4-5-第三講柯西不等式與排序不等式-三排序不等式-“黃岡杯”一等獎

比較法》同步練習(xí)1．比較下面各題中兩個代數(shù)式值的大?。海?）與；（2）與.2．已知求證：（1）（2）3．若，求證4．已知a≠0，比較與的大?。?．（上海）已知函數(shù)＝＋有如下性質(zhì)：如果常數(shù)＞0，那么該函數(shù)在0，上是減函數(shù)，在，＋∞上是增函數(shù)．（1）如果函數(shù)＝＋（＞0）的值域?yàn)?，＋∞，求的值；（2）研究函數(shù)＝＋（常數(shù)＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；（3）對函數(shù)＝＋和＝＋（常數(shù)＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)＝＋（是正整數(shù)）在區(qū)間[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）．6．（山東）已知函數(shù)，其中，為常數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）當(dāng)時，證明：對任意的正整數(shù)，當(dāng)時，有．5．（上海）（本題滿分18分，本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分）已知函數(shù)＝＋有如下性質(zhì)：如果常數(shù)＞0，那么該函數(shù)在0，上是減函數(shù)，在，＋∞上是增函數(shù)．（1）如果函數(shù)＝＋（＞0）的值域?yàn)?，＋∞，求的值；（2）研究函數(shù)＝＋（常數(shù)＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；（3）對函數(shù)＝＋和＝＋（常數(shù)＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)＝＋（是正整數(shù)）在區(qū)間[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）．[解]（1）函數(shù)y=x+(x>0)的最小值是2，則2=6,∴b=log29.(2)設(shè)0<x1<x2,y2－y1=.當(dāng)<x1<x2時,y2>y1,函數(shù)y=在[,+∞)上是增函數(shù)；當(dāng)0<x1<x2<時y2<y1,函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù).又y=是偶函數(shù)，于是，該函數(shù)在(－∞,－]上是減函數(shù),在[－,0)上是增函數(shù)；(3)可以把函數(shù)推廣為y=(常數(shù)a>0),其中n是正整數(shù).當(dāng)n是奇數(shù)時,函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞)上是增函數(shù),在(－∞,－]上是增函數(shù),在[－,0)上是減函數(shù)；當(dāng)n是偶數(shù)時,函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞)上是增函數(shù),在(－∞,－]上是減函數(shù),在[－,0)上是增函數(shù)；F(x)=+=因此F(x)在[,1]上是減函數(shù),在[1,2]上是增函數(shù).所以，當(dāng)x=或x=2時，F(xiàn)(x)取得最大值()n+()n；當(dāng)x=1時F(x)取得最小值2n+1；6.已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).（Ⅰ）當(dāng)n=2時，求函數(shù)f(x)的極值；（Ⅱ）當(dāng)a=1時，證明：對任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時，有f(x)≤x-1.（Ⅰ）解：由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x＞1}，當(dāng)n=2時，所以（1）當(dāng)a＞0時，由f(x)=0得＞1，＜1，此時f′（x）=.當(dāng)x∈（1，x1）時，f′（x）＜0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x1+∞）時，f′（x）＞0,f(x)單調(diào)遞增.（2）當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)無極值.綜上所述，n=2時，當(dāng)a＞0時，f(x)在處取得極小值，極小值為當(dāng)a≤0時，f(x)無極值.（Ⅱ）證法一：因?yàn)閍=1,所以當(dāng)n為偶數(shù)時，令則g′（x）=1+＞0（x≥2）.所以當(dāng)x∈[2,+∞]時，g(x)單調(diào)遞增，又g(2)=0,因此≥g(2)=0恒成立，所以f(x)≤x-1成立.當(dāng)n為奇數(shù)時，要證≤x-1,由于＜0，所以只需證ln(x-1)≤x-1,令h(x)=x-1-ln(x-1),則h′（x）=1-≥0（x≥2）,所以當(dāng)x∈[2，+∞]時，單調(diào)遞增，又h(2)=1＞0，所以當(dāng)x≥2時，恒有h(x)＞0,即ln（x-1）＜x-1命題成立.綜上所述，結(jié)論成立.證法二：當(dāng)a=1時，當(dāng)x≥2時，對任意的正整數(shù)n，恒有≤1，故只需證明1+ln(x-1)≤x-1.令則