平面與空間向量

平面與空間向量第1頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)1.向量的有關(guān)概念

(1)既有大小又有方向的量叫向量，長度為0的向量叫零向量，長度為1個單位長的向量，叫單位向量.(2)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量.規(guī)定零向量與任一向量平行.(3)長度相等且方向相同的向量叫相等向量.2.向量的加法與減法

(1)求兩個向量和的運(yùn)算，叫向量的加法，向量加法按平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行.加法滿足交換律和結(jié)合律.(2)求兩個向量差的運(yùn)算，叫向量的減法.作法是連結(jié)兩向量的終點(diǎn)，方向指向被減向量.第2頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一課前熱身1BC1.已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，則|2a-b|=_____.

2.如果AB=a,CD=b，則a=b是四點(diǎn)A、B、D、C構(gòu)成平行四邊形的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件3.a與b為非零向量，|a+b|=|a-b|成立的充要條件是()(A)a=b(B)a∥b(C)a⊥b(D)|a|=|b|第3頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一CB4.下列算式中不正確的是()(A)AB+BC+CA=0

(B)AB-AC=BC(C)0·AB=0

(D)λ(μa)=(λμ)a

5.已知正方形ABCD邊長為1，AB=a,BC=b,AC=c,則a+b+c的模等于()(A)0(B)3(C)22(D)2第4頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一能力·思維·方法【解題回顧】本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念.向量的基本概念較多，因而容易遺忘.為此，復(fù)習(xí)時(shí)一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想.引導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上加以記憶.1.給出下列命題：①若|a|=|b|，則a=b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則AB=DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a=b,b=c，則a=c；④a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b；⑤若a∥b,b∥c，則a∥c.其中，正確命題的序號是______②，③第5頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一【解題回顧】解法1系應(yīng)用向量加、減法的定義直接求解；解法2則運(yùn)用了求解含有未知向量x,y的方程組的方法2.在平行四邊形ABCD中，設(shè)對角線AC=a,BD=b，試用a,b表示AB，BC.第6頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一3.如果M是線段AB的中點(diǎn)，求證：對于任意一點(diǎn)O，有

OM=(OA+OB)第7頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一第8頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一【解題回顧】選用本例的意圖有二，其一，復(fù)習(xí)向量加法的平行四邊形法則，向量減法的三角形法則；其二，向量內(nèi)容中蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想，如模型思想、形數(shù)結(jié)合思想、分類討論思想、對應(yīng)思想、化歸思想等，復(fù)習(xí)中要注意梳理和領(lǐng)悟.本例深刻蘊(yùn)涵了形數(shù)結(jié)合思想與分類討論思想.第9頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一【解題回顧】(1)以上證明實(shí)際上給出了所證不等式的幾何解釋；(2)注意本題證明中所涉獵的分類討論思想、化歸思想.4.對任意非零向量a,b，求證：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

【解題回顧】充分利用等腰直角三角形這兩個條件，轉(zhuǎn)化為|AB|=|BC|，AB⊥BC延伸·拓展5.在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°,AB=(1，3)，分別求向量BC、AC第10頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一誤解分析2.需要分類討論的問題一定要層次清楚，不重復(fù)，不遺漏.1.在向量的有關(guān)習(xí)題中，零向量常被忽略(如能力·思維·方法1.⑤中)，從而導(dǎo)致錯誤第11頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一第2節(jié)實(shí)數(shù)與向量的積第12頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)2共線定理.向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù)λ，使得b=λa1.實(shí)數(shù)與向量的積的概念.(1)實(shí)數(shù)λ與向量a的積記作λa，其長度|λa|=|λ||a|；方向規(guī)定如下：當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0.(2)設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，則有如下運(yùn)算律：λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb3.平面向量基本定理如果e1、e2是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2,其中e1，e2叫基底.第13頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一1.設(shè)命題p：向量b與a共線，命題q:有且只有一個實(shí)數(shù)λ，使得b=λa,則p是q的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分又不必要條件2.給出下列命題：①若a,b共線且|a|=|b|，則(a-b)∥(a+b)；②已知a=2e,b=3e，則a=3b/2；③若a=e1-e2

