無(wú)刻度直尺網(wǎng)格作圖題解題策略初探 論文

無(wú)刻度直尺網(wǎng)格作圖題解題策略初探摘要：新課標(biāo)要求讓學(xué)生在尺規(guī)作圖中理解和掌握作圖的基本原理與方法，發(fā)展空間觀念和空間想象能力。用無(wú)刻度直尺在網(wǎng)格中作圖是近年來(lái)出現(xiàn)的一類(lèi)新型作圖題，它比傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖題綜合性更強(qiáng)，思維含量更高，更能考查學(xué)生綜合分析問(wèn)題和運(yùn)用幾何知識(shí)解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀和推理能力，與新課標(biāo)的要求高度吻合。本文結(jié)合兩個(gè)例題探究此類(lèi)作圖題的解題策略，并提出一些教學(xué)建議。關(guān)鍵詞：無(wú)刻度直尺網(wǎng)格作圖，解題策略，幾何直觀，推理能力網(wǎng)格作圖題是中考常考的題型，主要考查對(duì)圖形進(jìn)行平移、對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、位似等變換，有時(shí)還涉及線段、角度和面積的計(jì)算，隨著新課改的不斷深入，近年來(lái)出現(xiàn)了一種新型的網(wǎng)格作圖題——用無(wú)刻度的直尺在網(wǎng)格中作圖，因網(wǎng)格中含有有平行、垂直、長(zhǎng)度、正方形、矩形等諸多條件，作圖時(shí)這些條件都是可以利用的，所以此種作圖題綜合性更強(qiáng)，思維含量更高，更能考查學(xué)生綜合分析問(wèn)題和運(yùn)用幾何知識(shí)解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀和推理能力。下面結(jié)合兩個(gè)例題探究此類(lèi)作圖題的解題策略和教學(xué)建議。 一、解題初探，尋求策略

例1.(2021年包河區(qū)一模18題)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(5，4)，B(1,1)，C(5,1)。 （1）請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1，并寫(xiě)出點(diǎn)A1的坐標(biāo)；

（2）以O(shè)為對(duì)稱(chēng)中心，畫(huà)出△ABC關(guān)于O成中心對(duì)稱(chēng)的圖形△A’B’C’； （3）請(qǐng)只用無(wú)刻度的直尺畫(huà)出∠ABC的平分線BQ（點(diǎn)Q在AC上）（保留作圖輔助線）y

AOBCx圖1 初探解題策略

第（3）小問(wèn)中角平分線的尺規(guī)作圖是要用到圓規(guī)的，但本題中畫(huà)圖工具僅限于無(wú)刻度直尺，不能用圓規(guī)，那什么知識(shí)可以和角平分線聯(lián)系起來(lái)呢？我們很容易聯(lián)想到等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成求作等腰三角形底邊上的中線或高，或者聯(lián)想到全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及“平行加等腰得角平分線”等知識(shí)。有了這個(gè)思路后，我們?cè)賮?lái)明確題中無(wú)刻度直尺和網(wǎng)格的作用。無(wú)刻度直尺的作用是作直線、連接兩點(diǎn)、延長(zhǎng)線段、作兩線的交點(diǎn)；網(wǎng)格的作用是提供格點(diǎn)、平行、垂直、長(zhǎng)度、三角形、正方形、矩形等條件。故而，我們要綜合運(yùn)用這些幾何基本圖形的相關(guān)屬性來(lái)分析、推理，逐步找到作圖的方法。深究解題方法

圖2至圖5是收集到的學(xué)生的四種解法。y

A

P

Q圖2BCDxO圖3yPADxFyEAxQQBCOBDCO圖4圖5圖2中矩形ACDE對(duì)角線的交點(diǎn)P是線段AD的中點(diǎn)，而由勾股定理可以求出AB=5，由數(shù)格點(diǎn)知BD=5，所以△ABD是等腰三角形且AD是底邊，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得BP是頂角∠ABC的平分線。本作法主要運(yùn)用了矩形對(duì)角線互相平分和等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)矩形和等腰三角形性質(zhì)的理解和掌握。 圖3和圖4的做法本質(zhì)上是相同的，由勾股定理和數(shù)格點(diǎn)的長(zhǎng)度易求得 ，又有公共邊BP=BP,由“邊邊邊”得△ABP≌△DBP，由全等AB=BD=5，AP=DP=√5

