華師大版八年級下矩形菱形與正方形1正方形優(yōu)秀獎

《正方形》典例精析【例1】如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F分別在OD、OC上，且DE=CF，連接DF、AE，AE的延長線交DF于點M．求證：AM⊥DF．【分析】由DE=CF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出OE=OF，從而證明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代換可得出∠DME=90°，即得出了結(jié)論．【解】證明：∵ABCD是正方形，∴OD=OC，AO=DO，∠AOD=∠DOF=90°．又∵DE=CF，∴OD－DE=OC－CF，即OE=OF．在Rt△AOE和Rt△DOF中，∵AO=DO，∠AOD=∠DOF，OE=OF，∴△AOE≌△DOF（SAS）．∴∠OAE=∠ODF．∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，∴∠ODF+∠DEM=90°．∴∠DME=90°．∴AM⊥DF．【小結(jié)】正方形的性質(zhì)很多，要能根據(jù)題意得出需要的性質(zhì)．同時要注意糾正學(xué)生不利用正方形的性質(zhì)，直接使用OD=OC，AO=DO，∠AOD=∠DOF等結(jié)論．【例2】如圖，在正方形ABCD中，等邊△AEF的頂點E、F分別在BC和CD上．（1）求證：CE=CF；（2）若等邊△AEF的邊長為2，求正方形ABCD的周長．【分析】（1）根據(jù)正方形可知AB=AD，由等邊三角形可知AE=AF，于是可以證明出△ABE≌△ADF，即可得出CE=CF．（2）連接AC，交EF與G點，由△AEF是等邊三角形，△ECF是等腰直角三角形，于是可知AC⊥EF，求出EG=1，設(shè)BE=x，利用勾股定理求出x，即可求出AB的值，從而求出正方形的周長．【解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠D=90°．∵△AEF是等邊三角形，∴AE=AF．在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB=AD，AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF．∴BE=DF．∵BC=CD,∴CE=CF．解：連接AC，交EF于G點，∵△AEF是等邊三角形，△ECF是等腰直角三角形，∴AC⊥EF，∠EAC=30°．在Rt△AGE中，EG=AE=×2=1，∴EC=．設(shè)BE=x，則AB=BC=x+，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，解得x=（負值舍去）．∴AB=．∴正方形ABCD的周長為4AB=2（）．【小結(jié)】正方形、等邊三角形、等腰直角三角形中含有很多相等的邊和角，這些相等的邊和角是證明全等的有力工具．正方形、等邊三角形、等腰直角三角形中還含有特殊的角，常常用來求線段的長，角的大?。m當(dāng)設(shè)未知數(shù)，運用方程思想，也是解決幾何問題的一種常用方法．【例3】如圖，平面內(nèi)4條直線l1、l2、l3、l4是一組平行線，相鄰2條平行線的距離都是1個單位長度，正方形ABCD的4個頂點A、B、C、D都在這些平行線上，其中點A、C分別在直線l1、l4上，該正方形的面積是平方單位．【解析】①A點在l1定下后，B點由A點向下平移2個單位到l2后向左平移1個單位得到；C點由B點向下平移1個單位到l4后向右平移2個單位得到；D點由C點向上平移1個單位到l3后向左平移2個單位得到．這時得到的四邊形ABCD是邊長為個單位長度的正方形，該正方形的邊長是，面積是5平方單位．(如下左圖）②邊長是3的正方形，該正方形的邊長面積是9平方單位．(如下右圖）決問題【答案】5或9．【小結(jié)】本題中的正方形是不確定的，抓住兩個關(guān)鍵：一是正方形ABCD的頂點A、C分別在直線l1、l4上，二是相鄰2條平行線的距離都是1個單位長度；從而根據(jù)平行線、正方形的性質(zhì)去得出圖形，再利用勾股定理算出正方形面積．若能想到把直線l1、l2、l3、l4這組平行線轉(zhuǎn)化為邊長為1個單位長度的正方形網(wǎng)格，將更容易確定符合條件的圖形．【例4】已知四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，依次連接各邊中點得四邊形EFGH．（1）如圖，若四邊形ABCD為正方形，則四邊形EFGH的形狀是什么？并證明你的結(jié)論．（2）當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足什么條件時，四邊形EFGH為正方形？【分析】（1）由四邊形ABCD各邊中點，聯(lián)想到三角形中位線的性質(zhì)，易得四邊形EFGH是平行四邊形．由正方形ABCD的對角線相等、互相垂直，可判斷出四邊形EFGH是正方形．（2）由（1）反思即可推出應(yīng)滿足的條件．【解】（1）四邊形EFGH是正方形．證明：連接AC，BD，∵E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，∴EF∥AC，EF=AC．同理HG∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD；HG=AC，EH=BD，F(xiàn)G=BD．∴四邊形EFGH是平行四邊形．∵四邊形ABCD是正方形，∴AC＝BD，AC⊥BD．∵AC＝BD，EF=AC，EH=BD，∴EF＝EH．∴平行四邊形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，∴EF⊥EH．∴平行四邊形EFGH是矩形．∴四邊形EFGH是正方形．（2）當(dāng)四邊形ABCD的對角線相等且互相垂直時，四邊形E