,b=-3e1+3e2，且e1≠e2，則|a|=3|b|；④在△ABC中，AD是BC上的中線，則AB+AC=2AD其中，正確命題的序號是___________3.(1)在平行四邊形ABCD中，AB=a,AD=b,那么用a和b表示向量AC+DB為()(2)已知平行四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)E，設(shè)AB=e1，AD=e2，則用e1,e2表示ED的表達(dá)式為()(A)2a(B)2b(C)0

(D)a+b

課前熱身B①，④AB第14頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一D

4.平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3，1)，B(-1，3)，若點(diǎn)C滿足OC=αOA+βOB，其中a、β∈R，且α+β=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為()(A)3x+2y-11=0(B)(x-1)2+(y-2)2=5(C)2x-y=0(D)x+2y-5=05.設(shè)P、Q是四邊形ABCD對角線AC、BD中點(diǎn)，BC=a,DA=b，則PQ=_____________第15頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一能力·思維·方法

1.已知AB=2e1+ke2,BC=e1+e2,CD=e1-2e2,其中e1,e2不共線，(1)若A、B、C三點(diǎn)共線，求k值；(2)若A、B、D三點(diǎn)共線，求k值.【解題回顧】可利用向量共線的充要條件證明幾何中的三點(diǎn)共線問題.第16頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一2.設(shè)△ABC的重心為G，點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，求證：

OG=(OA+OB+OC)

【解題回顧】當(dāng)點(diǎn)O是△ABC重心時(shí)，有OA+OB+OC=0；反過來，若P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且PA+PB+PC=0，則P必為△ABC的重心.事實(shí)上，由PA+PB+PC=0得：(OA-OP)+(OB-OP)+(OC-OP)=0，所以O(shè)P=(OA+OB+OC)，故P是△ABC的重心3.已知OA、OB不共線，設(shè)OP=aOA+bOB，求證：A、P、B三點(diǎn)共線的充要條件是a+b=1.

【解題回顧】由本題證明過程可知，若P是AB中點(diǎn)，則有OP=(OA+OB).利用本題結(jié)論，可解決一些幾何問題.第17頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一4.E是□ABCD的邊AB上一點(diǎn)，AE/EB=1/2，DE與對角線AC交于F，求AF/FC.(用向量知識解答)

【解題回顧】利用例3結(jié)論，本題還可這樣：設(shè)AE=e1，AD=e2，∵D、F、E共線，∴可設(shè)AF=λe1+(1-λ)e2，又易知AC=3e1+e2根據(jù)A、F、C三點(diǎn)共線可得λ=3/4，故AF/FC=1/3.另外還可以用坐標(biāo)運(yùn)算的方法來解，略.

第18頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一延伸·拓展5.如圖，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的中點(diǎn)，且BC=3AD，設(shè)BA=a,BC=b，以a,b為基底表示EF，DF，CD.

【解題回顧】本題實(shí)際上是平面向量的基本定理的應(yīng)用.由于BA與BC是不共線的兩個向量，因此平面上的任何一個向量都可以用它們表示出來.

第19頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一誤解分析1.很多人認(rèn)為“若a∥b，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使b＝λa.”這是典型錯誤.事實(shí)上，它成立的前提是a≠0.同樣，在向量基本定理中，若e1，e2是共線向量，則不能用e1，e2表示與它們不共線的向量.2.在能力·思維·方法3中，充要條件的證明極易混亂，一定要分清條件和結(jié)論.另外，向量上的箭頭不要丟掉，如把0寫成了0.

