一流體力學(xué)習(xí)題及測(cè)試題答案

課后習(xí)題答案測(cè)試題（一共3套隨堂作壓縮均質(zhì)流體定常運(yùn)動(dòng)（熱過(guò)程）方程組在二維直角坐標(biāo)系中的形 粘性流 系

uv duFPxxPxy dvFPxyPyy運(yùn)動(dòng)方程： PP2u1uv 3 y PP

v1uv 3 yP P 本構(gòu)方程

7.Euler1）2）定常運(yùn)動(dòng)1)0,(t

d

，也就 v0，均質(zhì)0；于是對(duì)于不 壓均質(zhì)流體0，t0，也就是const

0，(xyz11．設(shè)流體運(yùn)動(dòng)以Euler觀點(diǎn)給出uaxt2,vbyt2,w0, (ab0)，將此轉(zhuǎn)換到Lagrange觀點(diǎn)中去，并用分別求加速度dxaxt x1(a2t22at2)C 解：dybyt2，積分得 y1(b2t22bt2)C dz

zt0時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于位置(x,y,z)，則得到：x2C y2C zC， x1(a2t22at2)(x2 1 2

(b z

2bt2)( 2 22 2 22 Lagrange觀點(diǎn)：axt2ax0a3ae ayt2by0b3beaz0 Eulerauuuvu2ta(axt2);avuvvv2tb(byt2) az二流線與跡線，加速度

u

,v

,w

c是常數(shù),試畫出流線族

dy dx u ,v

流線的微分方程為 v, x2 x2y2代入得x2 x2y2,積分得lnxlnyC,yCxzB，其中B、C解

ux2y2v2xyx1,y1的一條流線dx 流線的微分方程為 v,將ux2y2,v2xy代入,得x2 2xy,積分得y33x2yC,C為積分常數(shù)。將x1,y1代入,C2y33x2y201(11)設(shè)uxtvyt,0,求通過(guò)x1,y1t0時(shí)通過(guò)x1,y1的跡線解dxx

y(xtytC，流線通過(guò)（－1，－1）點(diǎn)，即有C1t2xyytxt1 x yt， xc1ett1,2ycett2zc1 c2 c3xtt＝0yt1z

xy2z|v|考慮空間點(diǎn)源運(yùn)動(dòng)，設(shè)流體由點(diǎn)源O輻射流出，有設(shè)速度大小 4r2，其中解：（1）0，即Vr|v|V0,V0，且rdrrdrsindvr0|v

0

rsin0容易求得過(guò)空間(r0,0,0)任一點(diǎn)的流線 ,即從點(diǎn)源輻射出去的直線.另 4r rr(t,rrd

,容易求得 ,r0,0,0為tt0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的空間位置,顯然質(zhì) rsind f(x,y,z)線方程不依賴時(shí)間，可表示為g(x,yz)g )u(r,

dyv(r,t) dzw(r,t) u(r, u(r, u

F(r),G(r，因此uvwuuU(r)TvV(r)TwW(r)T V Wf(x,y,z)

U U

，積分得過(guò)空間任一點(diǎn)(x0y0z0的流線0g(x,y,z)0 ：dxdy dt，即dx

T(t)dtu(r,

f(x,y,z)時(shí)間積分就可以求出過(guò)空間任一點(diǎn)(x0y0z0的跡線方程g(x,yz)g 流體質(zhì)點(diǎn)軌跡也是s1t2時(shí)刻（t2t1）該流體質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到r2，因s1是該流體質(zhì)合，因此s2也是過(guò)r1處的流線，即在r1處t2時(shí)刻的流線與t1時(shí)刻的流線相同。所以如果流三運(yùn)動(dòng)類型的判別1（3）ucyvcxw0;對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行分析，是有旋運(yùn)動(dòng)，還是無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，求出它們的流線形狀,其中c是常數(shù)。rotVwv0(cx) rotVuw(cy)0 rotVvu(cx)(cy) rot0dx dx x2y2 v,將ucy,vcx代入得cy cx，積分得2 C所以試證明，如果流管中存在與流線垂直的橫截面，則在該橫截面上必然存在vrotvv證：在流管的截面上由于流線與截面垂直，故過(guò)其上任一點(diǎn)有面積微元dsnds dsvdsdr0vdrv該面積微元的周線為l，由于ndsvdr0，故nvl

速度場(chǎng)給定如下x2yx2y2 r3rvcr0，其中θ0為球坐標(biāo)中θ方向的單位矢量。求通過(guò)以原點(diǎn)為中心，半徑為R的球S的流體體積流量。r中n

rQ(r)

vds2vnr2sindd2d

vrrsin

（1）Q(r0dr3rrsind4，故求得Q(R （2）因θ0與rQ(r0drθ0rrsind0，故Q(R22

vr2(rdr)v(rdr)4(r

(r)v(r)4rt4rdr

tr

v

vr20dvr20 d

vr2

試證下述不可壓縮流體的運(yùn)動(dòng)是可能存在的(1)u2x2y,v2y2z,w4(xy)z解uuu

4x4y4(xy)

