2023北京豐臺高三一模數(shù)學(xué)試題

高三數(shù)學(xué)第高三數(shù)學(xué)第頁（共6頁）豐臺區(qū)2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)（一）高三數(shù)學(xué)2023.03第一部分（選擇題40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知集合，，則（A）（B）（C）（D）2．若，，則（A） （B）（C）（D）3.已知圓與軸相切，則（A）（B）（C）2（D）34．已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，，則（A） （B）0（C）1（D）25.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若角以x軸非負(fù)半軸為始邊，其終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的一個可能取值為（A） （B） （C） （D）6．在△中，若，則該三角形的形狀一定是（A）等腰三角形（B）等邊三角形（C）直角三角形 （D）等腰直角三角形7．設(shè)無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“對任意，都有”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件8．已知拋物線C：(p>0)的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)為F，A是拋物線C上的一點(diǎn)，點(diǎn)A到x軸的距離為，過點(diǎn)A向拋物線C的準(zhǔn)線作垂線，垂足為B.若四邊形ABOF為等腰梯形，則p的值為（A）1 （B）（C）2 （D）9.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，存在常?shù)t（），使得對任意，都有，當(dāng)時，.若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最小值為（A）3 （B）（C）2 （D）10．如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)D在棱AC上，點(diǎn)E在棱上，給出下列三個結(jié)論：①三棱錐的體積的最大值為；②的最小值為；③點(diǎn)D到直線的距離的最小值為.其中所有正確結(jié)論的個數(shù)為（A）0 （B）1（C）2 （D）3第二部分（非選擇題110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則_________.12.已知正方形的邊長為2，，則_________.13.從，，1，2，3這5個數(shù)中任取2個不同的數(shù)，記“兩數(shù)之積為正數(shù)”為事件A，“兩數(shù)均為負(fù)數(shù)”為事件，則_________.14.設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為_________；a的最大值為_________．15.三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，目前尺規(guī)作圖仍不能解決這個問題.古希臘數(shù)學(xué)家Pappus（300~350前后）借助圓弧和雙曲線給出了一種三等分角的方法：如圖，以角的頂點(diǎn)為圓心作圓交角的兩邊于，兩點(diǎn)；取線段的三等分點(diǎn)，；以為焦點(diǎn)，，為頂點(diǎn)作雙曲線.雙曲線與弧的交點(diǎn)記為，連接CE，則.（Ⅰ）雙曲線的離心率為_________；（Ⅱ）若，，交于點(diǎn)P，則_________.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16.（本小題13分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值和最小值．17.（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，AC交BD于點(diǎn)O，，，點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，連接OE，OP.（Ⅰ）求證：OE//平面PCD；（Ⅱ）若平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求線段OP的長．條件①：平面PBD平面ABCD；條件②：注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計(jì)分．

18.（本小題14分）交通擁堵指數(shù)（TPI）是表征交通擁堵程度的客觀指標(biāo)，用TPI表示，TPI越大代表擁堵程度越高.某平臺計(jì)算TPI的公式為：，并按TPI的大小將城市道路擁堵程度劃分為如下表所示的4個等級：TPI[1，1.5)[1.5，2)[2，4)不低于4擁堵等級暢通緩行擁堵嚴(yán)重?fù)矶履呈?023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下圖：（Ⅰ）從2022年元旦及前后共7天中任取1天，求這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率；（Ⅱ）從2023年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；（Ⅲ）把12月29日作為第1天，將2023年元旦前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次記為,將2022年同期TPI依次記為.記，.請直接寫出取得最大值時i的值.

19.（本小題15分）已知橢圓的一個頂點(diǎn)為,焦距為2.（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，過點(diǎn)B，C作直線的垂線（點(diǎn)B，C在直線l的兩側(cè)），垂足分別為M，N，記△BMP，△MNP，△CNP的面積分別為，，.試問：是否存在常數(shù)t，使得，，總成等比數(shù)列？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由.20.（本小題15分）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個不相等的零點(diǎn)，，（=1\*romani）求的取值范圍；（=2\*romanii）證明：.

21.（本小題14分）已知集合，對于集合的非空子集A，若中存在三個互不相同的元素，使得均屬于A，則稱集合A是集合的“期待子集”．（Ⅰ）試判斷集合，是否為集合的“期待子集”