第20頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一第3節(jié)

平面向量的坐標(biāo)表示第21頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)1.平面向量的坐標(biāo)表示(1)a＝(x，y)叫向量的坐標(biāo)表示，其中x叫a在x軸上的坐標(biāo)，y叫a在y軸上的坐標(biāo).(2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R.則a+b＝(x1+x2，y1+y2)，a-b＝(x1-x2，y1-y2)，λa＝(λx1，λy1)(3)a∥b(b≠0)的充要條件是x1y2-x2y1＝0第22頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一2.線段的定比分點(diǎn)(1)定義：設(shè)P1、P2是直線l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是l上不同于P1、P2的任一點(diǎn)，則存在一個實(shí)數(shù)λ，使P1P＝λPP2，λ叫點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比，點(diǎn)P叫定比分點(diǎn).(2)公式：設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P＝λPP2，則當(dāng)λ＝1時(shí)，為中點(diǎn)坐標(biāo)公式.3.平移設(shè)原坐標(biāo)P(x，y)按向量a(h，k)平移后得到新坐標(biāo)則第23頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一1.設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)是不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)由公式確定.當(dāng)λ∈R且λ≠-1時(shí)有()(A)P表示直線AB上的所有點(diǎn)(B)P表示直線AB上除去A的所有點(diǎn)(C)P表示直線AB上除去B的所有點(diǎn)(D)P表示直線AB上除去A、B的所有點(diǎn)課前熱身C2.若對n個向量a1、a2、…、an，存在n個不全為零的實(shí)數(shù)k1、k2、…、kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，則稱向量a1、a2、…、an為“線性相關(guān)”，依此規(guī)定，能使a1=(1,0)，a2=(1,-1)，a3=(2,2)“線性相關(guān)”的實(shí)數(shù)k1、k2、k3依次可取的值是___________(寫出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況)

-4，2，1第24頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一3.三點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)共線的充要條件是()(A)x1y2-x2y1＝0(B)(x2-x1)(x3-x1)＝(y2-y1)(y3-y1)(C)(x2-x1)(y3-y1)＝(x3-x1)(y2-y1)(D)x1y3-x3y1＝0

CB4.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，則c等于(

)5.函數(shù)y=x2的圖象按向量a=(2,1)平移后得到的圖象的函數(shù)表達(dá)式為()(A)y=(x-2)2-1(B)y=(x+2)2-1(C)y=(x-2)2+1(D)y=(x+2)2+1

C第25頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一能力·思維·方法【解題回顧】任何兩個不共線的向量都可作為基底，i＝(1，0)，j＝(0，1)分別是直角坐標(biāo)系橫、縱兩個方向的單位向量，用i、j表示向量時(shí)，xi+yj中的x、y是惟一的，即為向量的(直角)坐標(biāo).兩個向量用坐標(biāo)表示時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量橫、縱坐標(biāo)分別相等時(shí)，兩個向量相等.1.設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，分別按下列條件，用xa+yb的形式表示c.(1)若給定a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(-3，-5)；(2)若給定a＝(5，2)，b＝(-4，3)，c＝(-3，-5).第26頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一【解題回顧】設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，則a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.用坐標(biāo)形式來表示就是a∥b<=>x1y2-x2y1＝0.而x1/x2＝y(tǒng)1/y2是a∥b的充分不必要條件.2.已知在梯形ABCD中，AB∥CD，A(1，1)，B(3，-2)，C(-3，-7)，若AD∥(BC-2AB)，求D點(diǎn)坐標(biāo).3.已知三點(diǎn)A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在線段AB上取一點(diǎn)P，過P作直線與BC平行交AC于Q，△APQ與梯形PQCB的面積之比是4∶5，求點(diǎn)P的坐標(biāo).第27頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一【解題回顧】一般地，函數(shù)y＝f(ωx)的圖象按a＝(h，k)平移后所得圖象的解析式為y-k＝f[ω(x-h)]，即y＝f[ω(x-h)]+k.4.若函數(shù)y＝log2(2x-4)+1的圖象按a平移后圖象的解析式為y＝log22x，求a.第28頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一延伸·拓展【解題回顧】本題(2)是一道開放題，求解開放題的一般途徑是假定命題成立.解出存在的值(如無解，則不存在)，再驗(yàn)證求出的解，如不矛盾，則存在.5.已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP＝OA+tAB，試問：(1)t為何值時(shí)，P在x軸上?在y軸上?P在第二象限?(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形?若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由.第29頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一1.利用定比分點(diǎn)解題時(shí)，一定要先把定比λ先明確，λ的意義是起點(diǎn)到分點(diǎn)的數(shù)量除以分點(diǎn)到終點(diǎn)的數(shù)量，不能算錯.誤解分析2.利用平移公式解題時(shí)，一定要分清原坐標(biāo)與新坐標(biāo)之間關(guān)系.第30頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一第4節(jié)