(2x2 (2y2 (4(xy)z 求下列速度場(chǎng)成為不可壓縮流體可能流動(dòng)的條件(1)ua1xb1yc1z,va2xb2yc2z,ua3xb3yc3uuuabc (A)(Au) 式中u是速度，ds是流動(dòng)方向的微元弧長(zhǎng)。證明：在流管上選取長(zhǎng)為 的一段作為研究對(duì)象，則其質(zhì)量的隨體導(dǎo)數(shù)滿d(As) 利用p135(A)su(A)sAus (A)(Au) 已知粘性流體在圓管中作層流流動(dòng)時(shí)的速度分布

uc(r2r2

0管半徑,求:(1)單位長(zhǎng)度圓管對(duì)流體的阻力;(2)rr0/2處沿圓管每單位長(zhǎng)流體的內(nèi)摩0dud(c(r2r2)) 2

rr,

F2r4cr

0F2r0cr（2）在管內(nèi)rr0/2處 0一長(zhǎng)為l,寬為b的平板,的流體中,流體以速度u0沿平板平行流過(guò)。假定流體質(zhì)點(diǎn)在平板兩面上任何一點(diǎn)的速度分布情況如圖所示。求：（1）平板上的總阻力；（2）yh/2處的流體內(nèi)摩擦力；（3）y3h2處的流體內(nèi)摩擦力；F2IA2blh

IF uyu,v0,w dy， h duyh/2處的流體內(nèi)摩擦 y3h2dy=0025．兩個(gè)無(wú)限大的平行平板間，充滿著不可壓縮的絕熱粘性流體(，下板靜止，上板以速度u0沿水平方向移動(dòng)，求流場(chǎng)中每單位體積的內(nèi)能增加。2ss2s2ij

0 0

S

u故有

12

0 dU

u ,vR r

r2，r計(jì) V ，并證明其等于L（忽略熱傳導(dǎo)，其中L為作用在圓柱體上的力矩。(1)u（V0

y,vR2r2

xw0r

p

skk

)2ss

ij y2 r r 0 Ry2

0 4R4 2 ，于是 r 0 dUd d4R42h12rdr4R22h R（2）流體作用在柱面上的切應(yīng)力：P(vv ru2其中v R2，（逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)u2r

R2r

(0,順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)代入表達(dá)式得：2流體作用在柱體上的面力矩LR2Rh4R2h,方向與相反。內(nèi)柱對(duì)流體做功功率L4R22h。y y 的物體以常速度沿水平方向運(yùn)動(dòng)，若v表示邊界上的速度分量，證明：u

k2y1：在靜止參考系oxy中，由法向速度連續(xù)條件v固nv流n Unuivjn k k2Uxuxvy，即uU 2

F

2y,1

F

0 其中V代表邊界上流體的速度，Vuivjxiyj求下列流場(chǎng)的渦量場(chǎng)及渦線：（1）OxOx平行，即ucy2x2vw0,cv 給定流 xyzr,rxiyjzk如果流體繞固定軸象剛體一樣作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

j

ydyzdz，i.e.,y2z2const y2 y2Vijkx2xy2

xz2y2 yx2z2 zy2x2 在柱坐標(biāo)系下，Vre，所以渦量為V7速度場(chǎng)為uy2zvz2xwx2求渦量及渦線xyz1dS0.0001m2的渦管強(qiáng)度z0dS0.0001m2上的渦通量 yzx2

ijdxdy

積分得xyyzc Fxyz1 n F3,3,3 J

3,3 3

3S 3又已知得平面的法向?yàn)?, 16．證明在理想不可壓縮流體的平面運(yùn)動(dòng)中，若質(zhì)量力有勢(shì)，則沿軌跡有定常運(yùn)動(dòng)中，沿流線渦量保持常植。解：法，根據(jù)亥

d ，而且在 p 2 VVF V

V3

3因?yàn)榱黧w不可壓縮則有V V3又因?yàn)榱黧w為流體無(wú)粘則有V2質(zhì)量力有勢(shì)可得F0p 又流體正壓 2p 由于是平面運(yùn)動(dòng)，即k，且

0，則又可得Vz

在xoy平面上任取流管。在流管中取面積為A1的微元渦管（注意渦管指向鉛直方向，渦管面積為A2，根據(jù)渦管保持定理，渦管強(qiáng)度不變有1A12A21A12A2。12在一封閉圓柱內(nèi)，不可壓均質(zhì)流體在外力作用下從靜止開始做繞柱 軸）的旋轉(zhuǎn)動(dòng)，若外力試寫出運(yùn)動(dòng)方程，并證明：d1 ，,, 為常數(shù)。為旋轉(zhuǎn)角速度p12r21x2xyy2 壓力滿足 其中r是到z軸的距離根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，流體所受合外力矩I 222 RR

xiyjxyixyjRR 2 =R Ry2 R4I1R42

12 a ax2 ax2ax2ax2

a Fx、Fy為單位質(zhì)量流體質(zhì)點(diǎn)所受外力的兩個(gè)分力，由動(dòng)量方程可得 dFiFj r2 r 1 2 xxyx y21pxyy21x 1dp1pdx1pdy1dx2y2xy12dx2y2 第六章積分和動(dòng)量定設(shè)空氣在一收縮管道中流過(guò)，管道收縮處有一毛細(xì)管與下方一容器中的水相接，水面與收縮處的距離為h,收縮管截面12處的斷面積為S1和S2。如果把空氣看為理想的，不可壓縮的，它的運(yùn)動(dòng)時(shí)定常的且只有重力作用。試問(wèn)空氣在處的流速多大時(shí)管道能將容器中的水吸到管道中來(lái)？ S22V12+PV+22 22 由連續(xù)性方程 方程得

