八年級(jí)數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)專題及答案 15 多邊形的邊與角

專題15多邊形的邊與角閱讀與思考兩個(gè)幾何圖形的全等是指兩個(gè)圖形之間的一種關(guān)系，其中最基本的關(guān)系是兩個(gè)圖形的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及對(duì)應(yīng)邊之間、對(duì)應(yīng)角之間的相等關(guān)系．全等三角形是研究三角形、四邊形等圖形性質(zhì)的主要工具，是解決有關(guān)線段、角等問題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn)，證明線段相等、線段和差相等、角相等、兩直線位置關(guān)系等問題總要直接或間接用到全等三角形，我們把這種應(yīng)用全等三角形來解決問題的方法稱為全等三角形法．我們實(shí)際遇到的圖形，兩個(gè)全等三角形并不重合在一起，而是處于各種不同的位置，但其中一個(gè)是由另一個(gè)經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等變換而成的．了解全等變換的這幾種形式，有助于發(fā)現(xiàn)全等三角形、確定對(duì)應(yīng)元素．善于在復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)、分解、構(gòu)造基本的全等三角形是解題的關(guān)鍵，應(yīng)熟悉涉及有關(guān)會(huì)共邊、公共角的以下兩類基本圖形：例題與求解【例1】考查下列命題：①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線、高、角平分線對(duì)應(yīng)相等；②兩邊和其中一邊上的中線（或第三邊上的中線）對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；③兩角和其中一角的角平分線（或第三角的角平分線）對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④兩邊和其中一邊上的高（或第三邊上高）對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．其中正確命題的個(gè)數(shù)有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)（山東省競賽試題）解題思路：真命題給出證明，假命題舉出一個(gè)反例．【例2】如圖，已知BD、CE是△ABC的高，點(diǎn)P在BD的延長線上，BP＝AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ＝AB．求證：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．（第十六屆江蘇省競賽試題）解題思路：（1）證明對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形全等；（2）證明∠PAQ＝90°．【例3】如圖，已知為AD為△ABC的中線，求證：AD＜．（陜西省中考試題）解題思路：三角形三邊關(guān)系定理是證明線段不等關(guān)系的基本工具，關(guān)鍵是設(shè)法將AB，AC，AD集中到同一個(gè)三角形中，從構(gòu)造2AD入手．【例4】如圖，已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB、∠DBA，CD過點(diǎn)E．求證：AB＝AC＋BD．（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：本例是線段和差問題的證明，截長法（或補(bǔ)短法）是證明這類問題的基本方法，即在AB上截取AF，使AF＝AC，以下只要證明FB＝BD即可，于是將問題轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等．【例5】如圖1，CD是經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC＝∠CFA＝∠．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題：①如圖2，若∠BCA＝90°，∠＝90°，則BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如圖3，若0°＜∠BCA＜180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠與∠BCA關(guān)系的條件＿＿＿＿，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明這兩個(gè)結(jié)論；（2）如圖4，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠＝∠BCA，請(qǐng)?zhí)岢鯡F，BE、AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．（臺(tái)州市中考試題）解題思路：對(duì)于②，可用①進(jìn)行逆推，尋找△BCE≌△CAF應(yīng)滿足的條件．對(duì)于（2）可用歸納類比方法提出猜想．【例6】如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝105°，∠ABC＝∠ADC＝45°．求證：CD＝AB．（天津市競賽試題）解題思路：由已知易得∠CAB＝30°，∠GAC＝75°，∠DCA＝60°，∠ACB＋∠DAC＝180°，由特殊度數(shù)可聯(lián)想到特殊三角形、共線點(diǎn)等．能力訓(xùn)練A級(jí)1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC的平分線交BC于D，且DC︰DB＝3︰5，則點(diǎn)D到AB的距離是＿＿＿＿．2．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分別過B，C作經(jīng)過點(diǎn)A的直線的垂線BD，CE，若BD＝3cm，CE＝4cm，則DE＝＿＿＿＿．3．如圖，△ABE和△ACF分別是以△ABC的邊AB、AC為邊的形外的等腰直角三角形，CE和BF相交于O，則∠EOB＝＿＿＿＿．4．如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，若AC平分∠DAB，且AB＝AE，AC＝AD．有如下四個(gè)結(jié)論：①AC⊥BD；②BC＝DE；③∠DBC＝∠DAB；④△ABE是等邊三角形．請(qǐng)寫出正確結(jié)論的序號(hào)＿＿＿＿．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）（天津市中考試題）5．如圖，點(diǎn)E在△ABC外部，點(diǎn)D在BC邊上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，則（）A．△ABD≌△AFD B．△AFE≌△ADCC．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE6．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，則△DEB的周長為（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm7．如圖，從下列四個(gè)條件：①BC＝B'C；②AC＝A′C；③∠A′CA＝∠B′CB；④AB＝A′B′中，任取三個(gè)為題設(shè)，余下的一個(gè)為結(jié)論，則最多可以構(gòu)成的正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)（北京市東城區(qū)中考試題）8．如圖1，在銳角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于F，且BF＝AC．