平面向量的數(shù)量積第31頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)2.平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

(1)a·b＝b·a(2)(λa)·b＝λ·(a·b)＝a·(λ·b)(3)(a+b)·c＝a·c+b·c

1.平面向量的數(shù)量積的定義

(1)設(shè)兩個非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB＝θ叫a與b的夾角，其范圍是[0，π]，|b|cosθ叫b在a上的投影.(2)|a||b|cosθ叫a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.(3)幾何意義是：a·b等于|a|與b在a方向上的投影|b|cosθ的積.

第32頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一3.平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b是非零向量，e是單位向量，θ是a與e的夾角，則(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ(2)a⊥ba·b＝0(3)a·b＝±|a|·|b|(a與b同向取正，反向取負(fù))(4)a·a＝|a|2或|a|＝√a·a(5)(6)|a·b|≤|a||b|第33頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一4.平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示

(1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2+y1y2，|a|2＝x21+y21，|a|＝√x21+y21，a⊥b<=>x1x2+y1y2＝0(2)(3)設(shè)a起點(diǎn)(x1，y1)，終點(diǎn)(x2，y2)則第34頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一1.若向量a、b的坐標(biāo)滿足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3)，則a·b等于()(A)-5(B)5(C)7(D)-12.若a、b、c是非零的平面向量，其中任意兩個向量都不共線，則()(A)(a)2·(b)2=(a·b)2(B)|a+b|＞|a-b|(C)(a·b)·c-(b·c)·a與b垂直(D)(a·b)·c-(b·c)·a=0

3.設(shè)有非零向量a,b,c，則以下四個結(jié)論(1)a·(b+c)=a·b+a·c；(2)a·(b·c)=(a·b)·c;(3)a=ba·c=b·c；(4)a·b=a·b.其中正確的是()(A)(1)、(3)(B)(2)、(3)(C)(1)、(4)(D)(2)、(4)課前熱身ACA第35頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一4.設(shè)a=(1,0),b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，則實(shí)數(shù)λ的值是()(A)2(B)0(C)1(D)-1/25.已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·(b/5)＝-36，則a與b的夾角是()(A)60°(B)120°(C)135°(D)150°DB第36頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一能力·思維·方法【解題回顧】利用夾角公式待定n，利用垂直充要條件求c.1.已知a=(1,2),b=(-2,n)，a與b的夾角是45°(1)求b；(2)若c與b同向，且c-a與a垂直，求c第37頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一2.已知x＝a+b，y＝2a+b且|a|＝|b|＝1，a⊥b.(1)求|x|及|y|；(2)求x、y的夾角.【解題回顧】(1)向量模的計(jì)算方法常用的有兩種，一是用距離公式，一是用a2＝|a|2把模的問題轉(zhuǎn)化為平面向量的數(shù)量積的問題.(2)向量夾角的取值范圍是[0，π].第38頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一【解題回顧】本題中，通過建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，賦予幾何圖形有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，將有關(guān)幾何問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.應(yīng)深刻領(lǐng)悟到其中的形數(shù)結(jié)合思想.此外，題中坐標(biāo)系建立的恰當(dāng)與否很重要，它關(guān)系到運(yùn)算的繁與簡.3.如圖，P是正方形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，PECF是矩形，用向量法證明：(1)PA＝EF；(2)PA⊥EF.