P0P2

水

S S2S 2P 。0為大氣壓18.求理想不可壓重力作用下的流體，在開口曲管中的振動(dòng)規(guī)律.假定管為等截面的，管中流柱長(zhǎng)為l,圍曲管于水平線間的夾角，運(yùn)動(dòng)的初始條件是由平衡位置開始振動(dòng). t P2P1Pa,v2v1,z2z1xsinsingsinsinlxlgsingsinsinl振動(dòng)周期為T ，22截面積A290°彎管和一截面積A1的噴管相連。設(shè)水以流量Q從噴管射向壓力為PaFx和Fy。設(shè)流體是理想不可壓縮的，重力可以忽略，流 V + 22由連續(xù)性方程喝方程得FPaAv2在x方向上 1FPAv2

y方向上Q2

2 2Fx A

2 2Fy 2A1解 A125.寬為b的二維理想不可壓縮流體噴柱，正擊于一靜止的平板后，向兩邊分流.設(shè)來(lái)流v，密度為.如果不考慮重力影響，試求平板所受的沖擊力.解：取一正方形計(jì)算動(dòng)量通量，x方向動(dòng)量通量為0，合面力為0vvbypapndsP板V2b28.設(shè)流體是理想不可壓縮的，流動(dòng)是定常的.流體高度為h，流速為 ，在重力作用下流 （如圖） 下游流體深為l.要固 ， 單位寬度上所需的力 ，gh和l表示解：我們?nèi)⊙乇砻嬉蝗榭刂企wCS，通過(guò)CS的動(dòng)量通量=合面力+合體力我們只考慮水平方向的動(dòng)量通量：設(shè)來(lái)流速度為v1，出口速度為v2則v1h

p1dy0p2dypaDlp1paghyp2paglyRPahnn akrr

kn1,

ar

kn1

1kn1k是一種可能的速度分布。求流函數(shù) ，并證明任何一點(diǎn)流速的大小 證明：若V0V1rVr akn1rnekn1arn1kn1

n1kVr

,V

，帶入Vr,V，則 n分析討論題比較小孔出流反推力與火箭發(fā)動(dòng)機(jī)反推力計(jì)算的相同點(diǎn)和不同點(diǎn).根據(jù)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)力計(jì)算,提出增大推動(dòng)力的有效方法。根據(jù)圓管突然擴(kuò)大的能量損失計(jì)算，提出減小流體輸送能量損失的合理管路設(shè)計(jì)原則第七章理想不可壓縮流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng)

w(z)(1i)ln(z21)(23i)ln(z24)zx2y2動(dòng)組成的?x2y29w(z)(1i)ln(z21)(23i)ln(z24)z

36的速度環(huán)及通過(guò)該圓周的流體體積ln(zi)ln(zi)2ln(z2i)2ln(ziln(zi)iln(zi)3iln(z2i)3iln(z2i)z（0,1（0,-1（0,2（0,-在復(fù)平面中位于（0,10,-1）逆時(shí)針流動(dòng)的點(diǎn)渦（0,2（0,-2b2(1133)x2y29Q2a2(1122)x2y2

0，所欲0,Qw(z)mln(z1 z試分析它們是由哪些基本流動(dòng)組成的?求流線和單位時(shí)12zi和z12通

兩點(diǎn)連線的流體體積。w(z)mln(z1)

z2mln( )

mln （0,1（0,-（0,1（0,-w(z)mln(z1)z

mln

yi x

mln

yixyi

x2y2 x2y2

yx2y21imln x2 x2y2mln x2 x2 x2y21 x2y21mmarctg x2 x2 x2y21 x2y21x2 x2

即yx2y21Cxx2y212 12 Q體積， 2時(shí) 2m點(diǎn)匯組成卵形體的繞流，求駐點(diǎn)及卵形體方程由題知zvzmlnzamlnzVdV ，當(dāng)V0時(shí)為駐點(diǎn)。，則駐 z zzzvzmlnzamlnzazxiy帶入ImVym x2y2Vmarctan 0 x2y2

32.設(shè)一圓柱半徑為a，在距圓柱中心為f強(qiáng)度為2Q的點(diǎn)源；強(qiáng)度為2m的偶極子強(qiáng)度為2的點(diǎn)渦

處分別放置分別計(jì)算以上各種情況下圓柱所受的合力，設(shè)流體密度為 a2 解：（1）(zQlnzfQlnzfQlnzflnzflnzc d2dz 1 R2cdz （2（3）

zff2a24a2m2 結(jié)果為（2）R

f2

2ff

a2題證明(n)nrotnn,nn[grad(anrot(andiva，其中an用兩種方法證明(ab(a)barotb+rotabadivb w1 2

p

u(Pv)v(Pu)2w(uv)u及v張量P a(Pa)答rotnnn(n)

(n)

n)

)n1(nn)(n2nnn1，故(nn)0，于是rotnn(n)nrotnn寫成rotnnnn

(nqnk]jpq ] 直接寫rotnnnn)(nn)n)n盡管也能給出證明，但由第二步(用混合 (二)張量表示法證明：rotnn nnn nnn( )nnijkjmn jikjmn im kmin 1(nknk)(n)n(n kni grad(an)(an)n(a)(n)arot(an)(an)(n)an(a)n[grad(an)rot(an)]n[n(a)n(a)](nn)aa(二)張量表pn[grad(an)rot(an)]n(ajnj) (an)p

ai

ij ijkkpqq j a ninjx(ipjqiqjp)nqxninjxnjx QnnajQdivii

)n Qn(n n

nn i j ij ji i,其 (進(jìn) (a)b(aC)b(a)(aC)baC(b)(aCb)a(b)[aC(b)(aCadivbarotb(a

(a)bCbC(a)brotarota(二)張量表j(a)b (akbn)]( )(akbabnjj j

nj nk

kxak

aibkjxkj

bkakx ix(a)barotb+rotabadivbabi

bn]

aa

nj ijk kmn jmn i

a j

im

jm

)a j

im

in

) n

a i abij

bjj

j

ak

ai

ai a

ak

ai

ai ji

ixkkkk2PS s1pp,a1pp w1 2 ji，定義w u(Pv)v(Pu)uipijvjvipijujpij(uivjviuj)

