人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)版八年級(jí)上冊(cè)第十五章整式的乘除與因式分解1乘法公式【市一等獎(jiǎng)】

數(shù)學(xué)家楊輝

中國南宋末年數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家。大約在13世紀(jì)中葉至后半葉活動(dòng)于蘇、杭一帶。字謙光，錢塘（今杭州）人。其生卒年及生平無從詳考。

楊輝的數(shù)學(xué)著作甚多，雖經(jīng)散佚，流傳迄今的尚有多種。據(jù)記載,楊輝編著的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷:《詳解九章算法》十二卷(1261)、《日用算法》二卷(1262)、《乘除通變本末》三卷(1274)、《田畝比類乘除捷法》二卷(1275)、《續(xù)古摘奇算法》二卷(1275)。后三種為他后期的著作，一般稱之為《楊輝算法》?！对斀饩耪滤惴ā番F(xiàn)傳本已非全帙，編排也有錯(cuò)亂。從楊輝序言知道,此書取《九章算術(shù)》246問中80問進(jìn)行詳解。除原《九章》九卷以外,增添三卷,一卷是圖，一卷是講乘除算法，一卷是纂類?？上D與乘除兩卷都已失傳，其他除盈不足、勾股及纂類三卷外，也都?xì)埲辈蝗?。楊輝對(duì)《九章算術(shù)》所作的“詳解”分為三項(xiàng)：一是“解題”，包括解釋題意，名詞術(shù)語，文字?？焙蛯?duì)題目的評(píng)論等內(nèi)容；二是“細(xì)草”,包括圖解與算草;三是“比類”，即選取《九章算術(shù)》之外與原題算法相同或可比附的例題，作對(duì)照分析。楊輝的“纂類”，是將《九章算術(shù)》246個(gè)題目按解題方法由淺入深的順序,重新分為乘除、分率、合率、互換、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股等九類?！度沼盟惴ā吩瓡沿摹端惴s錄》所引楊輝自序可知此書內(nèi)容梗概：“以乘、除、加、減為法，秤、斗、尺、田為問，編詩括十三首，立圖草六十六問。用法必載源流,命題須責(zé)實(shí)有,分上下卷?！彼鼰o疑是一本通俗實(shí)用算書。把數(shù)學(xué)內(nèi)容編寫成整齊押韻的文句，便于群眾記誦，表現(xiàn)出中國古代民間數(shù)學(xué)的特色?！冻顺ㄗ儽灸罚ㄔ瓡麨椤冻顺ㄗ兯銓殹罚?。上卷叫《算法通變本末》，論乘除算法；中卷叫《乘除通變算寶》，論加減、求一、九歸諸術(shù)；下卷叫《法算取用本末》，是中卷的注解?！短锂€比類乘除捷法》，其上卷內(nèi)容是《詳解九章算法》方田章的延展，題目與舉例切合當(dāng)時(shí)實(shí)際。下卷主要是記敘開方術(shù)，相當(dāng)于高次方程的數(shù)值解法。其中“五曹刊誤”三題，對(duì)《五曹算經(jīng)》予以批評(píng)?！独m(xù)古摘奇算法》是楊輝搜集“諸家算法奇題及舊刊遺忘之文”編輯成書。其中保存了許多珍貴數(shù)學(xué)史料。卷上論縱橫圖，卷下說《海島》，都有很高的科學(xué)價(jià)值。楊輝編寫的算書廣泛引證古代數(shù)學(xué)典籍，除漢唐以來的《算經(jīng)十書》以外，還引用了《應(yīng)用算法》、《議古根源》、《辯古通源》、《指南算法》、《謝經(jīng)算術(shù)》等許多宋代算書。這些著作現(xiàn)俱不傳,幸得楊輝引用,后世方得知其一鱗半爪。此中如劉益的“正負(fù)開方術(shù)”，賈憲的“增乘開方法”與“開方作法本源”等都是中算史上極其寶貴的資料。楊輝的數(shù)學(xué)研究與教育工作的重點(diǎn)是在計(jì)算技術(shù)方面，這是由于南宋社會(huì)商業(yè)貿(mào)易發(fā)展的實(shí)際需要所決定的。“乘除捷法”為古代改進(jìn)計(jì)算技術(shù)之根本。楊輝說：“乘除者本鉤深致遠(yuǎn)之法?！吨改纤惴ā芬浴訙p’、‘九歸’、‘求一’旁求捷徑,學(xué)者豈容不曉，宜兼而用之。”他主張廣泛采用以加減代乘除,以歸除代商除,化乘(除)數(shù)之首數(shù)為一（以便用加減代乘除）等民間習(xí)用之簡捷算法,并加以推廣,創(chuàng)造出新的乘除捷法。楊輝提出“相乘大法”，即“單因”、“重因”、“身前因”、“相乘”、“重乘”、“損乘”。這些捷法盡可能化多位數(shù)的相乘為一位數(shù)的連乘;化乘法運(yùn)算為加、減法運(yùn)算;將古代乘法的上、中、下三層運(yùn)算，變?cè)谝粋€(gè)橫行里進(jìn)行。目的在于提高運(yùn)算的速度與準(zhǔn)確性。楊輝還進(jìn)一步發(fā)展了唐、宋相傳的求一算法,得到“乘算加法五術(shù)”、“除算減法四術(shù)”?！霸龀煞ā笔窃诒彼纬跄暌殉霈F(xiàn)的一種除法，楊輝在《乘除通變算寶》中引《九歸新括》口訣三十二句，使增成法進(jìn)到一個(gè)新的階段，在此基礎(chǔ)上逐