三角形對(duì)應(yīng)角相等知BP平分∠ABC。本作法中學(xué)生獨(dú)具慧眼，看到了共頂點(diǎn)且長(zhǎng)度為 5的線段AP和DP，找到了全等三角形△ABP和△DBP，運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)來(lái)解決，這種作圖看似簡(jiǎn)單，實(shí)則體現(xiàn)了學(xué)生超強(qiáng)的幾何直觀和合情推理能力。圖5的作法證明：∵DE1 CA31DB=3，CF=9=3∴DECADB=CF又∵∠EDB=∠ACF=90°

∴△EDB∽△ACF

∴∠EBD=∠F

∴BE∥AF

∴∠ABE=∠FAB

由勾股定理得AB=5=BF

∴∠F=∠FAB ∴∠EBD=∠ABE

∴BQ平分∠ABC

此種作法雖然不是最優(yōu)解，但它另辟蹊徑，內(nèi)涵精彩紛呈，讓人眼前一亮。它充分利用了網(wǎng)格中的平行、垂直、長(zhǎng)度等條件構(gòu)造出“A”型相似的三角形，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)與判定定理求解，解法背后展示了學(xué)生極強(qiáng)的幾何直觀、構(gòu)圖能力和推理能力，是學(xué)生高階思維的體現(xiàn)。 例2.（2019東麗一模18題）如圖6，在由邊長(zhǎng)都為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均為格點(diǎn)，點(diǎn)P，Q為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足PQ=1， (1)當(dāng)點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，CQ的長(zhǎng)度等于_________;

(2)當(dāng)線段CP+CQ取得最小值時(shí)，請(qǐng)借助無(wú)刻度直尺在給定的網(wǎng)格中（圖7中），畫(huà)出點(diǎn)Q，并簡(jiǎn)要說(shuō)明你是怎么畫(huà)出點(diǎn)Q的。 B B

Q

PA圖6CA圖7C初探解題策略

本題中第（2）問(wèn)的畫(huà)法是怎么想到的呢？直接在網(wǎng)格中確定Q點(diǎn)的位置，難度較大，學(xué)生很難找到關(guān)鍵的點(diǎn)，如果拋開(kāi)網(wǎng)格背景來(lái)分析，CP、CQ處在線段AB的同一側(cè)，要想求CP+CQ最小時(shí)點(diǎn)Q的位置，學(xué)生很容易聯(lián)想到《軸對(duì)稱(chēng)》那一章學(xué)過(guò)的最短路徑問(wèn)題，先要將兩線段轉(zhuǎn)化成在AB異側(cè)，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解決，故如圖8，想到要作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C’，連接C’Q，則CQ=C’Q，此時(shí)CP+CQ=CP+C’Q，實(shí)現(xiàn)了將AB同側(cè)的線段轉(zhuǎn)化到AB異側(cè)，但是P和Q不在一個(gè)點(diǎn)處，我們可以通過(guò)平移CP來(lái)達(dá)到共頂點(diǎn)，如圖9，平移CP到GQ的位置，使點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，則CP+C’Q=GQ+C’Q，顯然，當(dāng)C’、Q、G三點(diǎn)共線時(shí)，GQ+C’Q最短，故如圖10，連接C’G，C’G與AB的交點(diǎn)就是點(diǎn)Q,如圖11，GQ+C’Q的最小值就是C’G的長(zhǎng)。C'AQB，HC'QBHCCGPPOOA圖8圖9C'AQBGC'BHQPGOOA圖11C圖10C 我們定性地找到了點(diǎn)G和點(diǎn)Q的位置，但是在網(wǎng)格中只有格點(diǎn)可以直接取，非格點(diǎn)的點(diǎn)只能通過(guò)兩直線相交來(lái)確定，故下面我們要定量地求出點(diǎn)G在CH上的位置和點(diǎn)Q在AC上的位置，分析如下：