。2wuv)ijkpjkimnumvn(jmknkmjnpjkumvnpjk(ujvkukvj 1 p 1 p a

31

wA

1pp

1pp w2 a23

w 01 33 1pp1 p

aa aaa(Pa)apaaapi,j互 pijp aaa aaiij ij j ij因此aPa)0充分性：由aPa)0可知，對(duì)任意矢量apijaiaj現(xiàn)在，令a1,00p110a0,1,0a0,01)p220p330。再分別令a11,0、a011)、a1,01)并利用p11p22p330p12p210p23p320p31p130題

pji，這說(shuō)明P 習(xí)題二流體運(yùn)動(dòng)描述流體質(zhì)點(diǎn)繞oz軸以等角速度一維收縮管內(nèi)的不可壓縮流動(dòng)，其速度分布為：VV1(1xLuXt2vYt2w0。試求流場(chǎng)的流線，流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡和加速度，ukyvk(xtw0，其中k和均為常數(shù)。試求：t=0時(shí)經(jīng)uABtvC二維流場(chǎng)uavkytu x2y

，v 2y

，w

vsinuvcosuuvrcosvvvrsinv已知流體運(yùn)動(dòng)的速度大小和流線的方程分別為V x2y2constantuxvy，試求流線方程和通過(guò)點(diǎn)（2，3）速度場(chǎng)為Vayibjm/sec，yau，v，wxyuv0010015tuv01/u、vm/sec，tsec，x、ymx=y=0點(diǎn)上分別沿x和y方向的平均加速度分量。答 vr

r r,0,

z拉朗日表述下，建立極坐標(biāo)系，初始時(shí)刻（流線為繞ozoz

0）則 r r dvd(dr(r r 變量下 V (V(1))V 1(1)

LVV(1x)dxV(1x

aV12eL 積分得xL(eL1)對(duì)x二次求導(dǎo) Ldv

v

v 不一定， ，定常即 ，但dt不一定為0dx Yt2對(duì)方程積分（t為常數(shù)，得LnxLnyc

Xt

x

Xt3

Yt

y

a

tvv2Xti2YtiuXtvYt z

a2Xti2Ytjdx流線

k(xt)，t為常數(shù)。積分得(xt)2y2ct=0時(shí)流線經(jīng)過(guò)（abc）ca2b2 dx xcektcektdy

yc

2

c e k(x c e xabektabekt a

a

y

dyC

A

yCC

dxA

xAtBt2 軌跡滿足

dyC

yCt

dxdyxLny流線： 0dx

yye

v vz vz極坐標(biāo)下 dvvvvvvvk加速度： r r z r3xuvcosv xr

u

sinv由坐標(biāo)變換yr

cx由題得，速度的方向矢量為（1，2 dxdyLnxLny （2，3，則

dvvv

v 所以起點(diǎn)處a2.51435，終點(diǎn)處a2.51537.5。drvr(r,dr

v，軌跡

v(r,,

v

(r,,z,trd (r,,z,t

v

(r,,z,t ，軌跡 drv(r,,,

v(r,,,

rsin

rsin

v(r,,, ，軌跡 v4ij0.25u2,v5,u6,v5,u20,v a 20i(20i10j)v50j習(xí)題三質(zhì)量連續(xù)性方程題xaRekbsin(kaybRekbcos(ka其中R,k,為常數(shù)，a，b 面上速度相同，即v=v(x)，試求連續(xù)方程。h=h(x)（即渠底不平，由于外部擾動(dòng)，使自由表面產(chǎn)生了一波hhxx,t，其中xt為波剖面。設(shè)流 ()() () 式中為流體質(zhì)點(diǎn)繞ozvk rcos

(cos)(w'cos)此處和 分別為緯度和經(jīng)度，和分別為質(zhì)點(diǎn)位置經(jīng)度和緯度的變化率 ，已知0(vtx)，求質(zhì)點(diǎn)的速度分布，設(shè)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的速度為v0。說(shuō)明uxvyxu=x，那么，其y分量v的函數(shù)形式是什么形式？答d 不可壓即 ，定常即 v 則vu2axb cc則

v

y0,v xuRekbcos(ka

u6(b

v

v

sin(ka

v6(a日變量下，初始t0時(shí)刻選定流體微元的位置為x0,選 日變數(shù)為s，則 (s,t) (s,t) 0 xvdv變量下，連續(xù)方：選取b(x)，水深h(x,t).取長(zhǎng)為xdbhx0d(bh)xbhd(x) bh xbhvx dvd

d(bh)bhv0d(bh)bhv0

vbhbhv0 選取長(zhǎng)為sd(s)0d()s(ds) ()v()vs ()(v)

vr2r(rdr)v(rdr)4(rdr)(r)v(r)4

t4rdr

v

vr2 dvr2 ，即 若流體不可壓縮，dt

，

選取柱坐標(biāo)系，則由題意知v0(rvr)(v)(vz)0(rvr)(vz)則 選取柱坐標(biāo)系，則由題意知vr0,vz0(rvr)(v)(vz)0(v)則 又v()所以 選取柱坐標(biāo)系，則由題意知vr0(rvr)(v)(vz)0(v)(vz)則 (rv

k v0 r

0 ) vkcos r 速度大小 r

kcoscr2,'選取球坐標(biāo)系（r,',z， (v)0

(sin'v '(v) rsin rsinvr0

v

r,

rsin'',' cos(cos

('cos v0(r2vr)(sinv)(v) r r r

(r2vr)(v r r 0'(vtx)vu'(vtx)(vt v '(vtue(vtx)v(vtuvcvve'(vt又x=0時(shí) 由題意v20，所以為可壓縮流動(dòng)。v0vyc。習(xí)題 題ukyv0,w0，試求流體微團(tuán)的膨脹速度，和轉(zhuǎn)t0時(shí)刻組成小球222R2dt時(shí)間后必然構(gòu)成橢球x-yx-zy-z三個(gè)坐標(biāo)面上的正方形對(duì)角線的相對(duì)伸長(zhǎng)速度。

uax2vkx b)vky c)vky d)vaybsinux2y2xv2xyy，證明其代表一不可壓流場(chǎng)，并且是無(wú)OZucyvcwc流體質(zhì)點(diǎn)的速度與質(zhì)點(diǎn)到OX軸的距離成正比，并且與OX軸平行xy x2y2dss 答

kv 2 2 3因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)無(wú)旋，所以只有變形張量 假設(shè)某流體質(zhì)點(diǎn)t0時(shí)刻相對(duì)于球心坐標(biāo)為（,,）t時(shí)刻其坐標(biāo)為（',','）,(32)dt 22(3

