冪函數函數的圖象

冪函數函數的圖象第1頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一1.了解冪函數的概念.2.掌握函數：y=x,y=x2,y=x3,的圖象特征，了解它們的變化情況.3.會用基本函數圖象理解和研究函數的性質，解決方程解的個數與不等式解的問題.4.會用數形結合的思想與化歸轉化的思想解決數學問題.

第2頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一1.考綱對冪函數要求不高，只需了解冪函數的性質，掌握常見的幾種冪函數圖象即可.2.對基本函數的圖象，考綱要求以圖象為載體研究其單調性、奇偶性，能結合圖象比較函數值的大小，利用圖象解一些簡單的方程、不等式.第3頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一3.從能力上，要求學生具備基本的作圖、識圖能力和圖象的簡單應用能力.4.從題型上看，主要以選擇、填空的形式考查，一般為低中檔難度題.綜合應用的題目有時難度會稍大一些.第4頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一函數圖象的判斷高考指數:★★★★1.(2012·山東高考)函數y的圖象大致為()第5頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【解析】選D.函數f(x)，f(-x)==-f(x)為奇函數，當x→0，且x>0時f(x)→+∞；當x→0，且x<0時f(x)→-∞；當x→+∞，2x-2-x→+∞，f(x)→0;當x→-∞,2x-2-x→-∞，f(x)→0.答案應選D.第6頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一2.(2012·江西高考)如圖|OA|=2(單位：m),|OB|=1(單位：m),OA與OB的夾角為，以A為圓心，AB為半徑作圓弧與線段OA延長線交于點C.甲、乙兩質點同時從點O出發(fā)，甲先以速率1(單位:m/s)沿線段OB行至點B，再以速率3(單位：m/s)沿圓弧行至點C后停止,乙以速率2(單位：m/s)沿線段OA行至A點后停止.設t時刻甲、乙所到達的兩點連線與它們經過的路徑所圍成圖形的面積為S(t)(S(0)=0)，則函數y=S(t)的圖象大致是()第7頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【解析】選A.因為|OB|=1，甲在OB段的速率為1,所以在OB段行至點B恰好為1s,|OA|=2,乙在OA段的速率為2,所以在OA段行至點A恰好為1s,所以在甲由O至B，乙由O至A這段時間，S(t)=(0≤t≤1)是增函數，而且S(t)增大得越來越快.由于乙至A后停止，所以在甲由B沿圓弧運動過程中，面積S是在勻速增大，所以應為一段線段，而在甲到達C后面積S不再變化，應為一條平行于x軸的直線.第8頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一3.(2012·湖北高考)已知定義在區(qū)間［0，2］上的函數y=f(x)的圖象如圖所示，則y=-f(2-x)的圖象為()第9頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【解析】選B.由y=f(x)的圖象向左平移兩個單位得y=f(x+2);再把y=f(x+2)的圖象關于原點對稱得y=-f(-x+2)的圖象,可知答案.第10頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一4.(2011·江西高考)如圖，一個“凸輪”放置于直角坐標系x軸上方，其“底端”落在原點O處，一頂點及中心M在y軸正半軸上，它的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成.第11頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一今使“凸輪”沿x軸正向滾動前進，在滾動過程中，“凸輪”每時每刻都有一個“最高點”，其中心也在不斷移動位置，則在“凸輪”滾動一周的過程中，將其“最高點”和“中心點”所形成的圖形按上、下放置，應大致為()第12頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【解析】選A.“凸輪”的滾動如圖所示.設PS=a，則PM=a,MN=a-a＜PM.所以M到x軸的距離先增大再減小再增大再減小……最高點到x軸的距離一直為圓的半徑，所以選A.第13頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一5.(2010·重慶高考)函數f(x)=的圖象()(A)關于原點對稱(B)關于直線y=x對稱(C)關于x軸對稱(D)關于y軸對稱第14頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【解析】選D.方法一：函數f(x)的定義域為R.=f(x)，函數f(x)是偶函數，圖象關于y軸對稱.方法二：函數f(x)的定義域為R.有f(-x)=2-x+2x=f(x)，函數f(x)是偶函數，所以函數f(x)=的圖象關于y軸對稱.第15頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一函數圖象的應用高考指數:★★6.(2012·安徽高考)若函數f(x)=|2x+a|的單調遞增區(qū)間是［3,+∞)，則a=_______.【解題指南】作出函數f(x)=|2x+a|的圖象，根據圖象可得函數的單調遞增區(qū)間為［,+∞).第16頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【解析】作出函數f(x)=|2x+a|的圖象，大致如圖，根據圖象可得函數的單調遞增區(qū)間為［,+∞),即=3,a=-6.答案：-6第17頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一7.