2023年湖南省永州市新田一中高二數學第二學期期末達標檢測試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子，骰子朝上的面的點數分別為，，則滿足的概率為（）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．或3．若實數滿足條件，則的最小值為A． B． C． D．4．對于平面上點和曲線，任取上一點，若線段的長度存在最小值，則稱該值為點到曲線的距離，記作，若曲線是邊長為的等邊三角形，則點集所表示的圖形的面積為（）A． B． C． D．5．已知命題，命題，則（）A．命題是假命題 B．命題是真命題C．命題是真命題 D．命題是假命題6．如圖所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇.要求每個區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數為（）A．56 B．72 C．64 D．847．中國古代儒家提出的“六藝”指:禮?樂?射?御?書?數.某校國學社團預在周六開展“六藝”課程講座活動,周六這天準備排課六節(jié),每藝一節(jié),排課有如下要求:“樂”與“書”不能相鄰,“射”和“御”要相鄰,則針對“六藝”課程講座活動的不同排課順序共有()A．18種 B．36種 C．72種 D．144種8．某同學將收集到的6組數據對，制作成如圖所示的散點圖（各點旁的數據為該點坐標），并由這6組數據計算得到回歸直線：和相關系數．現(xiàn)給出以下3個結論：①；②直線恰過點；③．其中正確結論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③9．二項式的展開式的各項中，二項式系數最大的項為()A． B．和C．和 D．10．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．11．曲線與直線及直線所圍成的封閉圖形的面積為()A． B． C． D．12．設，若是的最小值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等差數列中，，，則公差__________．14．在推導等差數列前n項和的過程中，我們使用了倒序相加的方法，類比可以求得________．15．若對于任意實數x，都有，則的值為_________.16．_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，直線經過點，其傾斜角為，以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸，與直角坐標系取相同的長度單位，建立極坐標系，設曲線C的極坐標方程為．（1）若直線與曲線C有公共點，求的取值范圍：（2）設為曲線C上任意一點，求的取值范圍．18．（12分）已知為圓上一動點，圓心關于軸的對稱點為，點分別是線段上的點，且.（1）求點的軌跡方程；（2）直線與點的軌跡只有一個公共點，且點在第二象限，過坐標原點且與垂直的直線與圓相交于兩點，求面積的取值范圍.19．（12分）某IT從業(yè)者繪制了他在26歲～35歲(2009年～2018年)之間各年的月平均收入（單位：千元）的散點圖：（1）由散點圖知，可用回歸模型擬合與的關系，試根據附注提供的有關數據建立關于的回歸方程（2）若把月收入不低于2萬元稱為“高收入者”.試利用（1）的結果，估計他36歲時能否稱為“高收入者”？能否有95%的把握認為年齡與收入有關系？附注：①.參考數據：，，,，，,，其中，取，②.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為:，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828③.．20．（12分）某飲料公司根據市場調查數據分析得到以下結果：如果某款飲料年庫存積壓率低于千分之一，則該款飲料為暢銷產品，可以繼續(xù)大量生產.如果年庫存積壓率高于千分之一，則說明需要調整生產計劃.現(xiàn)公司2013—2018年的某款飲料生產，年銷售利潤及年庫存積壓相關數據如下表所示：年份201320142015201620172018年生產件數（千萬件）3568911年銷售利潤（千萬元）2240486882100年庫存積壓件數（千件）295830907580注：（1）從公司2013—2018年的相關數據中任意選取2年的數據，求該款飲料這2年中至少有1年暢銷的概率.（2）公司根據上表計算出年銷售利潤與年生產件數的線性回歸方程為.現(xiàn)公司計劃2019年生產11千萬件該款飲料，且預計2019年可獲利108千萬元.但銷售部門發(fā)現(xiàn)，若用預計的2019年的數據與2013—2018年中暢銷年份的數據重新建立回歸方程，再通過兩個線性回歸方程計算出來的2019年年銷售利潤誤差不超過4千萬元，該款飲料的年庫存積壓率可低于千分之一.如果你是決策者，你認為2019年的生產和銷售計劃是否需要調整？請說明理由.21．（12分）已知，不等式的解集為.（1）求；（2）當時，證明：.22．（10分）已知函數，其中.（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）當的圖像剛好與軸相切時，設函數，其中，求證：存在極小值且該極小值小于.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先化簡，得到或.利用列舉法和古典概型概率計算公式可計算出所求的概率.【詳解】由，有，得或，則滿足條件的為，，，，，，，，，所求概率為．故選B.【點睛】本小題主要考查對數運算，考查列舉法求得古典概型概率有關問題，屬于基礎題.2、B【解析】分析：根據角的范圍利用同角三角函數的基本關系求出cos（α）的值，再根據sinα=sin[（α）+]，利用兩角差的正弦公式計算求得結果．詳解：∵，，∴∈（，π），∴cos（）=﹣，或（舍）∴sinα=sin[（）+]=sin（）cos+cos（）sin=-=，故選B．點睛：本題主要考查兩角和差的正弦公式，同角三角函數的基本關系，解題關鍵根據角的取值范圍對cos（）的值進行取舍，屬于中檔題．3、B【解析】分析：作出約束條件的平面區(qū)域，易知z=的幾何意義是點A（x，y）與點D（﹣1，0）連線的直線的斜率，從而解得．詳解：由題意作實數x，y滿足條件的平面區(qū)域如下，z=的幾何意義是點P（x，y）與點D（﹣1，0），連線的直線的斜率，由，解得A（1，1）故當P在A時，z=有最小值，z==．故答案為：B．點睛：（1）本題主要考查線性規(guī)劃和斜率的應用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數形結合思想方法.(2)表示兩點所在直線的斜率.4、D【解析】

