堂上，老師出了一道數(shù)學思考題，某小組的三人先獨立思考完成，然后一起討論.甲說：“我做錯了！”乙對甲說：“你做對了！”丙說：“我也做錯了！”老師看了他們三人的答案后說：“你們三人中有且只有一人做對了，有且只有一人說對了.”請問下列說法正確的是（）A．乙做對了 B．甲說對了 C．乙說對了 D．甲做對了4．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是楊輝三角數(shù)陣，記為圖中第行各個數(shù)之和，為的前項和，則A．1024 B．1023 C．512 D．5115．已知集合，則集合的子集個數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．86．函數(shù)f(x)=x2ex在區(qū)間(a,a+1)上存在極值點，則實數(shù)aA．(-3,-2)∪(-1,0) B．(-3,-2) C．(-7．函數(shù)f(x)=13ax3A．0<a<1 B．1<a<2 C．0<a<2 D．a(chǎn)>28．已知直線與曲線相切，則實數(shù)k的值為（）A． B．1 C． D．9．多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，建立下圖的空間直角坐標系，已知、、、、、.若為平行四邊形，則點到平面的距離為A． B． C． D．10．設集合，，則A． B． C． D．11．對于不重合的兩個平面α與β，給定下列條件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；③α內有不共線的三點到β的距離相等；④存在異面直線l，m，使得l//α，l//β，m//α，m//β其中，可以判定α與β平行的條件有（）A．1個B．2個C．3個D．4個12．已知兩個不同的平面α，β和兩條不同的直線a，b滿足a?α,b?β，則“a∥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量X服從二項分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，則P=__________．14．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是．15．在復平面內，復數(shù)1-i（i為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)對應的點位于第________象限.16．已知函數(shù)，當時，關于的不等式的解集為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，、分別是、中點.（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的值.18．（12分）如圖,五邊形中,四邊形為長方形,為邊長為的正三角形,將沿折起,使得點在平面上的射影恰好在上.（Ⅰ）當時,證明:平面平面；（Ⅱ）若,求平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值.19．（12分）在中國北京世界園藝博覽會期間，某工廠生產(chǎn)、、三種紀念品，每一種紀念品均有精品型和普通型兩種，某一天產(chǎn)量如下表：（單位：個）紀念品紀念品紀念品精品型普通型現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀念品中抽取個，其中種紀念品有個．（1）求的值；（2）從種精品型紀念品中抽取個，其某種指標的數(shù)據(jù)分別如下：、、、、，把這個數(shù)據(jù)看作一個總體，其均值為，方差為，求的值；（3）用分層抽樣的方法在種紀念品中抽取一個容量為的樣木，從樣本中任取個紀念品，求至少有個精品型紀念品的概率．20．（12分）已知直線是拋物線的準線，直線，且與拋物線沒有公共點，動點在拋物線上，點到直線和的距離之和的最小值等于2.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）點在直線上運動，過點做拋物線的兩條切線，切點分別為，在平面內是否存在定點，使得恒成立？若存在，請求出定點的坐標，若不存在，請說明理由．21．（12分）某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了月日至月日的每天晝夜溫差與實驗室每天每顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期月日月日月日月日月日溫差發(fā)芽數(shù)（顆）該農科所確定的研究方案是：先從這組數(shù)據(jù)中選取組，用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的組數(shù)據(jù)進行檢驗.（1）求選取的組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天數(shù)據(jù)的概率；（2）若選取的是月日與月日的數(shù)據(jù)，請根據(jù)月日至月日的數(shù)據(jù)求出關于的線性回歸方程；（3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過顆.則認為得到的線性回歸方程是可靠的.試問（2）中所得到的線性回歸方程是可靠的嗎？附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.22．（10分）如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，求多面體的體積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析：根據(jù)密度函數(shù)的特點可得：平均成績及標準差，再結合正態(tài)曲線的對稱性可得分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同，從而即可選出答案.詳解：密度函數(shù)，該市這次考試的數(shù)學平均成績?yōu)?0分該市這次考試的數(shù)學標準差為10，從圖形上看，它關于直線對稱，且50與110也關于直線對稱，故分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同.故選B.點睛：本題主要考查了正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，以及利用幾何圖形的對稱性求解.2、C【解析】