第39頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一【解題回顧】這是一道關(guān)于向量與解析幾何的綜合題，解題的關(guān)鍵在于將問題合理地轉(zhuǎn)化，回避了復(fù)雜的計(jì)算.4.已知a=(x,0),b=(1,y),且(a+b)⊥(a-b).(1)求點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程C的方程.(2)若直線l:y=kx+m(m≠0)與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，D(0，1)，且有｜AD｜=｜BD｜,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.第40頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一延伸·拓展5.已知向量a=(x,x-4)，向量b=(x2,3x/2),x∈[-4，2](1)試用x表示a·b

(2)求a·b的最大值，并求此時(shí)a、b夾角的大小.【解題回顧】本題將向量與三次函數(shù)的最值問題溶于一體，考查知識的綜合應(yīng)用.第41頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一【解題回顧】(1)是用數(shù)量積給出的三角形面積公式，(2)則是用向量坐標(biāo)給出的三角形面積公式.6.在△ABC中，(1)若CA＝a，CB＝b，求證△ABC的面積(2)若CA＝(a1，a2)，CB＝(b1，b2)，求證：△ABC的面積第42頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一1．?dāng)?shù)量積作為向量的一種特殊運(yùn)算，其運(yùn)算律中結(jié)合律及消去律不成立，即a·(b·c)≠(a·b)·c，a·b＝a·c不能推出b＝c，除非是零向量.誤解分析2．a(chǎn)⊥b的充要條件不能與a∥b的充要條件混淆，夾角的范圍是[0，π]，不能記錯.求模時(shí)不要忘了開方，以上是造成不全對的主要原因.第43頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一第5節(jié)

空間向量及其運(yùn)算第44頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)1.若a、b是空間兩個非零向量，它們的夾角為θ(0≤θ≤π)，則把a(bǔ)、b的數(shù)量積定義為|a||b|cosθ，記作a·b.即a·b=|a||b|cosθ.

2.a·b=b·a，(a+b)·c=a·c+b·c3.若a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}，則

a·b=x1x2+y1y2+z1z2第45頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一1.在以下四個式子：a+b·c，a·(b·c)，a(b·c)，|a·b|=|a|·|b|中正確的有()(A)1個(B)2個(C)3個(D)0個2.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9)，如果a與b為共線向量，則()

(A)x=1,y=1(B)(C)(D)3.已知四邊形ABCD中，AB=a-2c，CD=5a+6b-8c，對角線AC，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則EF=_______________課前熱身AC3a+3b-5c第46頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一4.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，下面給出四個命題：①(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2②A1C·(A1B1-A1A)=0.③AD1與A1B的夾角為60°④此正方體體積為：|AB·AB1·AD|

則錯誤命題的序號是______(填出所有錯誤命題的序號).5.若A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，對空間任意一點(diǎn)O，存在m、n∈R，滿足OC=m·OA+n·OB，則m+n=___.③、④1第47頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一能力·思維·方法1.已知三棱錐O—ABC中，G為△ABC的重心，OA=a，OB=b，OC=c，試用a,b,c來表示OG.【解題回顧】(1)此例用到的常用結(jié)論為：若AD是△ABC的中線，則有(2)此例是常用結(jié)論即重心定理：當(dāng)OA、OB、OC兩兩垂直時(shí)，在空間直角坐標(biāo)系中，重心坐標(biāo)公式為：第48頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一2.已知正三棱錐P—ABC中，M，N分別是PA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn).求證：PG⊥BC.【解題回顧】要證PG⊥BC，只要證PG·BC=0，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)幕祝篜A，PB，PC.第49頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一3.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AC交BD于O，G為CC1中點(diǎn).求證：A1O⊥平面GBD.【解題回顧】欲證A1O⊥平面GBD，只要證A1O垂直于面BDG中兩條相交直線，易看出A1O⊥BD，而OG與A1O垂直較為易證.(注：此題亦可用空間坐標(biāo)來證明).

