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2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.三位女歌手與三位男歌手站成一排合影,要求每位女歌手互不相鄰,則不同的排法數(shù)為A.48 B.72 C.120 D.1442.若直線l:過(guò)點(diǎn),當(dāng)取最小值時(shí)直線l的斜率為()A.2 B. C. D.23.已知函數(shù),則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.和 B.和C.和 D.4.在某次高三聯(lián)考數(shù)學(xué)測(cè)試中,學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布,若在內(nèi)的概率為0.75,則任意選取一名學(xué)生,該生成績(jī)高于115的概率為()A.0.25 B.0.1 C.0.125 D.0.55.給出下列四個(gè)命題:①回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心(,)②將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后,平均值不變③將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后,方差不變④在回歸方程=4x+4中,變量x每增加一個(gè)單位時(shí),y平均增加4個(gè)單位其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是()A.① B.② C.③ D.④6.已知函數(shù),則,,的大小關(guān)系是()A. B.C. D.7.已知實(shí)數(shù)滿足,且,則A. B.2 C.4 D.88.已知變量x,y滿足約束條件則的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.49.橢圓的左右焦點(diǎn)分別是,以為圓心的圓過(guò)橢圓的中心,且與橢圓交于點(diǎn),若直線恰好與圓相切于點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.10.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),再將所得圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,則所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為()A. B.C. D.11.已知數(shù)列滿足(,且是遞減數(shù)列,是遞增數(shù)列,則A.B.C.D.12.若函數(shù)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B.(0,1)C. D.(﹣1,0)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)f(x)=axlnx+b(a,b∈R),若f(x)的圖象在x=1處的切線方程為2x-y=0,則a+b=________.14.已知是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則____15.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若,則的值為_(kāi)__.16.若函數(shù)的反函數(shù)為,且,則的值為_(kāi)_______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)為了紀(jì)念國(guó)慶70周年,學(xué)校決定舉辦班級(jí)黑板報(bào)主題設(shè)計(jì)大賽,高二某班的同學(xué)將班級(jí)長(zhǎng)米、寬米的黑板做如圖所示的區(qū)域劃分:取中點(diǎn),連接,以為對(duì)稱軸,過(guò)兩點(diǎn)作一拋物線弧,在拋物線弧上取一點(diǎn),作垂足為,作交于點(diǎn).在四邊形內(nèi)設(shè)計(jì)主題,其余區(qū)域用于文字排版,設(shè)的長(zhǎng)度為米.(1)求長(zhǎng)度的表達(dá)式,并寫出定義域;(2)設(shè)四邊形面積為,求當(dāng)為何值時(shí),取最大值,最大為多少平方米?18.(12分)已知向量a=(3sinα,cosα),b=(2sinα,5sinα-4cosα),α∈,且a⊥b.(1)求tanα的值;(2)求cos的值.19.(12分)[選修4-5:不等式選講]設(shè)函數(shù).(1)若不等式的解集為,求的值;(2)在(1)的條件下,若不等式恒成立,求的取值范圍.20.(12分)隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展,網(wǎng)上購(gòu)物越來(lái)越受到人們的喜愛(ài),各大購(gòu)物網(wǎng)站為增加收入,促銷策略越來(lái)越多樣化,促銷費(fèi)用也不斷增加.下表是某購(gòu)物網(wǎng)站2017年1-8月促銷費(fèi)用(萬(wàn)元)和產(chǎn)品銷量(萬(wàn)件)的具體數(shù)據(jù).(1)根據(jù)數(shù)據(jù)可知與具有線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到);(2)已知6月份該購(gòu)物網(wǎng)站為慶祝成立1周年,特制定獎(jiǎng)勵(lì)制度:以(單位:件)表示日銷量,,則每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)100元;,則每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)150元;,則每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元.現(xiàn)已知該網(wǎng)站6月份日銷量服從正態(tài)分布,請(qǐng)你計(jì)算某位員工當(dāng)月獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約多少元.(當(dāng)月獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)精確到百分位)參考數(shù)據(jù):,,其中,分別為第個(gè)月的促銷費(fèi)用和產(chǎn)品銷量,.參考公式:(1)對(duì)于一組數(shù)據(jù),,,,其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.(2)若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,.21.(12分)在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,且.(1)求角的大??;(2)求的取值范圍.22.(10分)已知復(fù)數(shù).(1)若是純虛數(shù),求;(2)若,求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
女歌手不相鄰,則先排男生,再對(duì)女生插空即可.【詳解】由插空法得.選D.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合用插空法解決問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
將點(diǎn)帶入直線可得,利用均值不等式“1”的活用即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn),所以,即,所以當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)所以斜率,故選A【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式的應(yīng)用,考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力,屬基礎(chǔ)題.3、C【解析】
先求出函數(shù)的定義域,再求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0解得x的范圍,繼而得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)f(x)=x2-5x+2lnx的定義域是(0,+∞),令f′(x)=2x-5+==>0,解得0<x<或x>2,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,(2,+∞).故選C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,易錯(cuò)點(diǎn)是注意定義域,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求解即可得到所求概率.【詳解】由題意得,區(qū)間關(guān)于對(duì)稱,所以,即該生成績(jī)高于115的概率為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求在給定區(qū)間上的概率,求解的關(guān)鍵是把所給區(qū)間用已知區(qū)間表示,并根據(jù)曲線的對(duì)稱性進(jìn)行求解,考查數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