(2012·天津高考)已知函數y的圖象與函數y=kx的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是_______.【解題指南】化簡函數y，在同一個坐標系中畫出兩個函數的圖象，數形結合求得k的范圍.第18頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【解析】∵∴作出函數與函數y=kx的圖象恰有兩個交點可得k的取值范圍是(0，1)∪(1，2).答案：(0，1)∪(1，2)第19頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一8.(2012·上海高考)已知函數y=f(x)的圖象是折線段ABC，其中A(0,0)，B(,1),C(1,0)，函數y=xf(x)(0≤x≤1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為________.第20頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【解析】由題意得函數所以函數所以函數y=xf(x)(0≤x≤1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為.答案：第21頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一函數圖象的判斷【典例1】(2011·陜西高考)函數y=的圖象是()

第22頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【解題視角】由題目獲取已知信息并分析如下：(1)已知信息：函數關系式是y=，函數圖象為過原點的曲線和直線(虛線，作為輔助線).圖象關于原點對稱，在定義域上是增函數.(2)信息分析：由已知函數關系式和圖象，根據函數圖象在［0,1］上的位置關系，可以用取點驗證的方法判斷．第23頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【規(guī)范解答】選B.取x=,-,則y=,-,選項B、D符合，取x=1,則y=1,選項B符合題意.第24頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【延伸探究】利用圖象解不等式＞x.【解析】作出y=和y=x的圖象比較可知，不等式＞x的解集為：(-∞，-1)∪(0,1).第25頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【命題人揭秘】命題規(guī)律:縱觀歷年來高考試題，該高頻考點呈現如下命題規(guī)律:(1)考查內容主要有：函數的定義域、值域，函數圖象的形狀，函數圖象的畫法，函數圖象上點的位置、坐標的確定，函數單調性、奇偶性、最值等.(2)題型有：已知函數關系式，判斷圖象的形狀;已知函數圖象判斷函數關系式;已知函數的變化情況，繪制函數圖象或判斷函數圖象.(3)命題形式：以選擇題的形式考查.難度為中檔難度.第26頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一備考策略：1.對基本函數的關系式、定義域、值域細心研究，抓住其關鍵點、單調性、奇偶性等特征，作為判斷圖象的依據.2.要掌握判斷函數圖象的一些基本方法，如：特殊點法(利用特殊點篩選淘汰)，導數法(借助導數判斷單調性、凹凸性)，輔助線法(借助輔助線判斷點的位置、圖象凹凸狀況)，平移法，對稱法等.第27頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一函數圖象的應用【典例2】(2011·新課標全國卷)已知函數y=f(x)的周期為2，當x∈[-1,1]時，f(x)=x2,那么函數y=f(x)的圖象與函數y=|lgx|的圖象的交點共有()(A)10個(B)9個(C)8個(D)1個第28頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【解題視角】由題目獲取已知信息并分析如下：(1)已知信息：①函數y=f(x)的周期；②當x∈［-1,1］時f(x)的函數解析式；③另一個函數為y=|lgx|.(2)信息分析：①由已知函數解析式可以作出f(x)=x2在一個周期［-1,1］內的圖象，然后利用周期性進行左右平移可得f(x)在其他區(qū)間上的圖象，②再利用圖象變換的原則畫出函數y=|lgx|的圖象，由兩者圖象得交點個數.第29頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【規(guī)范解答】選A.根據f(x)的性質及f(x)在［-1,1］上的解析式可作圖如下可驗證當x=10時，y=|lg10|=1；x>10時，|lgx|>1.因此結合圖象及數據特點知y=f(x)與y=|lgx|的圖象交點共有10個.第30頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【命題人揭秘】命題規(guī)律：縱觀歷年來高考試題，該高頻考點的考查內容主要有：(1)函數圖象的對稱性，周期性，奇偶性，單調性.(2)函數圖象的變換(平移、伸縮、對稱、翻轉).題型有：①由函數圖象求交點、交點個數，求解析式，求參數值，求最值等.②圖象變換(求變換前后函數關系式、變換方法、變換過程).③利用圖象性質解決綜合性問題.考查形式一般為選擇題、填空題.難度為中檔或中檔偏上.第31頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一備考策略：1.解決圖象問題，關鍵是要學會觀察分析圖象的關鍵點、關鍵值和主要性質.總結由圖象特征提取信息，分析信息的規(guī)律方法.并通過練習應用，驗證、補充，使之不斷完善.2.對圖象的變換原則，要進行針對性訓練，熟練掌握基本函數的常見的變換方法.圖象是數形結合思想應用的主體，對“數”與“形”結合的關鍵點和轉化技巧要加強訓練，高度重視.第32頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一函數中的新定義問題【典例3】(2011·天津高考)對實數a和b,定義運算“”:ab=設函數f(x)=(x2-2)(x-1),x∈R.