含有一個量詞命題的否定方法：改變量詞，否定結論.【詳解】量詞改為：，結論改為：，則，.故選：C.【點睛】本題考查含一個量詞命題的否定，難度較易.含一個量詞命題的否定方法：改量詞，否結論.3、B【解析】

分三種情況討論：甲說法對、乙說法對、丙說法對，通過題意進行推理，可得出正確選項.【詳解】分以下三種情況討論：①甲的說法正確，則甲做錯了，乙的說法錯誤，則甲做錯了，丙的說法錯誤，則丙做對了，那么乙做錯了，合乎題意；②乙的說法正確，則甲的說法錯誤，則甲做對了，丙的說法錯誤，則丙做對了，矛盾；③丙的說法正確，則丙做錯了，甲的說法錯誤，則甲做對了，乙的說法錯誤，則甲做錯了，自相矛盾.故選：B.【點睛】本題考查簡單的合情推理，解題時可以采用分類討論法進行假設，考查推理能力，屬于中等題.4、B【解析】

依次算出前幾行的數(shù)值，然后歸納總結得出第行各個數(shù)之和的通項公式，最后利用數(shù)列求和的公式，求出【詳解】由題可得：，，，，，依次下推可得：，所以為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，故；故答案選B【點睛】本題主要考查楊輝三角的規(guī)律特點，等比數(shù)列的定義以及前項和的求和公式，考查學生歸納總結和計算能力，屬于基礎題。5、D【解析】分析：先求出集合B中的元素，從而求出其子集的個數(shù)．詳解：由題意可知，集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}，則B的子集個數(shù)為：23=8個，故選D．點睛：本題考察了集合的子集個數(shù)問題，若集合有n個元素，其子集有2n個，真子集有2n-1個，非空真子集有2n-2個.6、A【解析】

求得f'(x)=x(2+x)ex，函數(shù)f(x)=x2ex在區(qū)間(a,a+1)【詳解】f'(x)=2xe∵函數(shù)f(x)=x2ex在區(qū)間(a,a+1)上存在極值點令f'(x)=0，解得x=0或-2．∴a<0<a+1，或a<-2<a+1，解得：-1<a<0，或-3<a<-2，∴實數(shù)a的取值范圍為(-3,-2)∪(-1,0)．故選【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了推理能力與計算能力，意在考查轉化與劃歸思想的應用以及綜合所學知識解答問題的能力，屬于中檔題．7、D【解析】

函數(shù)f(x)=13ax3-x2+5(a>0)在(0,1)【詳解】f'(x)=ax2-2x，函數(shù)f(x)=13ax3-x2+5(a>0)在(0,1)上不單調，即故答案為D.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調性，考查了二次函數(shù)的性質，考查了學生分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題.8、D【解析】由得，設切點為，則，，，，對比，，，故選D.9、D【解析】

利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的法向量，結合，利用空間向量夾角余弦公式求出與所求法向量的夾角余弦，進而可得結果.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，為平行四邊形，由得，，，，設為平面的法向量，顯然不垂直于平面，故可設，，即，，所以，又，設與的夾角為，則，到平面的距離為，故選D.【點睛】本題主要考查利用空間向量求點面距離，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.10、C【解析】由，得：∴；∵，∴∴故選C11、B【解析】試題分析：直線與平面的位置關系，平面與平面的位置關系，對選項進行逐一判斷，確定正確選項即可．：①α與β平行．此時能夠判斷①存在平面γ，使得α，②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；可以判定α與β平行，如正方體的底面與相對的側面．也可能α與β不平行．②不正確．③不能判定α與β平行．如α面內不共線的三點不在β面的同一側時，此時α與β相交；④可以判定α與β平行．∵可在α面內作l'∥l，m'∥m，則l'與考點：平面與平面平行的性質；平面與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．12、D【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】如圖所示：既不充分也不必要條件.故答案選D【點睛】本題考查了充分必要條件，舉出反例可以簡化運算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：直接利用二項分布的期望與方差列出方程求解即可．解：隨機變量X服從二項分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，則p=，故答案為．點評：本題考查離散型隨機變量的分布列的期望以及方差的求法，考查計算能力．14、．【解析】試題分析：由三視圖可得幾何體為正方體挖去一個圓錐：則：，．得體積為：考點：三視圖與幾何體的體積．15、一【解析】