發(fā)展為后來的歸除法。

縱橫圖，即現(xiàn)今所謂的幻方。早在《數(shù)術(shù)記遺》就記載有古法“九宮”。楊輝創(chuàng)“縱橫圖”之名。其《續(xù)古摘奇算法》上卷作縱橫圖十三幅，并對(duì)縱橫圖的構(gòu)成規(guī)律已有所發(fā)現(xiàn)和概括，是前代的數(shù)術(shù)所未有。自此以后，明清兩代中算家關(guān)于縱橫圖的研究相繼不絕。

垛積術(shù),是楊輝繼沈括“隙積術(shù)”之后,關(guān)于高階等差級(jí)數(shù)的研究?！对斀饩耪滤惴ā芳啊端惴ㄍㄗ儽灸酚洈⒓?jí)數(shù)求和公式，除附于“芻童”之后的“果子垛”與沈括芻童垛相同外，尚有三角垛、四隅垛、方垛垛三式。楊輝不僅是中算史上一位著述甚豐的數(shù)學(xué)家，而且尤其是一位杰出的數(shù)學(xué)教育家。他特別重視數(shù)學(xué)的普及，其著作多為普及教育而編寫的數(shù)學(xué)教科書。在《算法通變本末》中，楊輝為初學(xué)者制訂的“習(xí)算綱目”是中國數(shù)學(xué)教育史上的一項(xiàng)重要文獻(xiàn)。楊輝繼承古代數(shù)學(xué)密切聯(lián)系實(shí)際的優(yōu)良傳統(tǒng)，主張數(shù)學(xué)教育貫徹“須責(zé)實(shí)用”的思想。他在《日用算法》中說：“以乘除加減為法，秤斗尺田為問；用法必載源流，命題須責(zé)實(shí)有?！逼鋾卸啻我门_(tái)州、黃巖圍量田圖等實(shí)例。在教學(xué)方法上，他主張循序漸進(jìn)，精講多練；提倡“循循誘入”，而又要求“自動(dòng)觸類而考，何必盡傳”。在學(xué)習(xí)方法上，他提倡熟讀精思，融會(huì)貫通；主張?jiān)趶V博的基礎(chǔ)上深入，著重于消化，掌握要領(lǐng)。楊輝特別重視計(jì)算能力的培養(yǎng)，他說：“