若函數y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個公共點,則實數c的取值范圍是()(A)(-1,1］∪(2,+∞)(B)(-2,-1］∪(1,2］(C)(-∞,-2)∪(1,2］(D)［-2,-1］第33頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【解題視角】由題目獲取已知信息并分析如下：(1)已知信息：①新定義實數a、b滿足運算“”.②函數f(x)是滿足新定義運算的關系式.③函數y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個公共點.(2)信息分析：①根據新信息規(guī)定，可得出f(x)的解析式，f(x)解析式應該是分段函數.②y=f(x)-c的圖象是由y=f(x)的圖象上下平移得到的,數形結合平移圖象即可得出所需結論.第34頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【解題流程】選B.第35頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【閱卷人點撥】創(chuàng)新點撥1.本題在給出題目條件時有創(chuàng)新，新定義了兩個實數的運算法則.考查了學生的審題能力和面對新問題的分析思維能力.2.本題在問題設置上也有創(chuàng)新，求函數f(x)-c與x軸的交點，實際在考查函數f(x)的圖象變換，改變設問方式，旨在考查學生的靈活應變能力.第36頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一備考策略1.對待新定義問題，應該首先仔細審題，把新定義的規(guī)定理解透徹，并對各項要求認真分析作出標記，找出問題的關鍵點、易混易錯點.2.在復習中要利用專題訓練的方式，把新定義問題歸類研究，找出各種條件下的新定義問題，比較異同，歸納出通性通法，達到舉一反三、觸類旁通的效果.第37頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一冪函數的概念、圖象、性質1.冪函數的定義形如y=xα(α∈R)的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α為常數.【考點突破區(qū)】第38頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一2.五種冪函數的圖象第39頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一3.五種冪函數的性質y=xy=x2y=x3y=y=x-1定義域_________________________值域________________________________奇偶性__________________單調性____________________________________________________________________定點______函數特征性質RRR［0,+∞){x|x∈R且x≠0}R［0,+∞)R［0,+∞){y|y∈R且y≠0}奇偶奇非奇非偶奇x∈［0,+∞)時,增x∈(-∞,0］時，減增增x∈(0,+∞)時,減x∈(-∞,0)時,減(1,1)增第40頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【狀元心得】1.冪函數的三個特征(1)指數為常數；(2)底數為自變量x;(3)xα的系數為1.2.比較冪函數值的大小的常用方法(1)若冪的指數相同，構造冪函數，利用冪函數的單調性比較大??；第41頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一(2)若冪的底數相同，構造指數函數，利用指數函數的單調性比較大小；(3)若冪的底數和指數均不相同，找一個中間量，使它與一個冪的底數相同，而與另一個冪的指數相同，分別將此中間量與它們比較.第42頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一【特別提醒】比較既有冪值，又有對數值的大小問題時，一般引入中間量，分組比較大小.

第43頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一3.冪函數y=xα圖象特征(1)當α>0時，①圖象都過(0,0)點，(1，1)點.②在第一象限內函數值隨著x的增大而增大.③在第一象限內，α>1時，圖象向下凸；0<α<1時，圖象向上凸.(2)當α<0時,①圖象都過(1，1)點.②在第一象限內，函數值隨著x的增大而減小，圖象是向下凸的.第44頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一函數圖象的畫法1.描點法作圖的三個步驟通過列表、描點、連線三個步驟畫出函數的圖象.第45頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一2.兩種圖象變換法作圖(1)平移變換①y=f(x)的圖象向左平移a(a>0)個單位得到函數_________的圖象.②y=f(x-b)(b>0)的圖象可由y=f(x)的圖象________________得到.(2)對稱變換(在f(-x)有意義的前提下)①y=f(-x)與y=f(x)兩個函數的圖象________對稱；②y=-f(x)與y=f(x)兩個函數的圖象________對稱；y=f(x+a)向右平移b個單位關于y軸關于x軸第46頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一③y=-f(-x)與y=f(x)兩個函數的圖象__________對稱；④作y=|f(x)|的圖象可將y=f(x)的圖象在x軸下方的部分_____________，其余部分不變；⑤作y=f(|x|)的圖象可先作出y=f(x)當x≥0時的圖象，再利用偶函數的圖象關于y軸對稱，作出___________的圖象.關于原點翻