1)dt (',',' 2 (',','(21)dt (',','

2 2 勻變形運(yùn)動(dòng)，即變形張量

3是常矩陣，不隨空間位置變化，假設(shè)t時(shí)刻其坐標(biāo)為（xyzx(x

y2z)dt 2

(3xy

1z)dtyy x(x',y',z'

y(x',y',z'(2x1yz)dtzz

3 2 0

M'(x3ydt,y3， '(3ydt)2(3xdt) '

OMOM 3(ydt)(ydt)2。 n krer，則： kr n n則 v(krezrer)kr nvvuv0，不可壓 ，無(wú)旋；速度勢(shì)kxyvvu k(x2y2v2k，可壓 ，無(wú)旋，速度 vvu k(x2y2v0，不可壓 ，無(wú)旋；速度 vvuv2ax3bx2abcosy0ax3bx4ay2

bcos。vuv2x1(2x1) vvu2y(2y) yx3x2y2y

vrv2ky2z2y2z2v

v j k

y2z2。 x2y2cvyixja xi

，則流線為 y2 2 v i(x2y2

(x2y2)2j(2yy'2xx')(x2y2)22(x2y2)(x2y2)(2yy'2xx)(x2y2 (2xy'2yx')(x2y2)24xy(x2y2)(2yy'2xx)(x2y2 流體不可壓縮并且流動(dòng)空間單連通，取體積微元， v v 習(xí)題五量綱分析和相似理論題 降為p。管中的平均流速U，管的半徑a有關(guān)。試由量綱分析原理推出管中體積流量Q如何隨Uap和l變化。2．.積流量Q與那些量有什么無(wú)量綱關(guān)系。又若已知來(lái)流速度為VHh與什么無(wú)量HHh在很低雷諾數(shù)下,Stokes方程組:V0,p2V, Lf(, V物 LL上V0，在無(wú)窮遠(yuǎn) (沿x軸方向)。試用量綱分析論證280：1，設(shè)真實(shí)stormwave1.524m9.144m/s，那么模型答

Q1 先確定Uapl的關(guān)系。設(shè)Uf(apl[U][a][][p/將[p/l]ML2T2，[aL[ULT1，[ML1T11100基本量綱可得 ，解Q1a2U

2,1,

Ua2 2

Qf1(a,,p,l為基本物理量，將Q、a3[Q][][p]由于[QL3T1，[pML1T2，[[p]TML1T12

，解得

，

.即[Q[]1[p][l]3因此Q/(l3p/)構(gòu)成一個(gè)無(wú)量綱量。顯然al是另外一個(gè)無(wú)量綱量，于是 fl3p/

2(l)現(xiàn)在，本題前半部分條件p/l與lQa4(p/ l4 a

4p/ )(a

2(l

a( ) f

(lQ不應(yīng)與l(關(guān)?，F(xiàn)在已知p/l與l無(wú)關(guān)，則必有3l)C(常數(shù))，QC(p解：按題意，QVH，且Qp0無(wú)關(guān)（ppp0p0將不在問(wèn)題中出現(xiàn)；p0只影響靜壓分布。設(shè)Qf1(H,hgg是重力加速度。取h為基本量，由定理，無(wú)量綱流量Q是5－3＝2個(gè)無(wú)量綱量的函數(shù)。列出[QL2T1；[HL；[ML3；[ML1T1；[gLT2。不難知道Q的無(wú)量綱量是Q/(/gg/((h)2h，因此 f(,/ 其中1H/h2g/((h)2h)Qf(H,Re22 V V VRe Fr其 gh分別是雷諾數(shù) 由于QVH，由(*)HH H f ) f(Re, Re2 H當(dāng)然，已知V時(shí)，(**)也可以通過(guò)設(shè)此處從略

f

,,,g

用量綱分析法得到. f(H, ) Fr 1 H f(H Fr)Hf Fr 1 解：從Stokes方程組和邊界條件可知，繞流物體的速度場(chǎng)V(x,y,z)只與物體形狀、和V有關(guān)，由此可知阻力FF(L,V。由量綱分析，總物理量個(gè)數(shù)n4 立物理量(基本物理量)個(gè)數(shù)r3。其中L,VVL，F(xiàn)CVL，其中C是只與物體形狀有關(guān)的常數(shù)。因此，在很低的雷諾數(shù)下，物體L1Re

U

L1 1研究摩阻時(shí)，相似準(zhǔn)則為e數(shù) V

1EP12St V

V 一：P232方程

，不計(jì)重力F F

U

U2

280m/重力波，要求r相等 wVw g

1 t z 特征量周期 T H；波速c，ww/c及ppcH V

wgH 無(wú)量綱化方程：cT c StH

c

O(特征慣性力特征重力。題22xtan2tycot2t22a 如果將C端開放，試證明在開啟的瞬間，垂直管 中的壓強(qiáng)減少一半（AB=BC已知流體靜止時(shí)液面的高度為h，圓柱半徑為a，不計(jì)大氣壓強(qiáng)，試求：