由回歸直線都過(guò)樣本中心,可判斷①;由均值和方差的性質(zhì)可判斷②③;由回歸直線方程的特點(diǎn)可判斷④,得到答案.【詳解】對(duì)于①中,回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心,故①正確;對(duì)于②中,將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后,平均值為加上或減去這個(gè)常數(shù),故②錯(cuò)誤;對(duì)于③中,將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后,方差不變,故③正確;對(duì)于④中,在回歸直線方程,變量每增加一個(gè)單位時(shí),平均增加4個(gè)單位,故④正確,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了回歸直線方程的特點(diǎn)和均值、方差的性質(zhì)的應(yīng)用,著重考查了.判斷能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
由為偶函數(shù),知,由在(0,1)為增函數(shù),知,由此能比較大小關(guān)系.【詳解】∵為偶函數(shù),∴,∵,由時(shí),,知在(0,1)為增函數(shù),∴,∴,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值大小的比較,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的靈活運(yùn)用.7、D【解析】
由,可得,從而得,解出的值即可得結(jié)果.【詳解】實(shí)數(shù)滿足,故,又由得:,解得:,或舍去,故,,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)的運(yùn)算與對(duì)數(shù)的運(yùn)算,意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力,屬于中檔題.8、B【解析】畫出二元一次不等式所示的可行域,目標(biāo)函數(shù)為截距型,,可知截距越大值越大,根據(jù)圖象得出最優(yōu)解為,則的最大值為2,選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題,首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域,作圖時(shí),可將不等式轉(zhuǎn)化為(或),“”取下方,“”取上方,并明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線,其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等,最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.9、A【解析】
由題得,再利用橢圓定義得的長(zhǎng)度,利用勾股定理求解即可【詳解】由題得,且又由勾股定理得,解得故選:A【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義及幾何意義,準(zhǔn)確求得是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題10、D【解析】
由正弦函數(shù)的周期變換以及平移變換即可得出正確答案.【詳解】函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)得到,再將所得圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的周期變換以及平移變換,屬于中檔題.11、D【解析】試題分析:由可得:,又是遞減數(shù)列,是遞增數(shù)列,所以,即,由不等式的性質(zhì)可得:,又因?yàn)椋?,所以,即,同理可得:;?dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí),令,可得:,將這個(gè)式子相加得:,所以,則,所以選D.考點(diǎn):1.裂項(xiàng)相消法求和;2.等比數(shù)列求和;12、A【解析】
首先由題意可得,再由對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)變形,然后求解對(duì)數(shù)不等式得答案.【詳解】由題意可得,第一個(gè)式子解得或;第二個(gè)式子化簡(jiǎn)為,令,則,解得或,則或,則或.即或.綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查以函數(shù)定義域?yàn)楸尘暗暮愠闪?wèn)題,二次型函數(shù)的恒成立問(wèn)題一般借助判別式進(jìn)行處理,本題同時(shí)兼顧考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),綜合性較強(qiáng),側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】,由的圖像在處的切線方程為,易知,即,,即,則,故答案為4.14、【解析】分析:根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式直接求解.詳解:,所以.點(diǎn)睛:復(fù)數(shù),模的計(jì)算公式.15、【解析】
求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令即可求出的值.【詳解】因?yàn)榱顒t所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù),及導(dǎo)函數(shù)求值,屬于中檔題.16、【解析】
根據(jù)反函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的解析式,代入即可求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的反函數(shù)為,且令則所以即函數(shù)()所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了反函數(shù)的求法,求函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)當(dāng)時(shí),四邊形面積取得最大值為【解析】
(1)建立平面直角坐標(biāo)系求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出拋物線方程,進(jìn)行求解即可;(2)構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)最值極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求最值即可.【詳解】⑴以為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在的直線為軸,軸建立平面直角坐標(biāo)系.所以,所以直線為因?yàn)閽佄锞€是以為對(duì)稱軸,設(shè)拋物線的方程為,因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,所以,所以因?yàn)?,所以,所以⑵因?yàn)?,,所以四邊形的面積設(shè),由,解得:t1+0-↗極大值↘所以當(dāng)時(shí),取極大值且是最大值答:當(dāng)時(shí),四邊形面積取得最大值為【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)應(yīng)用的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有求函數(shù)的解析式,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,屬于中檔題目.18、(1)-(2)【解析】(1)∵a⊥b,∴a·b=0.而a=(3sinα,cosα),b=(2sinα,5sinα-4cosα),故a·b=6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0,即=0.由于cosα≠0,∴6tan2α+5tanα-4=0.解得tanα=-或tanα=.∵α∈,∴tanα<0,∴tanα=-.(2)∵α∈,∴∈.由tanα=-,求得tan=-或tan=2(舍去).∴sin=,cos=-,∴cos=coscos-sin·sin=-×-×=-19、(1)(2)【解析】試題分析:(1)由條件得,進(jìn)而得,解得不等式對(duì)應(yīng)解集為,即可得解;(2)不等式恒成立,只需,從而得解.試題解析:解:(1)因?yàn)?,所以,所以,所?因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?,解?(2)由(1)得.不等式恒成立,只需,所以,即,所以的取值范圍是.20、(1)(2)【解析】試題分析:(1)先求均值,再代入公式求以及,即得回歸方程,(2)先根據(jù)正態(tài)分布計(jì)算各區(qū)間概率,再根據(jù)概率乘以總數(shù)得頻數(shù),最后將頻數(shù)與對(duì)應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì)相乘求和得結(jié)果.試題解析:(1)由題可知,,將數(shù)據(jù)代入得所以關(guān)于的回歸方程(2)由題6月份日銷量服從正態(tài)分布,則日銷量在的概率為,日銷量在的概率為,日銷量的概率為,所以每位員工當(dāng)月的獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)為元.21、(1)(2)【解析】
(1)由已知邊的關(guān)系配湊出余弦定理的形式,求得,根據(jù)的范圍求得結(jié)果;(2)利用兩角和差正弦公式和輔助角公式將整理為,由可求得的范圍,進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可求得的值域,從而得到所求范圍.【詳解】(1)由得:,即:(2)
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