2023屆上海市靜安區(qū)市級名校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)時命題成立，那么可推得當(dāng)時命題也成立。現(xiàn)已知當(dāng)n=8時該命題不成立，那么可推得A．當(dāng)n=7時該命題不成立 B．當(dāng)n=7時該命題成立C．當(dāng)n=9時該命題不成立 D．當(dāng)n=9時該命題成立2．已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是A． B． C． D．3．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．4．為了研究經(jīng)常使用手機(jī)是否對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響，某校高二數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)抽取高二年級50名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)單元測試成績，并制成下面的2×2列聯(lián)表：及格不及格合計(jì)很少使用手機(jī)20525經(jīng)常使用手機(jī)101525合計(jì)302050則有（）的把握認(rèn)為經(jīng)常使用手機(jī)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響．參考公式:，其中0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．97.5% B．99% C．99.5% D．99.9%5．實(shí)驗(yàn)女排和育才女排兩隊(duì)進(jìn)行比賽，在一局比賽中實(shí)驗(yàn)女排獲勝的概率是，沒有平局.若采用三局兩勝制，即先勝兩局者獲勝且比賽結(jié)束，則實(shí)驗(yàn)女排獲勝的概率等于（）A． B． C． D．6．從班委會5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有()種.A．36 B．30 C．12 D．67．已知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，，的面積為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．焦點(diǎn)為且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是A． B． C． D．9．已知，，且，則向量在方向上的正射影的數(shù)量為A．1 B．C． D．10．已知命題p：|x－1|≥2，命題q：x∈Z，若“p且q”與“非q”同時為假命題，則滿足條件的x為（）A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2,3}11．把座位編號為1，2，3，4，5，6的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人最多得兩張，甲、乙各分得一張電影票，且甲所得電影票的編號總大于乙所得電影票的編號，則不同的分法共有（）A．90種 B．120種 C．180種 D．240種12．現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法的種數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，．則函數(shù)f（x）的最小正周期_______14．用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有100個個體的總體中依次抽取一個容量為5的樣本，則個體m被抽到的概率為_____．15．已知，設(shè)，若存在不相等的實(shí)數(shù)同時滿足方程和，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．16．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)α的值是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面積.18．（12分）已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.19．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，，且，E為PD中點(diǎn).（I）求證：平面ABCD；（II）求二面角B-AE-C的正弦值.20．（12分）已知21．（12分）（1）已知，都是正數(shù)，并且，求證：；（2）若，都是正實(shí)數(shù)，且，求證：與中至少有一個成立.22．（10分）在△中，分別為內(nèi)角的對邊，已知．(Ⅰ)求；（Ⅱ）若，求△的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)逆否命題和原命題的真假一致性得，當(dāng)時命題不成立，則命題也不成立，所以選A.【詳解】根據(jù)逆否命題和原命題的真假一致性得，當(dāng)時命題不成立，則命題也不成立，所以當(dāng)時命題不成立，則命題也不成立，故答案為：A【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法和逆否命題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)互為逆否關(guān)系的命題同真同假，即原命題與逆否命題的真假性相同，原命題的逆命題和否命題的真假性相同.所以，如果某些命題（特別是含有否定概念的命題）的真假性難以判斷，一般可以判斷它的逆否命題的真假性.2、C【解析】試題分析：當(dāng)時，，函數(shù)有兩個零點(diǎn)和，不滿足題意，舍去；當(dāng)時，，令，得或．時，；時，；時，，且，此時在必有零點(diǎn)，故不滿足題意，舍去；當(dāng)時，時，；時，；時，，且，要使得存在唯一的零點(diǎn)，且，只需，即，則，選C．考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．3、C【解析】分析：解不等式，得到和，由集合的交集運(yùn)算可得到解。詳解：解絕對值不等式，得；由對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，得根據(jù)集合的運(yùn)算得所以選C點(diǎn)睛：本題考查了解絕對值不等式，對數(shù)函數(shù)的定義域，集合的基本運(yùn)算，是基礎(chǔ)題。4、C【解析】

根據(jù)2×2列聯(lián)表，求出的觀測值，結(jié)合題中表格數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，可得：，所以有99.5%的把握認(rèn)為經(jīng)常使用手機(jī)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】試題分析：實(shí)驗(yàn)女排要獲勝必須贏得其中兩局，可以是1,2局，也可以是1,3局，也可以是2,3局.故獲勝的概率為:,故選B.考點(diǎn)：獨(dú)立事件概率計(jì)算.6、A【解析】從班委會5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，因?yàn)橄葟钠溆?人中選出1人擔(dān)任文藝委員，再從4人中選2人擔(dān)任學(xué)習(xí)委員和體育委員，所以不同的選法共有種.本題選擇A選項(xiàng).7、B【解析】

由的面積為，可得，再由余弦定理求出，根據(jù)雙曲線的定義可得，從而可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，，所以，可得，，，所以離心率，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率，屬于中檔題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．8、A【解析】

根據(jù)題目要求解的雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且焦點(diǎn)在y軸上可知，設(shè)雙曲線的方程為，將方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，求解出的值，即可求出答案．【詳解】由題意知，設(shè)雙曲線的方程為，化簡得．解得．所以雙曲線的方程為，故答案選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了共漸近線的雙曲線方程求解問題,共漸近線的雙曲線系方程與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為，若，則雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，若，則雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上．9、D【解析】