4-設(shè)某流動(dòng)的速度勢(shì)在柱坐標(biāo)系下可以表示為kr為無(wú)窮遠(yuǎn)處，水面高為h，試求自由表面的方程式。AB4-

截面均勻的垂直細(xì)管在下端分為水平的兩個(gè)小管BC和CD，其截面積并使液體在垂直管中的高度為a。當(dāng)兩x和yXxyYxyd1( p12x2y21x22()xyy2 已知角速度僅為時(shí)間t的函數(shù)，且，，，在流體內(nèi)部突然形成了一個(gè)半徑為a的球形空穴，假定流體為不可壓縮并且充滿整個(gè))Boyle定律pk)2t

x

[(v

k)v為速度，x試 觀點(diǎn)出發(fā)，對(duì)于小微元推導(dǎo)平面輻射流動(dòng)[VRVRR方向)的運(yùn)動(dòng)方程(應(yīng)力形式)

VVz0]在直角坐標(biāo)系(x,y,z)下，均質(zhì)不可壓縮流體定常運(yùn)動(dòng)的速度為uay,v0，w0(a是常數(shù))，流體內(nèi)能U和溫度T只是y的函數(shù)。設(shè)流體粘度等于常數(shù)，熱傳導(dǎo)系數(shù)kk(T)，質(zhì)量力只考慮重力g(沿z方向)，無(wú)其它熱源(q0)。試從 流體（粘度為常數(shù)t0時(shí)刻此平板突然以常速度U沿板面某一方向滑移。假設(shè)半空間答f(x,y,t)x2tan2ty

ta

fVf

a2

y+b2

VwnVn

Vf

f(x,y,t)(xu0t)2/a2y2/b2(uu0)(xu0t)2vy故 a V2p （R=（t 效應(yīng)

4R2R/4r2VV

r

R2Rrp1(R2R/)2R2R//2RR/

r2 r時(shí)，p0c(t)0（略大氣壓。R(RR//2R/2 p 當(dāng)r較大時(shí)，略r4 22

dl0v0p

drv

pr v

r p

2r

drv r2帶入得p(c2(t)c'(t))c'(t)2r d2vdl

0

g(H)1 2HvgHdv1 v(HZ)pg(HZ)0p1g(HZ

0p

g(HX。

vgH 0vHgH

0vH同理，對(duì)水平段在水平方向有 02Hv v1

p

dp1g dp1g H1，H2，H1H22Hdvg1pp(dvg)(zH豎直段 1dv1p/p/ dt(H2水平段：pp/2HdvgH

d2 11

1 H1VdH1 1

dt

H gdvg 1H1 v

rvr0vz0v2v

kr3F r1p r 1

dp(k2drr

kg

p

2r

gz k2gz

zhk2r時(shí)zh，則有cp 2r t時(shí)刻液柱在OOx0x，設(shè)截面積為一個(gè)單位。另取固定在液柱上的坐標(biāo)系，在此坐標(biāo)系下液柱內(nèi)任意質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為x，設(shè)F=-kx。Xld2xlkx0xA

x0lkxdxx0 0d

ktd2xdt

k(xx)

xxd2其 dt2是t的函數(shù)，與x無(wú)關(guān)。積分得 d2x x

dt2d2x 2)C1

2 dt2

2k xl

p0C1k

p1k(l2 d2x 1kx

Akcos(kt0)（取0pAkx

kt1kx2積分得： pAk(xx)coskt

k(x0x)22

ktx2)xl,p0C（t）1k(l2A22

kt)p1k(l2 VagzVdz,VVd2zgz za ga設(shè)z方向長(zhǎng)為一個(gè)單位。R2yRR2yR2y

R

(xiyj)(xy)i(x

j

(

(2y2)32

R2

2 ()R4I (I1R42

1()xxax2 ax2

8a arcsin8a

ax2ax28

a

c

88c

XiYj r2 1Pxyx21r 1Pxyy21r 1dp1pdx1pdy1dx2y2xy12dx2 p1x2y21x2y2 12．tR（t）表面收縮速度vR(tR(t。 R2t4r2vr,t4RtRtvr,t r在1Bernoulli1V

dl

2,

R2RRdR p R R

R

lnR

dR dR，積分得： clna3由t=0時(shí)，Ra,R0， 33a32 3R

5 tdt 6 13dV dV1

pVV

V

t

t 22V

VVVVVVpx t x x 2 V2p2 V x

x

解：取一柱形微元體ABCD-ABCD 控制體，其體積為RdRddz。點(diǎn)處速度為VReR，密度為FpRppz流經(jīng)徑向控制面AABB和與之相對(duì)的DDCC面元的動(dòng)量遷移而產(chǎn)生。在AABB面上

VRVReRRdCCB VV

Rddz(VRVReRRddz) R (V2Re RddzR(V2Re (VeR RddzdR ddz (6-15-FRRdRd (6-15-pRRd作用在與之相對(duì)的DDCC面元上的面力pRddz(pRRd 因此作用在AABB和DDCC面元上的面力 RddzpRddz(pRRddz)(pRR)d pRpR.同理，作用在ADDABCCBpdR作用在ABCD和ABCD上的面力合力pzRd(pRR)ddzpdRdzpzRddz[(pRR)pRpz]ddR [(pRR)pRpz]ddR [(eRpRR)(eRp)eRp

)]ddR [(pRRR)pRR(pzR)p]ddR (6-15-式亦可這樣得到：直接計(jì)算作用在微元體各個(gè)面上的表面力的R

p PPpp PPp pzR]dzRdRd[(pRRR)pRRpzR]dRd

pR方向的合力，用幾何方法不難算出此合力為pdRdz(p高階小量 (V 1( 1 FR R zR R (6-15-注意到單位時(shí)間內(nèi)流入、流出面元AABB和DDCC的流體質(zhì)量應(yīng)相等(定常流動(dòng))，可(VRR)VR

