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文檔簡介
線性代數期末考試試卷答案合集詳解×××?學線性代數期末考試題?、填空題(將正確答案填在題中橫線上。每?題2分,共10分)1.若022150131=---x,則=χ__________。2.若齊次線性?程組=++=++=++000321321321xxxxxxxxxλλ只有零解,則λ應滿?。3.已知矩陣nsijcCBA?=)(,,,滿?CBAC=,則A與B分別是階矩陣。4.矩陣=323122211211aaaaaaA的?向量組線性。5.n階?陣A滿?032=--EAA,則=-1A。?、判斷正誤(正確的在括號內填“√”,錯誤的在括號內填“×”。每?題2分,共10分)1.若?列式D中每個元素都?于零,則0?D。()2.零向量?定可以表?成任意?組向量的線性組合。()3.向量組maaa,,,Λ21中,如果1a與ma對應的分量成?例,則向量組saaa,,,Λ21線性相關。()4.?=010*********0010A,則AA=-1。()5.若λ為可逆矩陣A的特征值,則1-A的特征值為λ。()三、單項選擇題(每?題僅有?個正確答案,將正確答案題號填?括號內。每?題2分,共10分)
1.設A為n階矩陣,且2=A,則=TAA()。①n2②12-n③12+n④42.n維向量組sααα,,,Λ21(3≤s≤n)線性?關的充要條件是()。①sααα,,,Λ21中任意兩個向量都線性?關②sααα,,,Λ21中存在?個向量不能?其余向量線性表?③sααα,,,Λ21中任?個向量都不能?其余向量線性表?④sααα,,,Λ21中不含零向量3.下列命題中正確的是()。①任意n個1+n維向量線性相關②任意n個1+n維向量線性?關③任意1+n個n維向量線性相關④任意1+n個n維向量線性?關4.設A,B均為n階?陣,下?結論正確的是()。①若A,B均可逆,則BA+可逆②若A,B均可逆,則AB可逆③若BA+可逆,則BA-可逆④若BA+可逆,則A,B均可逆5.若4321νννν,,,是線性?程組0=XA的基礎解系,則4321νννν+++是0=XA的()①解向量②基礎解系③通解④A的?向量四、計算題(每?題9分,共63分)1.計算?列式xabcdaxbcdabxcdabcxd++++。解·3)(0000000
01)(1111)(xdcbaxxxxdcbdcbaxdxcbdcxbdcbxdcbdcbaxdxcbdcbaxdcxbdcbaxdcbxdcbaxdcbdcbaxdxcbadcxbadcbxadcbax++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=++++2.設BAAB2+=,且A,410011103=求B。解.ABEA=-)2(??-----=--111122112)2(1EA,-----=-=-322234225)2(1AEAB3.設,1000110001100011---=B?=200012003120431
2C且矩陣X滿?關系式'(),XCBE-=求X。4.問a取何值時,下列向量組線性相關?123112211,,221122aaaααα-????-???=-==---。5.λ為何值時,線性?程組-=++-=++-=++223321321321xxxxxxxxxλλλλ有唯?解,?解和有?窮多解?當?程組有?窮多解時求其通解。①當1≠λ且2-≠λ時,?程組有唯?解;②當2-=λ時?程組?解③當1=λ時,有?窮多組解,通解為-+-+-=X10101100221cc6.設.77103,1301,3192,01414321--=?--=?--=?=αααα求此向量組的秩和?個極??關組,并將其余向量?該極??關組線性表?。7.設100010021A???=????,求A的特征值及對應的特征向量。五、證明題(7分)若A是n階?陣,且,IAA=T,1-=A證明0=+IA。其中I為單位矩陣?!痢痢?學線性代數期末考試題答案?、填空題1.52.1≠λ3.nnss??,4.相關
5.EA3-?、判斷正誤1.×2.√3.√4.√5.×三、單項選擇題1.③2.③3.③4.②5.①四、計算題1.3)(000000001)(1111)(xdcbaxxxxdcbdcbaxdxcbdcxbdcbxdcbdcbaxdxcbdcbaxdcxbdcbaxdcbxdcbaxdcbdcbaxdxcbadcxbadcbxadcbax++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=++++2.ABEA=-)2(??-----=--111122112)2(1EA,-----=-=-322234225)2(1AEAB3.()[]()[]
---=-=?????---=-??=-??=---12101210012000112100121001200011234012300120001)(10002100321043211'1''BCEXBCBCBC,,4.)22()12(812121212121212321-+=------=aaaaaaaa,,當21-=a或1=a時,向量組321aaa,,線性相關。5.①當1≠λ且2-≠λ時,?程組有唯?解;②當2-=λ時?程組?解③當1=λ時,有?窮多組解,通解為
