2023屆山東省臨沂市羅莊區(qū)高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知f(x)為偶函數(shù)，且當x∈[0，2)時，f(x)＝2sinx，當x∈[2，＋∞)時，f(x)＝log2x，則等于()A．－＋2 B．1C．3 D．＋22．若，，則（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．4．在的展開式中，項的系數(shù)為（）A． B．40 C． D．805．設函數(shù)，若是函數(shù)的極大值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．函數(shù)的圖像可能是（）A． B．C． D．7．某研究性學習小組調(diào)查研究學生使用智能手機對學習的影響，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表（參考公式：，其中.）附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828則下列選項正確的是（）A．有的把握認為使用智能手機對學習有影響B(tài)．有的把握認為使用智能手機對學習無影響C．有的把握認為使用智能手機對學習有影響D．有的把握認為使用智能手機對學習無影響8．設是服從二項分布的隨機變量,又,,則與的值分別為(

)A．， B．， C．， D．，9．《中國詩詞大會》（第二季）亮點頗多，十場比賽每場都有一首特別設計的開場詩詞在聲光舞美的配合下，百人團齊聲朗誦，別有韻味．若《將進酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩詞排在后六場，且《將進酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有（）A．288種 B．144種 C．720種 D．360種10．若集合，函數(shù)的定義域為集合B，則A∩B等于（）A.（0，1）B.[0，1）C.（1，2）D.[1，2）11．已知函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．三位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則女同學甲站在女同學乙的前面的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．李華經(jīng)營了甲、乙兩家電動轎車銷售連鎖店，其月利潤(單位：元)分別為，(其中x為銷售輛數(shù))，若某月兩連鎖店共銷售了110輛，則能獲得的最大利潤為______元．14．復數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)為，則_________．15．將一個正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的體積為，則該圓柱的側(cè)面積為______．16．已知函數(shù)的導函數(shù)為，若，則的值為___.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記為等差數(shù)列的前項和，已知，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求，并求的最小值．18．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，，∠ABC=∠BCD=90°，E為PB的中點．（1）證明：CE∥面PAD.（2）若直線CE與底面ABCD所成的角為45°，求四棱錐P-ABCD的體積．19．（12分）如圖，棱長為的正方形中，點分別是邊上的點，且將沿折起，使得兩點重合于，設與交于點，過點作于點．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．20．（12分）2019年6月13日，三屆奧運亞軍，羽壇傳奇，馬來西亞名將李宗偉宣布退役，當天有大量網(wǎng)友關(guān)注此事件，某網(wǎng)上論壇從關(guān)注此事件跟帖中，隨機抽取了100名網(wǎng)友進行調(diào)查統(tǒng)計，先分別統(tǒng)計他們在跟帖中的留言條數(shù)，再把網(wǎng)友人數(shù)按留言條數(shù)分成6組；，得到如下圖所小的頻率分布直方圖；并將其中留言不低于40條的規(guī)定為“強烈關(guān)注”，否則為“一般關(guān)注”，對這100名網(wǎng)友進一步統(tǒng)計，得到部分數(shù)據(jù)如下的列聯(lián)表.（1）在答題卡上補全2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，并判斷能否有95%的把握認為網(wǎng)友對此事件是否為“強烈關(guān)注”與性別有關(guān)？（2）該論壇欲在上述“強烈關(guān)注”的網(wǎng)友中按性別進行分層抽樣，共抽取5人，并在此5人中隨機抽取兩名接受訪談，記女性訪談者的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.21．（12分）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘（如圖），并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個釘子恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球.（Ⅰ）理論上，小球落入4號容器的概率是多少？（Ⅱ）一數(shù)學興趣小組取3個小球進行試驗，設其中落入4號容器的小球個數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.22．（10分）近年來，我國大力發(fā)展新能源汽車工業(yè)，新能源汽車（含電動汽車）銷量已躍居全球首位.某電動汽車廠新開發(fā)了一款電動汽車，并對該電動汽車的電池使用情況進行了測試，其中剩余電量與行駛時間（單位：小時）的測試數(shù)據(jù)如下：如果剩余電量不足，則電池就需要充電.（1）從組數(shù)據(jù)中選出組作回歸分析，設表示需要充電的數(shù)據(jù)組數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；（2）根據(jù)電池放電的特點，剩余電量與時間工滿足經(jīng)驗關(guān)系式：，通過散點圖可以發(fā)現(xiàn)與之間具有相關(guān)性.設，利用表格中的前組數(shù)據(jù)求相關(guān)系數(shù)，并判斷是否有的把握認為與之間具有線性相關(guān)關(guān)系.（當相關(guān)系數(shù)滿足時，則認為的把握認為兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系）；（3）利用與的相關(guān)性及前組數(shù)據(jù)求出與工的回歸方程.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）附錄：相關(guān)數(shù)據(jù)：，，，.前9組數(shù)據(jù)的一些相關(guān)量：合計相關(guān)公式：對于樣本.其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，，相關(guān)系數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，可得f（﹣）=f（）再將其代入f（x）=2sinx，進行求解，再根據(jù)x∈[2，+∞）時f（x）=log2x，求出f（4），從而進行求解；【詳解】∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴f（﹣）=f（），∵當x∈[0，2）時f（x）=2sinx，∴f（x）=2sin=2×=；∵當x∈[2，+∞）時f（x）=log2x，∴f（4）=log24=2，∴=+2，故選：D．【點睛】此題主要考查函數(shù)值的求解問題，解題的過程中需要注意函數(shù)的定義域，屬于基礎題2、A【解析】分析：利用復數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，化簡復數(shù)，然后利用復數(shù)相等的性質(zhì)列方程求解即可.詳解：因為，所以，解得，故選A.點睛：復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.3、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)冪與對數(shù)的運算，即可化簡求解.【詳解】函數(shù)則，所以，故選：A.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的求值，指數(shù)冪與對數(shù)式的運算應用，屬于基礎題.4、D【解析】