(VRR)

RVR]

VVR

1(pRRR)

R

R

單位時(shí)間作用在小微元上的體力作用在小微元上的面力穿過(guò) 上式已考慮到了流場(chǎng)內(nèi)無(wú)其它熱源的條件(q0)。因?yàn)榱鲃?dòng)定常，I

u U ， II

(V)uxv wzayx0作用在微元上的體力只有重力，于是IIIgdxdydzv0；IV=(pxdydzv)dx(pydxdzv)dy(pzdxdyv) ((pxv)(pyv)(pz ppi jpk(p2u)i(uv)j(wu)kpi ppi jpk(uv)i(p2v)j(wu)kai ppi jpk(wu)i(wv)j(p2w)k IVayp(kT (kT (kTV dx dy dzd[k(T)dT I、II、III、IVV各項(xiàng)中消去dxdydzd[k(T)dT]aypa2 注意到如果列出x方向的動(dòng)量方程，可得(u2)pxxpyx 0p(a)p d[k(T)dT]a2 zA C' U解：(1)令直角坐標(biāo)系Oxyz的Oxz坐標(biāo)平面在平板上，x軸方向沿平板的滑動(dòng)方向(即U的方向)，y軸垂直于平板(如圖所示)由于流體不可壓縮，應(yīng)力張量為PpI2S.根據(jù)假設(shè)，流動(dòng)速度場(chǎng)為 1/2u/ S1/2u/

0 0V(u(y,t),0,

u/ 0 Pu/ 0

微元系統(tǒng) 方向動(dòng)量變xx方向的運(yùn)動(dòng)方程 微元系統(tǒng) 方向動(dòng)量變=

(u) (u)dxdydz恒，

u (uu) (u)這樣微元系統(tǒng)總的動(dòng)量變化率為控制體內(nèi)的動(dòng)量變化率(u)dxdydzu化率為 為常數(shù)

x微元系統(tǒng)所受x方向的面力可分ABCDABCDBCCBADDA以及(pxxdydz)AABB和CDDC三對(duì)面元來(lái)計(jì)算.各對(duì)的x方向面力凈合力分別 (pyxdxdz)

(pzxdxdy) x

(

pzx 根據(jù)(2)中得到的結(jié)果，pxxp

y；pzx ，合力可化為 (利用壓強(qiáng)均勻和處處為常數(shù)的條件)。初始條件：uy,0)

u 邊界條件：t0u(0,tUu(00.其中U習(xí)題 理想流體動(dòng)力學(xué)方程的積題絕熱氣體（pk） pV2

1沿管子為常值。式中v為流體的流速，p、分別表示壓強(qiáng)和密度。如果沿流動(dòng)方向管pk，氣體通過(guò)一細(xì)導(dǎo)管流出一大的密閉容器。已知容器內(nèi)的壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)p0n倍。不考慮容器內(nèi)流體的勢(shì)能，證明流出的速度V由下式給出： 1 V2 n 式中速度和流體表面的高度，當(dāng)V2ghh將隨溝渠寬度的增加而增加，而流速 為1c1、2c2 間M的動(dòng)能可寫為：2 c2直徑為15cm，求5-

CA=AB=h(t=0)及打開開關(guān)后(t>0)壓強(qiáng)勻速地將水注入直立的圓柱形盆內(nèi)，注入流量為q=15cm3/s。盆底有一極小的孔，其截面積為s=0.5cm2，問(wèn)盆中水面保持多大的高度。xC（h＜c3運(yùn)動(dòng)時(shí)是等溫壓縮的，求XxCC圖5- 答1V1S12V2S2S1S2

2V2

(V)即， VX BernoulliEq.XV K

V

K2

，代入（7-1-1） 2 (V2p)0 V2BernoulliEqp

V/XV/X np0V2于是有：1 n D ，

(hV)

V2gh

V

gh V2)

X(h

dT1V2x方向，截面s V

，ddT1sx1 x ，其中VsM（流量 1M1M( 1Bernoulli V V V 11 2 2gy y

h V3 3p2p0gyV223當(dāng)p2等于此時(shí)的流體溫度對(duì)應(yīng)的飽和蒸汽壓ppV2 y

7.t0時(shí)刻，ABCAX2h，水平管很長(zhǎng)，在所研究的時(shí)間段內(nèi)水d

dt

gl。t0,l(0)h并設(shè)t時(shí)流體全部流出斜管，即l()0l sin

sin[(V(t)

2gsin 再利用流 dt和V(0)0可解 2

V(ly)

p0p(y)g(ly)sin0p( V(2hlx)p(x)p00 當(dāng)t時(shí)，水平管內(nèi)壓強(qiáng)為p0設(shè)盆中水面高度為H，則小孔出流速度 q ，由此可得H氣體初始?jí)簭?qiáng)和體積分別為：pwgh, V0CS（w代表水的密度，Ｓ為截面積。等溫壓縮：pp0C(CX)。dd()pS T dt，其中T和Vd(T~CwghSdxT~CghSln(Cx)

V c (Cx)Cxx ~

hc C

C

2Cx2

~wghcVx0,T0,

C/2

TSgCx2ChlnCxZ4.14.1.x

w

水上升達(dá)到最大高度時(shí)，T0xmax C 2 3

Cxmax

Ch

max OLagrangian

設(shè)連通細(xì)管長(zhǎng)L，截面積S0，在14間建立4 V2V p dl 1 1g(zz)1 V(CSL) p g(C2x) S w(CVV(t)VdVdVdxV dx dxV22