-+-+-=X10101100221cc6.-=?------→--------→------=0000110020102001131300161600241031217130104302410312171307311100943121)(4321aaaa,,,則()34321=aaaar,,,,其中321aaa,,構成極??關組,321422aaaa++-=7.0)1(1210013=-=----=-λλλλλAE特征值1321===λλλ,對于λ1=1,-=-020*******AEλ,特征向量為+????100001lk()()'五、證明題+-='+-='+='+=+AIAIAIAAAAIA∴()02=+AI,∵()0=+AI?、選擇題(本題共4?題,每?題4分,滿分16分。每?題給出的四個選項中,只有?項符合題?要求)1、設A,B為n階?陣,滿?等式0=AB,則必有()(A)0=A或0=B;(B)0=+BA;(C)0=A或0=B;(D)0=+BA。2、A和B均為n階矩陣,且222()2ABAABB+=++,則必有()(A)AE=;(B)BE=;(C)AB=.(D)ABBA=。3、設A為nm?矩陣,齊次?程組0=Ax僅有零解的充要條件是()(A)A的列向量線性?關;(B)A的列向量線性相關;(C)A的?向量線性?關;(D)A的?向量線性相關.4、n階矩陣A為奇異矩陣的充要條件是()(A)A的秩?于n;(B)0A≠;(C)A的特征值都等于零;(D)A的特征值都不等于零;?、填空題(本題共4?題,每題4分,滿分16分)5、若4階矩陣A的?列式5A=-,A*是A的伴隨矩陣,則*A=。6、A為nn?階矩陣,且220AAE--=,則1(2)AE-+=。7、已知?程組=-+43121232121321xxxaa?解,則a=。
8、?次型2221231231213(,,)2322fxxxxxtxxxxx=++++是正定的,則t的取值范圍是。三、計算題(本題共2?題,每題8分,滿分16分)9、計算?列式1111111111111111xxDyy+-=+-10、計算n階?列式121212333nnnnxxxxxxDxxx++=+LLMMML四、證明題(本題共2?題,每?題8分,滿分16分。寫出證明過程)11、若向量組123,,ααα線性相關,向量組234,,ααα線性?關。證明:(1)1α能有23,αα線性表出;(2)4α不能由123,,ααα線性表出。12、設A是n階矩?陣,E是n階單位矩陣,EA+可逆,且1()()()fAEAEA-=-+。證明(1)(())()2EfAEAE++=;(2)(())ffAA=。五、解答題(本題共3?題,每?題12分,滿分32分。解答應寫出?字說明或演算步驟)13、設200032023A??=????,求?個正交矩陣P使得1PAP-為對?矩陣。14、已知?程組=++=++=++040203221321321xaxxaxxxxxx與?程組12321-=++axxx有公共解。求a的值。15、設四元?齊次線性?程組的系數矩陣的秩為3,已知1η,2η,3η是它的三個解向量,且??=54321η,
=+432132ηη求該?程組的通解。解答和評分標準?、選擇題1、C;2、D;3、A;4、A。?、填空題5、-125;6、2π;7、-1;8、53>t。三、計算題9、解:第??減第??,第三?減第四?得:001111001111xxxDyyy-=-第?列減第?列,第四列減第三列得:00011000011xxDyy-=-(4分)按第??展開得100001xDxyy-=-按第三列展開得2201
xDxyxyy-=-=。(4分)10、解:把各列加到第?列,然后提取第?列的公因?+∑=niix13,再通過?列式的變換化為上三?形?列式2212113313nnnniinxxxxDxxx=+??=+?+∑LLMMML(4分)2110303003nniixxx=??=+∑LLMMML1133nniix-=??=+∑(4分)四、證明題11、證明:(1)、因為332,ααα,線性?關,所以32αα,線性?關。,?321ααα,,線性相關,故1α能由32αα,線性表出。(4分)123()3rααα=,,,(2)、(反正法)若不,則4α能由321,ααα,線性表出,不妨設3322114ααααkkk++=。由(1)知,1α能由32αα,線性表出,不妨設32211αααtt+=。所以3322322114)(αααααkkttk+++=,這表明432,ααα,線性相關,?盾。12、證明(1)1(())()[()()]()EfAEAEEAEAEA-++=+-++1()()()()()()2EAEAEAEAEAEAE-=++-++=++-=(4分)(2)1(())[()][()]ffAEfAEfA-=-+由(1)得:11[()]()2EfAEA-+=+,代?上式得11111
(())[()()]()()()()()222ffAEEAEAEAEAEAEAEA--=--++=+--++11()()22EAEAA=+--=(4分)五、解答題13、解:
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