2023屆湖南省岳陽市三校數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在邊長為1的正中，，是邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)（靠近于點(diǎn)），等于（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的，則輸入的整數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．4．已知正三角形的邊長是，若是內(nèi)任意一點(diǎn)，那么到三角形三邊的距離之和是定值.若把該結(jié)論推廣到空間，則有：在棱長都等于的正四面體中，若是正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)，那么到正四面體各面的距離之和等于（）A． B． C． D．5．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2，則常數(shù)（）A．-2 B．0 C．2 D．46．已知，則下列結(jié)論正確的是A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)7．從名學(xué)生志愿者中選擇名學(xué)生參加活動(dòng)，若采用下面的方法選?。合扔煤唵坞S機(jī)抽樣從人中剔除人，剩下的人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取人，則在人中，每人入選的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且為 D．都相等，且為8．已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為A． B．45 C． D．10．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度11．已知實(shí)數(shù)滿足，且，則A． B．2 C．4 D．812．在中，,則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛數(shù)根，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.14．已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．15．雙曲線:的左右焦點(diǎn)分別為，過斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)、，若，則該雙曲線的離心率是_________．16．點(diǎn)P是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點(diǎn)，則的取值范圍是__.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在圖象上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知橢圓：，過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線，，設(shè)與橢圓交于、兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；（2）記，求的取值范圍.19．（12分）若是定義在上的增函數(shù)，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）解不等式：；20．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，面，且，為中點(diǎn)．（1）證明：//平面；（2）證明：平面平面；（3）求二面角的余弦值．21．（12分）已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在區(qū)間內(nèi)有極大值和極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：如圖，，是邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)，故選C.考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算2、D【解析】

由題意可知有解，即在有解，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可知m的范圍.【詳解】∵函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于對稱的點(diǎn)，∴有解，∴，∴在有解，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查對稱性的運(yùn)用，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為在有解，屬于中檔題．3、A【解析】

列舉出算法的每一步循環(huán)，根據(jù)算法輸出結(jié)果計(jì)算出實(shí)數(shù)的取值范圍，于此可得出整數(shù)的最小值.【詳解】滿足條件，執(zhí)行第一次循環(huán)，，；滿足條件，執(zhí)行第二次循環(huán)，，；滿足條件，執(zhí)行第二次循環(huán)，，.滿足條件，調(diào)出循環(huán)體，輸出的值為.由上可知，，因此，輸入的整數(shù)的最小值是，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查算法框圖的應(yīng)用，解這類問題，通常列出每一次循環(huán)，找出其規(guī)律，進(jìn)而對問題進(jìn)行解答，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.4、B【解析】

將正四面體的體積分為O為頂點(diǎn)，各個(gè)面為底面的三棱錐體積之和，計(jì)算得到答案.【詳解】棱長都等于的正四面體：每個(gè)面面積為：正四面體的高為：體積為：正四面體的體積分為O為頂點(diǎn)，各個(gè)面為底面的三棱錐體積之和故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了體積的計(jì)算，將正四面體的體積分為O為頂點(diǎn)，各個(gè)面為底面的三棱錐體積之和是解題的關(guān)鍵.5、C【解析】分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值是，則值可求．詳解：令，解得：或，

令，解得：

∴在遞增，在遞減，，

故答案為：2點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】因?yàn)?，所以，又，故，即答案C，D都不正確；又因?yàn)?，所以?yīng)選答案A．7、D【解析】

根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣與系統(tǒng)抽樣方法的定義，結(jié)合概率的意義，即可判斷出每個(gè)人入選的概率.【詳解】在系統(tǒng)抽樣中，若所給的總體個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，則要先剔除幾個(gè)個(gè)體，然后再分組，在剔除過程中，每個(gè)個(gè)體被剔除的概率相等，所以，每個(gè)個(gè)體被抽到包括兩個(gè)過程，一是不被剔除，二是選中，這兩個(gè)過程是相互獨(dú)立的，因此，每個(gè)人入選的概率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣方法的應(yīng)用，也考查了概率的意義，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】分析：化簡復(fù)，利用復(fù)數(shù)模的公式求解即可.詳解：因?yàn)?，所?，故選D.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.9、B【解析】由已知及等差數(shù)列性質(zhì)有，故選B.10、D【解析】

先根據(jù)圖象確定A的值，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)結(jié)果的點(diǎn)求出求與的值，確定函數(shù)的解析式，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式將函數(shù)化為余弦函數(shù)，再平移即可得到結(jié)果．【詳解】由題意，函數(shù)的部分圖象，可得，即，所以，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得，求得，故．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得的圖象，則只要將的圖象向右平移個(gè)單位長度可得的圖象，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解析】