第50頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一4.沿著正四面體O—ABC的三條棱OA，OB，OC的方向有大小等于1，2和3的三個力f1，f2，f3，試求此三個力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦.【解題回顧】引入OA、OB、OC方向上的三個單位向量是本題得到解決的關(guān)鍵.第51頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一延伸·拓展5．已知三角形的頂點(diǎn)是A(1，-1，1)，B(2，1，-1)，C(-1，-1，-2)．試求這個三角形的面積.【解題回顧】本題實(shí)際上是給出了三角形的“向量型”面積公式.到目前為止，你一共知道多少種求三角形面積的方法呢?第52頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一誤解分析已知|a|=4，|b|=5，|a+b|=√21，求a·b．

【分析】確定兩個向量的夾角，應(yīng)將它們平移，使始點(diǎn)重合，這時(shí)這兩個向量間的夾角

才是所要求的角．本題中∠ABC不是a與b的夾角，而是-a與b的夾角(試畫圖觀察)，即a與b的夾角應(yīng)是∠ABC的補(bǔ)角，所以第53頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一第6節(jié)

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用第54頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)2.向量a與b平行的充要條件為：|a·b|=|a|·|b|.1．向量a與b夾角θ滿足：

若a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}則3.向量a與b垂直的充要條件為：

a·b=0即x1x2+y1y2+z1z2=0

第55頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一1.四面體每相對兩棱中點(diǎn)連一直線，則此三條直線()(A)互不相交(B)至多有兩條直線相交(C)三線相交于一點(diǎn)(D)兩兩相交得三個交點(diǎn)課前熱身C第56頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一2.在正方體ABCD—A1B1C1D1中棱長為a，M，N分別

為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M=AN=

a，則MN與平面

BB1C1C的位置關(guān)系是()(A)相交(B)平行(C)垂直(D)不能確定

B第57頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一3.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB為⊙O的直徑，C是圓周上的任意一點(diǎn)(但異于A和B)，則平面PBC垂直于平面_________．

PAC第58頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一4.在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成的角為()(A)arccos(B)arccos(C)arccos(D)arccosD【解題回顧】空間兩條直線之間的夾角是不超過90°的角．因此，如果按公式計(jì)算分子的數(shù)量積為一個負(fù)數(shù)，則應(yīng)當(dāng)取其絕對值，使之變?yōu)檎?，這樣求得的角為銳角，這一說明在以后很多計(jì)算問題中經(jīng)常被用到.第59頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一5．P是二面角α-AB-β棱上的一點(diǎn)，分別在α，β平面上引射線PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°，那么二面角α-AB-β的大小為()(A)60°(B)70°(C)80°(D)90°D【解題回顧】從本題解法中我們看到，在求二面角時(shí)，沒有必要一定要從棱上同一點(diǎn)出發(fā)引垂直于棱的垂線.第60頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一【解題回顧】從本題解法中我們看到，在求二面角時(shí)，沒有必要一定要從棱上同一點(diǎn)出發(fā)引垂直于棱的垂線.6．設(shè)n是平面α的單位法向量，AB是平面α的一條斜線，其中A∈α，則AB與平面α所成的角為

；B點(diǎn)到平面α的距離為_________.AB·n第61頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一能力·思維·方法【解題回顧】用向量求異面直線所成的角，可能會因?yàn)槲覀冞x擇向量方向的緣故，而求得該角的補(bǔ)角．所以最后作答時(shí)要加以確認(rèn)(取小于或等于90°的角作為異面直線所成角).

1.在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，求異面直線BD1和B1C所成角的余弦值.第62頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一【解題回顧】本題中，不失一般性，可以取OB=b=1，OC=c=1，這樣使過程更加清晰.2.三條射線OA，OB，OC，若∠BOC=α,∠COA=β,∠AOB=γ，又α二面