根據可畫出滿足題意的點所構成的平面區(qū)域；分別求解區(qū)域各個構成部分的面積，加和得到結果.【詳解】由定義可知，若曲線為邊長為的等邊三角形，則滿足題意的點構成如下圖所示的陰影區(qū)域其中，，，，，，又又陰影區(qū)域面積為：即點集所表示的圖形的面積為：本題正確選項：【點睛】本題考查新定義運算的問題，關鍵是能夠根據定義，找到距離等邊三角形三邊和頂點的最小距離小于等于的點所構成的區(qū)域，易錯點是忽略三角形內部的點，造成區(qū)域缺失的情況.5、C【解析】試題分析：先判斷出命題p與q的真假，再由復合命題真假性的判斷法則，即可得到正確結論．解：由于x=10時，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命題p為真命題，令x=0，則x2=0，故命題q為假命題，依據復合命題真假性的判斷法則，得到命題p∨q是真命題，命題p∧q是假命題，￢q是真命題，進而得到命題p∧（￢q）是真命題，命題p∨（￢q）是真命題．故答案為C．考點：全稱命題；復合命題的真假．6、D【解析】分析：每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，然后分類研究，A、C不同色和A、C同色兩大類.詳解：分兩種情況：（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的2中顏色中任意取一色）：有4×3×2×2=48種；（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的3中顏色中任意取一色）：有4×3×1×3=36種．共有84種，故答案為：D.點睛：(1)本題主要考查排列組合的綜合問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用方法有一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復雜問題分類法、小數問題列舉法.7、D【解析】

由排列、組合及簡單的計數問題得：由題意可將“射”和“御”進行捆綁看成一個整體，共有種，然后與“禮”、“數”進行排序，共有種，最后將“樂”與“書”插入4個空即可，共有種，再相乘得解．【詳解】由題意“樂”與“書”不能相鄰,“射”和“御”要相鄰，可將“射”和“御”進行捆綁看成一個整體，共有種，然后與“禮”、“數”進行排序，共有種，最后將“樂”與“書”插入4個空即可，共有種，由于是分步進行，所以共有種，故選：D.【點睛】本題考查排列、組合及簡單計數問題，根據問題選擇合適的方法是關鍵，此類問題常見的方法有元素優(yōu)先法、捆綁法、插空法等，本題屬于中等題.8、A【解析】

結合圖像，計算，由求出，對選項中的命題判斷正誤即可得出結果.【詳解】由圖像可得，從左到右各點是上升排列的，變量具有正相關性，所以，①正確；由題中數據可得:，，所以回歸直線過點，②正確；又，③錯誤.故選A【點睛】本題主要考查回歸分析，以及變量間的相關性，熟記線性回歸分析的基本思想即可，屬于常考題型.9、C【解析】

先由二項式，確定其展開式各項的二項式系數為，進而可確定其最大值.【詳解】因為二項式展開式的各項的二項式系數為，易知當或時，最大，即二項展開式中，二項式系數最大的為第三項和第四項.故第三項為；第四項為.故選C【點睛】本題主要考查二項式系數最大的項，熟記二項式定理即可，屬于?？碱}型.10、B【解析】