在圖10中，∵PC平行且等于GQ，

∴四邊形PCGQ是平行四邊形，

∴CG∥PQ，CG=PQ=1，

在圖11中∵C、C’關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)，

∴點(diǎn)O是CC’的中點(diǎn)，

又∵OQ∥CG，

∴點(diǎn)Q是C’G的中點(diǎn)，

∴OQ是△C’CG的中位線，1

∴OQ=2CG=1

.2 深究解題方法

有了前面定性和定量的分析，下面就可以結(jié)合圖11在網(wǎng)格中來(lái)定位C’、G、Q這些關(guān)鍵點(diǎn)了，圖12至圖15是作圖步驟。根據(jù)前面的分析，我們要在網(wǎng)格中先作出點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C’，第一步，先畫(huà)出AB的垂線，AB是3×4的格點(diǎn)矩形的對(duì)角線，我們過(guò)點(diǎn)C構(gòu)造3×4的格點(diǎn)矩形，如圖12，取格點(diǎn)D，連接CD，則CD就是這個(gè)矩形的對(duì)角線，它與AB垂直，垂足為O，第二步，C’和C到AB的距離相等，但是C‘不是格點(diǎn)，所以想到構(gòu)造到AB距離相等的平行線，如圖13，取格點(diǎn)H、E、F，連接CH、EF，由BH平行且等于AC、AE平行且等于BF知，四邊形ABHC和四邊形AEFB都是平行四邊形，所以CH∥AB∥EF，又因?yàn)锽H=BE=3，BC=BF=4，∠CBH=∠EBF=90°，所以B到CH和EF的距離相等，所以CH和EF到AB的距離相等，故延長(zhǎng)FE，它與CD的交點(diǎn)即為點(diǎn)C’。接下來(lái)確定點(diǎn)G的位置。因?yàn)镃G=1，但點(diǎn)G不是格點(diǎn)，我們可以借助網(wǎng)格線來(lái)構(gòu)造“X”型相似，如圖14，取格點(diǎn)I、J，因?yàn)镃I=1，JH=4，CH=5，且CI∥JH，所以△CIG∽△HJG，所以CG:GH=CI:HJ=1:4，所以CG=1，CH與JI的交點(diǎn)就是點(diǎn)G。 最后，確定點(diǎn)Q的位置。如圖15，連接C’G，C’G與AB的交點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)Q。FDBDEBHC'AOCAOC圖12圖13DEJFGHDEJFGHBBC'QC'OOA圖15CIA圖14CI二、解后思考、感悟價(jià)值綜觀以上兩道例題，都以網(wǎng)格為背景，借助無(wú)刻度直尺作圖，對(duì)學(xué)生而言，要求在作圖的過(guò)程中，更加傾向于關(guān)注對(duì)所作作圖形進(jìn)行作圖原理的探究和作圖合理化的推導(dǎo)，既考查了學(xué)生的幾何直觀，又考查了學(xué)生的推理能力和邏輯思維能力，不但體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)尺規(guī)作圖的要求，即“在尺規(guī)作圖中，理解和掌握作圖的基本原理和方法，發(fā)展空間觀念和空間想象能力”，而且將網(wǎng)格和幾何基本圖形、線段最短路徑問(wèn)題綜合起來(lái)，考查學(xué)生利用網(wǎng)格綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，特別是例2，思維含量高，對(duì)學(xué)生的幾何直觀和推理能力要求較高，是極好的發(fā)展學(xué)生思維的教學(xué)素材，教學(xué)中如果能把這類(lèi)試題教好，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升大有裨益。三、教學(xué)建議、落實(shí)素養(yǎng)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵是讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界[1]。無(wú)刻度直尺網(wǎng)格作圖，對(duì)學(xué)生的幾何直觀、想象能力和推理能力等各方面都有了較大的要求，更能體現(xiàn)核心素養(yǎng)的達(dá)成情況，對(duì)教師而言，在教學(xué)生操作技能的同時(shí)，更要關(guān)注操作背后隱藏著的數(shù)學(xué)原理，以及對(duì)此操作進(jìn)行合理化的推導(dǎo)，不但讓學(xué)生“知其然”，還要“知其所以然”，更要“知何由以知其所以然”，也就是不但要讓學(xué)生知道解法是這樣的，還要知道它為什么是這樣的，更要弄明白是怎么想到這種解法的。要求教師教給學(xué)生的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)本身，更是一種數(shù)學(xué)思維和思考問(wèn)題