（1）求證：ED平分∠FEC；（2）如圖2，若△ABC中，∠C為鈍角，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請(qǐng)說明理由；若成立，請(qǐng)給予證明．9．在等腰Rt△AOB和等腰Rt△DOC中，∠AOB＝∠DOC＝90°，連AD，M為AD中點(diǎn)，連OM．（1）如圖1，請(qǐng)寫出OM與BC的關(guān)系，并說明理由；（2）將圖1中的△COD旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．10．如圖，已知∠1＝∠2，EF⊥AD于P，交BC延長線于M．求證：∠M＝．（天津市競賽試題）11．如圖，已知△ABC中，∠A＝60°，BE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，P為BE，CD的交點(diǎn)．求證：BD＋CE＝BC．12．如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD延長線上的一點(diǎn)，且CE＝CA．（1）求證：DE平分∠BDC；（2）若點(diǎn)M在DE上，且DC＝DM，求證：ME＝BD．（日照市中考試題）B級(jí)1．在△ABC中，高AD和BE交于H點(diǎn)，且BH＝AC，則∠ABC＝＿＿＿＿．（武漢市競賽試題）2．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，若AB＝5，AC＝3，則AD的取值范圍是＿＿＿＿．（“希望杯”競賽試題）第3題第4題第3題第4題3．如圖，在△ABC中，AB＞AC，AD是角平分線，P是AD上任意一點(diǎn)，在ABAC與BPPC兩式中，較大的一個(gè)是＿＿＿＿．4．如圖，已知AB∥CD，AC∥DB，AD與BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么圖中全等的三角形有（）A．5對(duì) B．6對(duì) C．7對(duì) D．8對(duì)5．如圖，AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，則（）A．BE＋CF＞EF B．BE＋CF＝EFC．BE＋CF＜EF D．BE＋CF與的大小關(guān)系不確定（第十五屆江蘇省競賽試題）6．如果兩個(gè)三角形的兩條邊和其中一邊上的高分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形的第三邊所對(duì)的角（）A．相等 B．不相等 C．互余 D.互補(bǔ)或相等（北京市競賽試題）7．如圖，在△ABE和△ACD中，給出以下四個(gè)論斷：①AB＝AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三個(gè)論斷為題設(shè)，填入下面的“已知”欄中，一個(gè)論斷為結(jié)論，填入下面的“求證”欄中，使之組成一個(gè)真命題，并寫出證明過程．已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．求證：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（荊州市中考試題）8．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過C作CE⊥AB于E，并且AE＝，求∠ABC＋∠ADC的度數(shù)．（上海市競賽試題）9．在四邊形ABCD中，已知AB＝，AD＝6，且BC＝DC，對(duì)角線AC平分∠BAD，問與的大小符合什么條件時(shí)，有∠B＋∠D＝180°，請(qǐng)畫出圖形并證明你的結(jié)論．（河北省競賽試題）10．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE：分別平分∠BAC，∠ACB．求證：AC＝AE＋CD．（武漢市選拔賽試題）11．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AP，CQ分別平分∠BAC，∠BCA．AP交CQ于I，連PQ．求證：為定值．12．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD丄MN于O，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：DE＝AD＋BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE＝ADBE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問：DE，AD，BE有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．（?？谑兄锌荚囶}）13．CD是經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC＝∠CFA＝∠．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題：①如圖1，若∠BCA＝90°，∠＝90°，則BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠與∠BCA關(guān)系的條件＿＿＿＿，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明這兩個(gè)結(jié)論；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠＝∠BCA，請(qǐng)?zhí)岢鯡F，BE、AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．（臺(tái)州市中考試題）專題15全等三角形例1C命題③、④是假命題例2證明△ABP≌△AQC例3提示：延長AD至E，使DE=AD,連結(jié)BE,則△ACD≌△EBD例4如圖，在AB上截取AF,使AF=AC,連結(jié)EF由△ACE≌△AFE,得∠C=∠AFE.∵AC//BD,∴∠C+∠D=180°而∠5+∠AFE=180°,則∠5=∠D.在△BFE≌△BDE中，∵∠5=∠D,∠3=∠4,BE=BE∴△BFE≌△BDE,得BF=BD.∴AB=AF+BF=AC+BD.例5 (1)①=,=②∠+∠BCA=180°,先證明∠BCE=∠CAF,再證△BCE≌△CAF(2)EF=BE+AF例6如圖,過點(diǎn)A作AE丄AB交BC的延長線于點(diǎn)E,則AB=AE,∠E=∠D在△ADC與△CEA中∵∴△ADC≌△CEA得CD=AE=AB.A級(jí)1.152.7cm3.90°4.②③5.D6.B7.B8.(1)如圖，先證∠DBF=∠DAC,再證△BDF≌△ADC.最后由D點(diǎn)作DS丄BF于S，DT丄AC于T，由S△BDF=S△ADC,可知DS=DT∴ED平分∠FEC(2)類比(1)可證.9.(1)2OM=BC理由如下:延長OM至N,使OM=NM,連DN,可先證：△OMA≌△NMD再證△COB≌△ODN.∴ON=BC即2OM=BC(2)類比(1)可證2OM=BC10.提示：△AEP≌△AFP,∠M=∠ACB－∠MFC=∠ACB－∠AFE=∠ACB－(∠ABC+∠M)11.在BC上截取BF=BD,則△BDP≌△BPF以下只要證明CF=CE,充分利用角平分線構(gòu)造全等三角形.∵∠BPC=90°+∠A=120°,∴∠BPD=∠BPF=∠CPF=∠CPE60°,又∠1=∠2,CP=CP,∴△CPF≌△CPE,得CF=CE.故BC=BF+CF=BD+CE12.(1)略(2)連CM,證明△CBD≌△CEM.B 級(jí)1.45°或135°提示：對(duì)高的位置進(jìn)行討論2.1＜AD＜43.AB－AC4.C5.A提示：延長ED到G,DG=ED,連結(jié)CG6.D提示：符合條件的兩個(gè)三角形不一定全等7..略8.如圖,作CF丄AD,AB+AD=2AE=AE+AF∴AB－AE=AF－AD.即BE=DF.∴Rt△CBE≌Rt△CDF,得∠ABC=∠CDF.∴∠