寫出雙曲線的漸近線方程，由圓的方程得到圓心坐標與半徑，結合點到直線的距離公式與垂徑定理列式求解．【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由對稱性，不妨取，即．圓的圓心坐標為，半徑為，則圓心到漸近線的距離，，解得．故選：B．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質，考查直線與圓位置關系的應用，屬于中檔題．11、D【解析】聯(lián)立曲線與兩條直線的方程組成的方程組可得三個交點分別為，結合圖形可得封閉圖形的面積為，應選答案D．12、B【解析】

當時，可求得此時；當時，根據二次函數性質可知，若不合題意；若，此時；根據是在上的最小值可知，從而構造不等式求得結果.【詳解】當時，（當且僅當時取等號）當時，當時，在上的最小值為，不合題意當時，在上單調遞減是在上的最小值且本題正確選項：【點睛】本題考查根據分段函數的最值求解參數范圍的問題，關鍵是能夠確定每一段區(qū)間內最值取得的點，從而確定最小值，通過每段最小值之間的大小關系可構造不等式求得結果.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

利用等差數列的性質可得，從而．【詳解】因為，故，所以，填．【點睛】一般地，如果為等差數列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數列；（4）為等差數列.14、【解析】令，則：，兩式相加可得：,故：，即.15、【解析】

根據題意，分析可得，求出其展開式，可得為其展開式中含項的系數，由二項式定理求出項，分析可得答案．【詳解】解：根據題意，，其展開式的通項為，又由，則為其展開式中含項的系數，令可得：；即；故答案為：．【點睛】本題考查二項式定理的應用，注意二項式定理的形式，屬于基礎題．16、【解析】

根據積分運算法則求，前者利用公式求解，后者所表示的幾何意義是以為圓心，2為半徑第一象限內圓弧與坐標軸圍成的面積，求出圓的面積乘以四分之一，兩者結果做和即可得解．【詳解】解：，由表示以為圓心，2為半徑的圓面積的，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了定積分，定積分運算是求導的逆運算，解題的關鍵是求原函數，也可利用幾何意義進行求解，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）將極坐標方程和參數方程轉化為普通方程，再利用直線與圓的位置關系進行求解；（2）利用三角換元法及三角恒等變換進行求解．試題解析：（I）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程為直線l的參數方程為將代入整理得直線l與曲線C有公共點，的取值范圍是（II）曲線C的方程可化為其參數方程為為曲線上任意一點，的取值范圍是．考點：1．極坐標方程、參數方程與普通方程的互化．18、（1）（2）【解析】

（1）因為，所以為的中點，因為，所以，所以點在的垂直平分線上，所以，因為，所以點在以為焦點的橢圓上，因為，所以，所以點的軌跡方程為.（2）由得，，因為直線與橢圓相切于點，所以，即，解得，即點的坐標為，因為點在第二象限，所以，所以，所以點的坐標為，設直線與垂直交于點，則是點到直線的距離，設直線的方程為，則，，當且僅當，即時，有最大值，所以，即面積的取值范圍為.點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：(1)幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；(2)代數法：若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值．在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；③利用基本不等式求出參數的取值范圍；④利用函數的值域的求法，確定參數的取值范圍．19、（1）（2）他36歲時能稱為“高收入者”,有95%的把握認為年齡與收入有關系【解析】

（1）分別計算出，，帶入即可．（2）將2代入比較即可，計算觀測值，與臨界值比較可得結論．【詳解】（1）令，則∴∴(2)把帶入（千元）≥2（萬元）∴他36歲時能稱為“高收入者”.故有95%的把握認為年齡與收入有關系【點睛】本題考查線性回歸直線、獨立性檢驗，屬于基礎題．20、（1）；（2）不需要調整.【解析】

（1）計算出每年的年度庫存積壓率，可知13，15，17，18年暢銷，14，16年不暢銷；列舉出所有年份中任取2年的取法共15種，其中2年均為不暢銷的取法僅有1種，故根據古典型及對立事件的概率可求得結果；2）數據重組后依據公式計算出新的回歸直線方程，并求出2019年的年銷售利潤預估值；再計算出原回歸直線方程的2019年的年銷售利潤預估值，可知兩值相差3.66千萬元，由此可得結論【詳解】（1）公司年年度存積壓率分別為：，，，，，則該飲品在13，15，17，18年暢銷記為，，，，14，16年不暢銷記為，任取2年的取法有：，，，，，，，，，，，，，，共15種.其中2年均不暢銷的取法是，共1種∴該款飲料這年中至少有1年暢銷的概率為：（2）由題意得，2019年數據與2013，2015，2017