通過展開二項式即得答案.【詳解】在的展開式中,的系數(shù)為，故答案為D.【點睛】本題主要考查二項式定理，難度很小.5、A【解析】分析：的定義域為，由得所以能求出的取值范圍．詳解：的定義域為，由得

所以．

①若，當時，，此時單調(diào)遞增；

當時，，此時單調(diào)遞減．所以是函數(shù)的極大值點．

滿足題意，所以成立．

②若，由，得，當時，即，此時

當時，，此時單調(diào)遞增；

當時，，此時單調(diào)遞減．所以是函數(shù)的極大值點．

滿足題意，所以成立．．

如果函數(shù)取得極小值，不成立；

②若，由，得．

因為是f（x）的極大值點，成立；

綜合①②：的取值范圍是．

故選：A．點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等知識點的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．6、A【解析】

判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用特征值的符號是否一致進行排除即可．【詳解】解：f（﹣x）f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除B，D，函數(shù)的定義域為{x|x≠0且x≠±1}，由f（x）＝0得sinx＝0，得距離原點最近的零點為π，則f（）0，排除C，故選：A．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用對稱性以及特殊值進行排除是解決本題的關(guān)鍵．7、A【解析】分析：根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)利用公式求得，與鄰界值比較，即可得到結(jié)論.詳解：根據(jù)卡方公式求得，，該研究小組有的把握認為中學生使用智能手機對學生有影響，故選A.點睛：獨立性檢驗的一般步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計算的值；(3)查表比較與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計判斷.8、B【解析】分析：根據(jù)二項分布的期望和方差的計算公式，列出方程，即可求解答案.詳解：由題意隨機變量，又由，且，解得，故選B.點睛：本題主要考查了二項分布的期望與方差的計算公式的應用，其中熟記二項分布的數(shù)學期望和方差的計算公式是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.9、B【解析】

根據(jù)題意分步進行分析：①用倍分法分析《將進酒》，《望岳》和另外兩首詩詞的排法數(shù)目；②用插空法分析《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》的排法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案【詳解】根據(jù)題意分步進行分析：①將《將進酒》，《望岳》和另外兩首詩詞的首詩詞全排列，則有種順序《將進酒》排在《望岳》的前面，這首詩詞的排法有種②，這首詩詞排好后，不含最后，有個空位，在個空位中任選個，安排《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》，有種安排方法則后六場的排法有種故選【點睛】本題考查的是有關(guān)限制條件的排列數(shù)的問題，第一需要注意先把不相鄰的元素找出來，將剩下的排好，這里需要注意定序問題除階乘，第二需要將不相鄰的兩個元素進行插空，利用分步計數(shù)原理求得結(jié)果，注意特殊元素特殊對待。10、D【解析】試題分析：，，所以?？键c：1.函數(shù)的定義域；2.集合的運算。11、C【解析】

函數(shù)在時取得最大值,在或時得,結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)可得的取值范圍.【詳解】二次函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線.最大值為，且在時取得，而當或時，.結(jié)合函數(shù)圖象可知的取值范圍是．故選:C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想的應用,屬于中檔題.12、A【解析】

三男兩女的全排列中女同學甲要么站在女同學乙的前面要么站在女同學的后面．【詳解】三男兩女的全排列中女同學甲要么站在女同學乙的前面要么站在女同學的后面．即概率都為【點睛】本題考查排位概率，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、33000【解析】

設其中一家連鎖店銷售輛，則另一家銷售輛，再列出總利潤的表達式，是一個關(guān)于的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最大值即可．【詳解】依題意，可設甲這一家銷售了輛電動車，則乙這家銷售了輛電動車，總總利潤，所以，當時，取得最大值，且，故答案為.【點睛】本題考查函數(shù)模型的選擇與應用，考查二次函數(shù)最值等基礎知識，解題的關(guān)鍵在于確定函數(shù)的解析式，考查學生的應用能力，屬于中等題．14、2【解析】