由與、可得出，向量在方向上的正射影的數(shù)量=【詳解】向量在方向上的正射影的數(shù)量=【點(diǎn)睛】本題考查兩向量垂直，其數(shù)量積等于0.向量在方向上的正射影的數(shù)量=.10、C【解析】試題分析：由題意知q真，p假，∴|x－1|<1．∴－1<x<3且x∈Z．∴x＝0,1,1．選C．考點(diǎn)：命題否定11、A【解析】

從6張電影票中任選2張給甲、乙兩人，共種方法；再將剩余4張票平均分給丙丁2人，共有種方法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求得結(jié)果.【詳解】分兩步：先從6張電影票中任選2張給甲，乙兩人，有種分法；再分配剩余的4張，而每人最多兩張，所以每人各得兩張，有種分法，由分步原理得，共有種分法．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理與組合的綜合問題.12、C【解析】先排剩下5人，再從產(chǎn)生的6個空格中選3個位置排甲、乙、丙三人，即，選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先根據(jù)二倍角公式先化簡以及輔助角公式化簡，再根據(jù)即可?！驹斀狻坑深}意得：，∴函數(shù)f（x）的最小正周期；【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡以及周期的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。14、【解析】

總體含100個個體，從中抽取容量為5的樣本，則每個個體被抽到的概率為.【詳解】因?yàn)榭傮w含100個個體，所以從中抽取容量為5的樣本，則每個個體被抽到的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查簡單隨機(jī)抽樣的概念，即若總體有個個體，從中抽取個個體做為樣本，則每個個體被抽到的概率均為.15、【解析】

根據(jù)奇偶性定義求得為奇函數(shù)，從而可得且，從而可將整理為：，通過求解函數(shù)的值域可得到的取值范圍.【詳解】為上的奇函數(shù)又且且即：令，則在上單調(diào)遞增又本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題，涉及到奇偶性的判定、單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為的值域的求解問題；易錯點(diǎn)是在求解的取值范圍時，忽略的條件，錯誤求解為，造成增根.16、【解析】

由冪函數(shù)的定義，把代入可求解.【詳解】點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的定義.冪函數(shù)的性質(zhì):(1)冪函數(shù)在上都有定義；(2)冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)；(3)當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)和，且在上單調(diào)遞增；(4)當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減；(5)當(dāng)為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

(1)直接由正弦定理可得，從而可得答案.

(2)由余弦定理可得，再由面積公式可求答案.【詳解】解：（1）由，得，，∴，又因?yàn)闉殇J角三角形，∴.（2）由余弦定理可知，，即，解得，∴.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用以及三角形的面積，屬于基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】分析：（1）根據(jù)題意得到關(guān)于a,c的方程組，解方程組得E的方程.(2)設(shè)：，先求，再求點(diǎn)到直線的距離，最后求，再利用基本不等式求面積的取值范圍.詳解：（Ⅰ）設(shè)，由條件知，，得，又，所以，，故的方程為.（Ⅱ）當(dāng)軸時不合題意，故設(shè)：，，，將代入得，當(dāng)，即時，，從而，又點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以的面積的取值范圍為.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中面積的最值問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力基本計(jì)算能力.(2)解答本題的關(guān)鍵由兩點(diǎn)，其一是求出，其二是先換元法再利用基本不等式求的面積的取值范圍，設(shè)，得到.19、（I）見解析（II）【解析】

（I）根據(jù)題目所給條件，利用直線與平面垂直的判定方法分別證明出平面PAB以及平面，進(jìn)而得到和，從而推得線面垂直．（II）根據(jù)已知條件，以A為原點(diǎn)，AB為軸，AD為軸，AP為軸建立直角坐標(biāo)系，分別求出平面ABE和平面AEC的法向量，最后利用向量法求出二面角B-AE-C的正弦值．【詳解】解：（I）證明：∵底面ABCD為正方形，∴，又，，∴平面PAB，∴．同理，∴平面ABCD（II）建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則，，，，易知設(shè)為平面ABE的一個法向量，又，，∴令，，得.設(shè)為平面AEC的一個法向量，又∴令，得.∴二面角B-AE-C的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了通過證明直線與平面垂直來推出直線與直線垂直，以及利用向量法求二面角的問題，解題時要注意根據(jù)圖形特征或者已知要求確定二面角是銳角或鈍角，從而得出問題的結(jié)果．20、【解析】

把z1、z2代入關(guān)系式，化簡即可【詳解】，【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難點(diǎn)是乘除法法則，設(shè)，則，.21、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】

（1）利用綜合法，將兩式做差，化簡整理，即可證明（2）利用反證法，先假設(shè)原命題不成立，再推理證明，得出矛盾，即得原命題成立?！驹斀狻浚?）因?yàn)椋际钦龜?shù)，所以，又，所以，所以，所以，即.（2）假設(shè)和都不成立，即和同時成立.且，，.兩式相加得，即.此與已知條件相矛盾，和中至少有一個成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查綜合法和反證法證明，其中用反證法證明時，要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，得出矛盾，即假設(shè)不成立，原命題成立，進(jìn)而得證。22、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

（Ⅰ）方法一：由A∈（0，π