CSL/S

ghC

x)g(Cx

x2)

ｔ=0x0,V=0c1ghClnC，再令V=0xmax。習(xí)題 理想流體勢(shì)流問(wèn)題（a）φ=

ψ=－

試寫出復(fù)勢(shì)W=W(z)的表達(dá)式。設(shè)WAz2 z zrei1z11和z20.5兩點(diǎn)象限內(nèi)流體運(yùn)動(dòng)的復(fù)勢(shì)以及極坐標(biāo)系下的流線方程，并求在z=1點(diǎn)的速度值。設(shè)半徑為a的圓外有一源m和匯(m)，在極坐標(biāo)系下，它們分別位于(r1,0)和(r2,)處，求流場(chǎng)的復(fù)勢(shì)，并研究且r1r2的情況aVp0的均勻水流中，試求作用在0到2之間的柱體上的作用力。式中0指向上游。VVm的源分別在(-a，0)(a，0)2m的匯在原點(diǎn)，證明x2y22a2x2y2xy；V 設(shè)在(-a，0)(a，0)m(0，a)和(0，-a)點(diǎn)有相同強(qiáng)度的匯，q 。r8a82r4a4cos41/。RbRa以常速度Ux 動(dòng)，速度為u(t)，求流體對(duì)圓柱的慣性阻力，并寫出該圓柱體的運(yùn)動(dòng)半徑為a和b的兩球面間充滿密度為的理想不可壓縮流體(bax軸以速度U(t平移，某一瞬時(shí)恰好兩球面同心。若流體運(yùn)動(dòng)無(wú)旋，試答w(z)iLn b)w(z)2xyi(x2y2

m 2

mcw(z)

mLnr

mc(r) t0(v)0

vr2Arcos

wAz

dv cos

(vr

vrv 2Arsin e[4A2r(cos2)28A2r(sin2)2][4A2rsin2cos28A2rsin2coser

]

w(z) 2(zz0)

w'(z) 2(zz0)a

a2e 2w'(z)

) a

z

zF

'a

F za2F

a

zF

zF'可見偶的像的強(qiáng)度與其自身強(qiáng)度之比為

F2w(z)m

z2 )mln(z1)mln(z1)mln處強(qiáng)度為m的一個(gè)點(diǎn)匯(或源)Im(w)mx2yy3

x3xy2xx2y2

x2yy3 x2y

x2yy3i))marctanxy2x3

xy2x3x

x2yy3yC(xy2x3x

;Re(w)mRe(ln(x3xy2xx2yy3yx2 x2 x3xy2x2x2yy3y2 mx2zi

z21Q(0,1) 2

0)2w

m[ln(z1i)lnz]w

z1i)

mlnx2y2xyi2xyxy mlnAim

x2 2xyx 2xyx其 x2y2xy，則流線 x2y2xy=constdwm

1)

(i1)v

(1當(dāng)z=1時(shí)

z

（0，bwmln(zbi)(zbi)

vm( 2zbi zbiv

x2b2

xb或

v

2b pp2v邊界上pp2((x2b2))當(dāng)xb或b時(shí),pminp82b2 1

m2 x

F

vdx2

(x2b2)2dx。11．設(shè)一圓柱半徑為affa處放置強(qiáng)度為2m的偶極子，取通過(guò)圓柱中心和偶極子連線的直線為x軸。由圓定理，流場(chǎng)復(fù)位勢(shì)為。w(z) z a2/z

z a2Ri

dw)2dz

i

ma 2)22 ra ra(zf (a2

2mma2/f

m2a4/f2ra[(zf)4(zf)2(za2/f

(za2/f)4ra(zf

dz0; dz0;(za2/f)4 2 2 2dz2i 2)ra(zf)(za/f za2/fdz(zf (faR

4m2a2(f4m2a2w(z)mln(zr)mln(zr

wv(z

z)dzv(1z2

)

r1 r2e) dw 柱面上（）4vsinv

pp0

(vv2 2 0p02v(14sin)Fpad0 60Fxpcosadap0 60FFpsinadap6

(x2y2)2a2(x2y2w ln(za) ln(z) ln(1 ) )

(x2y2arctg 1(x2y2)2a2(x2y2xy)(x2y2)2a2(x2y2 wmln(za)mln(za)2mln m2(zam2(za)(zz

m'其 z2w ln(za)(za) ln(zai)(zai)

z2上w(z)

lne2i

mlnsinmln在za的 e2i 或marctgsin 或流線2 044。x軸：zx（除原點(diǎn)外，Imw(z)0y軸：ziy（除原點(diǎn)外，Imw(z)0

0zz2 zz2z z (r8a82r(r8a82r4a4cosm'其 2從圓外之渦與其兩個(gè)像點(diǎn)形成的流動(dòng)w1(z)w2(z)w(z)w1(z)w2 w1(z)2iln(zb)2iln(z2w(z)22w(z)ln(zb)ln(za22 2 a (xb)(xb')y2iy(2xbb' adz 2iz z

2) '2 (bb)[(xb)y][(xb)y] 2ib uiv[(2xbb)i((xb)(xb)y

(bb'2[(xb)2y2][(xb')2y2解：該問(wèn)題流體速度場(chǎng)的邊界條件是：tt0時(shí)，VnRb0；VnRaUnRaVn由于是雙連通域，還應(yīng)提速度環(huán)量或流量條件。利 R(V 1 ds RdW的已知關(guān)系和Re(W(z，Im(W(z可得t

aR

0

R

U

U2( d aa

b1速度勢(shì)提法流函數(shù)提法

或提通量條件：

(

)0dr 1 R

aR0=

可取為1R

U

Ucos

Uasin給定穿過(guò)區(qū)域分隔線0