根據(jù)直接求解即可.【詳解】本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查復數(shù)模的求解，屬于基礎題.15、【解析】將一個正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的體積為，設正方體的邊長為，則，解得該圓柱的側(cè)面積為，故答案為.16、【解析】

求函數(shù)的導函數(shù)，令即可求出的值.【詳解】因為令則所以【點睛】本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)，及導函數(shù)求值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2），最小值為?1．【解析】

（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，求得公差d，即可表示出的通項公式；（Ⅱ）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得Sn=n2-8n，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得Sn的最小值.【詳解】（I）設的公差為d，由題意得．由得d=2．所以的通項公式為．（II）由（I）得．所以當n=4時，取得最小值，最小值為?1．【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項的和公式，考查了等差數(shù)列前n項和的最值問題；求等差數(shù)列前n項和的最值有兩種方法：①函數(shù)法，②鄰項變號法.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）取PA中點Q，連接QD，QE，可證四邊形CDQE為平行四邊形，從而CE∥QD，于是證得線面平行；（2）連接BD，取BD中點O，連接EO，CO，可證EO∥PD，從而得到直線CE與底面ABCD所成的角，求得EO也即能求得PD，最終可得棱錐體積．【詳解】解法一:(1)取PA中點Q，連接QD，QE，則QE∥AB，且QE=AB∴QE∥CD，且QE=CD.即四邊形CDQE為平行四邊形，CE∥QD.又∵CE平面PAD，QD平面PAD，∴CE∥平面PAD.(2)連接BD，取BD中點O，連接EO，CO則EO∥PD，且EO=PD.∵PD⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.則CO為CE在平面ABCD上的射影，即∠ECO為直線CE與底面ABCD所成的角，∠ECO=45°在等腰直角三角形BCD中，BC=CD=2，則BD=2，則在RtΔECO中，∠ECO=45°，EO=CO=BD=2PD=2E0=2，∴∴∴四棱錐P-ABCD的體積為.解法二：(1)取AB中點Q，連接QC，QE則QE∥PA∵PA平面PAD，QE平面PAD∴QE∥平面PAD，又∵AQ=AB=CD，AQ∥CD，∴四邊形AQCDカ平行四跡形，則CQ∥DA∵DA平面PAD，CQ平面PAD，∴CQ∥平面PAD，(QE∥平面PAD.CQ∥平面PAD，證明其中一個即給2分)又QE平面CEQ，CQ平面CEQ，QECQ=Q，∴平面CEQ∥平面PAD，又CE平面CQ，∴CE∥平面PAD.(2)同解法一.【點睛】本題考查線面平行的判定，考查棱錐的體積，考查直線與平面所成的角．涉及到直線與平面所成的角，必須先證垂直（或射影），然后才有直線與平面所成的角．19、（1）見證明（2）【解析】

（1）由平面可得，結(jié)合可得平面，故，又得出平面；（2）建立空間坐標系，求出各點坐標，計算平面的法向量，則為直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）證明：在正方形中，，，∴，在的垂直平分線上，∴，∵，，，∴平面∴，又，，∴平面，∴，又，，∴底面．（2）解：如圖過點作與平行直線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，，，，，∴，，，設平面的法向量，則，即，取，記直線與平面所成角為，則，故直線與平面PDF所成角的正弦值為．【點睛】本題考查了線面垂直的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20、（1）列聯(lián)表見解析，沒有的把握認為網(wǎng)友對此事件是否為“強烈關(guān)注”與性別有關(guān)（2）分布列見解析，數(shù)學期望【解析】

1根據(jù)頻率分布直方圖中的頻率，計算強烈關(guān)注的頻率進而得到強烈關(guān)注的人數(shù)，結(jié)合表中的數(shù)據(jù)即可得到其余數(shù)據(jù)，補全列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算的值，結(jié)合臨界值表中的數(shù)據(jù)判斷即可；2的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學期望．【詳解】1根據(jù)頻率分布直方圖得，網(wǎng)友強烈關(guān)注的頻率為，所以強烈關(guān)注的人數(shù)為，因為強烈關(guān)注的女行有10人，所以強烈關(guān)注的男性有15人，所以一般關(guān)注的男性有人，一般關(guān)注的女性有人，所以列聯(lián)表如下：一般關(guān)注強烈關(guān)注合計男301545女451055合計7525100由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可得：．所以沒有的把握認為網(wǎng)友對此事件是否為“強烈關(guān)注”與性別有關(guān)．2論壇欲在上述“強烈關(guān)注的網(wǎng)友中按性別進行分層抽樣，共抽取5人，則抽中女性網(wǎng)友：人，抽中男性網(wǎng)友：人，在此5人中隨機抽取兩名接受訪談，記