根據(jù)共軛復數(shù)的概念，即可得到答案.【詳解】的共軛復數(shù)是，在復平面對應的點為，故位于第一象限.【點睛】本題主要考查共軛復數(shù)的概念，難度很小.16、【解析】

首先應用條件將函數(shù)解析式化簡，通過解析式的形式確定函數(shù)的單調性，解出函數(shù)值1所對應的自變量，從而將不等式轉化為，進一步轉化為，求解即可，要注意對數(shù)式中真數(shù)的條件即可得結果.【詳解】當時，是上的增函數(shù)，且，所以可以轉化為，結合函數(shù)的單調性，可以將不等式轉化為，解得，從而得答案為.故答案為【點睛】解決該題的關鍵是將不等式轉化，得到所滿足的不等式，從而求得結果，挖掘題中的條件就顯得尤為重要.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

(1)要證，可證平面，利用線面垂直即可得到線線垂直.(2)建立空間直角坐標系，計算平面的一個法向量和平面的一個法向量，利用向量夾角公式即可得到答案.【詳解】(1)平面，又，為平面上相交直線，平面，而等腰三角形中有平面而平面，.(2)易知兩兩垂直，故分別以其所在直線為坐標軸建系則求得平面的一個法向量，平面的一個法向量平面與平面所成銳二面角為.【點睛】本題主要考查立體幾何中線線垂直，二面角的相關計算，意在考查學生的空間想象能力，計算能力，轉化能力，難度中等.18、(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).【解析】試題分析：（Ⅰ）作，垂足為，依題意得平面，則，平面，，結合勾股定理可得，則平面，平面平面.（Ⅱ）由幾何關系，以為軸建立空間直角坐標系，由題意可得平面的法向量，平面的法向量.計算可得平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值為.試題解析：（Ⅰ）作，垂足為，依題意得平面，，又，平面，利用勾股定理得，同理可得.在中，平面，又平面，所以平面平面（Ⅱ）連結，，，，又四邊形為長方形，.取中點為，得∥，連結，其中，，由以上證明可知互相垂直，不妨以為軸建立空間直角坐標系.，，設是平面的法向量，則有即，令得設是平面的法向量，則有即令得.則所以平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值為.19、（1）；（2）；（3）．【解析】

（1）根據(jù)分層抽樣的原理建立關于的方程，解出即可；（2）先根據(jù)平均數(shù)建立關系式，然后根據(jù)方差建立關于、的等量關系，然后將用前面的關系式表示，即可求出的值；（3）設所抽樣本中有個精品型紀念品，則，求出，然后利用古典概型的概率公式求出事件“至少有個精品型紀念品”的概率.【詳解】（1）由題意可知，該工廠一天所生產(chǎn)的紀念品數(shù)為.現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀念品中抽取個，其中種紀念品有個，則，解得；（2）由題意可得，得.由于總體的方差為，則，可得，所以，；（3）設所抽取的樣本中有個精品型紀念品，則，解得，所以，容量為的樣本中，有個精品型紀念品，個普通型紀念品.因此，至少有個精品型紀念品的概率為.【點睛】本題考查分層抽樣、平均數(shù)與方差的計算，同時也考查了古典概型概率的計算，考查計算能力，屬于中等題.20、(1)(2)存在定點，使得恒成立【解析】試題分析：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線的焦點為，根據(jù)拋物線的定義可得的最小值即為點到直線的距離，故，從而可得結果；（Ⅱ）設，，，，利用導數(shù)得到切線斜率，可設出切線方程，根據(jù)點在切線上可得到和是一元二次方程的根，利用韋達定理以及平面向量數(shù)量積公式，可得時，從而可得結論.試題解析：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線的焦點為，由拋物線定義知，所以，顯見的最小值即為點到直線的距離，故，所以拋物線的方程為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線的方程為，當點在特殊位置時，顯見兩個切點關于軸對稱，故要使得，點必須在軸上．故設，，，，拋物線的方程為，求導得，所以切線的斜率，直線的方程為，又點在直線上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韋達定理得，，可見時，恒成立，所以存在定點，使得恒成立．21、（1）；（2）；（3）見解析【解析】分析：（1）根據(jù)題意列舉出從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況，每種情況都是