由，可得，從而得，解出的值即可得結(jié)果．【詳解】實(shí)數(shù)滿足，故，又由得：，解得：，或舍去，故，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是指數(shù)的運(yùn)算與對數(shù)的運(yùn)算，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題．12、B【解析】

先根據(jù)求得，進(jìn)而求得，根據(jù)余弦定理求得以及，由此求得.【詳解】由于，所以且為銳角，所以.由余弦定理得.故.所以.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查余弦定理解三角形，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)一元二次方程的判別式和虛數(shù)根的模列出不等式組，求得其范圍.【詳解】由已知得，解得；又因?yàn)?，所以，解得；所以?shí)數(shù)的取值范圍是故得解.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的判別式和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.14、.【解析】

注意到，.則.易知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在處取得最小值.故，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.,,.當(dāng)、在區(qū)間上只有一個(gè)交點(diǎn)，即的圖像與的圖像相切時(shí)，取最大值.不妨設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率為①又點(diǎn)在上，于是，②聯(lián)立式①、②解得，.從而，.15、【解析】

根據(jù)，由定義得，由余弦定理得的方程求解即可【詳解】根據(jù)，由雙曲線定義得，又直線的斜率為，故，中由余弦定理得故答案為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線定義及幾何性質(zhì)，余弦定理，運(yùn)用定義得是本題關(guān)鍵，是中檔題16、[﹣，0]【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，計(jì)算?x2﹣x，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域即可．【詳解】解：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；則點(diǎn)A（1，0，0），C1（0，1，1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴?x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，?取得最小值為；當(dāng)x＝0或1，且y＝0或1時(shí)，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[，0]．故答案為：[，0]．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用與向量的數(shù)量積運(yùn)算問題，是綜合性題目．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)圖象的對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，設(shè)，求出函數(shù)的對稱軸，通過討論對稱軸的范圍，求出m的范圍即可.【詳解】(1)的對稱軸的方程為，若函數(shù)在上具有單調(diào)性，所以或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.（2）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在圖象上方，則在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)無解，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，綜上.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)二次函數(shù)的問題，在解題的過程中，需要對二次函數(shù)的性質(zhì)比較熟悉，再者要注意單調(diào)包括單調(diào)增和單調(diào)減，另外圖像落在直線的下方的等價(jià)轉(zhuǎn)化，恒成立問題要向最值靠攏.18、（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)直線l1的方程為y﹣1=k（x﹣1），根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出直線的斜率k，問題得以解決，（2）根據(jù)弦長公式分別求出|AB|，|CD|，再根據(jù)基本不等式即可求出．【詳解】（1）設(shè)直線的斜率為，方程為，代入中，∴.∴.判別式.設(shè)，，則.∵中點(diǎn)為，∴，則.∴直線的方程為，即.（2）由（1）知.設(shè)直線的方程為.同理可得.∴.∴.令，則，.在，分別單調(diào)遞減，∴或.故或.即.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）抽象函數(shù)求值，采用令值的方法；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）求出對應(yīng)的函數(shù)值，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求不等式的解集.【詳解】解：（1）在等式中令，則（2）∵∴又是定義在上的增函數(shù)∴∴【點(diǎn)睛】（1）抽象函數(shù)中，如果要求解某個(gè)函數(shù)值，一般采取令值的方式去處理問題；（2）函數(shù)值之間的不等關(guān)系，利用函數(shù)單調(diào)性，可將其轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞恐g的關(guān)系，從而完成求解.20、（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】

（1）連接BD與AC交于點(diǎn)O，連接EO，證明EO//PB，由線線平行證明線面平行即可；（2）通過證明CD平面PAD來證明平面平面；（3）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量的方法求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO．O為BD中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)，∴EO//PB．EO平面AEC，PB平面AEC，∴PB//平面AEC．（2）證明：PA⊥平面ABCD．平面ABCD，∴．又在正方形ABCD中且，∴CD平面PAD．又平面PCD，∴平面平面．（3）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,E（0,1,1）．PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0,0,2）．設(shè)平面AEC的法向量為,,,則,即∴令,則.∴,二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面平行，面面垂直的判定定理，考查用空間向量求二面角，也考查了學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）【解析】

分析：（1）由，可得，利用，即，可得，從而可得結(jié)果；（2）在內(nèi)有極大值和極小值，等價(jià)于在內(nèi)有兩不等實(shí)根，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)列不等式求解即可.詳解：，（1）∵在處取得極值，∴，∴，∴，∴，令，則，∴，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）∵在內(nèi)有極大值和極小值，∴在內(nèi)有兩不等實(shí)根，對稱軸，∴，即，∴.點(diǎn)睛：