初中數(shù)學圖形對稱和圖形旋轉(zhuǎn)與圖形平移提高練習和?？碱}型和培優(yōu)題含解析

-.z.初中數(shù)學圖形對稱和圖形旋轉(zhuǎn)常考題型和?？碱}一．選擇題〔共16小題〕1．以以下圖形中對稱軸的數(shù)量小于3的是〔〕A． B． C． D．2．如圖，△ABC的面積為6，AC=3，現(xiàn)將△ABC沿AB所在直線翻折，使點C落在直線AD上的C′處，P為直線AD上的一點，則線段BP的長不可能是〔〕A．3 B．4 C．5.5 D．103．如圖，正△ABC的邊長為2，過點B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對稱，D為線段BC′上一動點，則AD+CD的最小值是〔〕A．4 B．3 C．2 D．2+4．如圖，對折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合得到折痕EF，將紙片展平；再一次折疊，使點D落到EF上點G處，并使折痕經(jīng)過點A，展平紙片后∠DAG的大小為〔〕A．30° B．45° C．60° D．75°5．如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點B與點D重合，折痕為MN，假設AB=2，BC=4，則線段MN的長為〔〕A． B． C． D．26．如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN，再過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，折痕為BE．假設AB的長為2，則FM的長為〔〕A．2 B． C． D．17．如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在*軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為〔1，3〕，將矩形沿對角線AC翻折，B點落在D點的位置，且AD交y軸于點E，則點D的坐標為〔〕A．〔﹣，〕 B．〔﹣，〕 C．〔﹣，〕 D．〔﹣，〕8．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=6，將其折疊，使點D與點B重合，得折痕EF．則tan∠BFE的值是〔〕A． B．1 C．2 D．39．如圖，AD為△ABC的BC邊上的中線，沿AD將△ACD折疊，C的對應點為C′，∠ADC=45°，BC=4，則點B與C′的距離為〔〕A．3 B．2 C．2 D．410．如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，點E為△ABC內(nèi)一點，且∠BEC=90°，將△BEC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°，使BC與AC重合，得到△AFC，連接EF交AC于點M，BC=10，CF=6，則AM：MC的值為〔〕A．4：3 B．3：4 C．5：3 D．3：511．如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，P為△ABC內(nèi)一點，將△ABP逆時針旋轉(zhuǎn)后，與△ACP′重合，如果AP=4，則P，P′兩點間的距離為〔〕A．4 B．4 C．4 D．812．△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，以C為中心將△ABC旋轉(zhuǎn)θ角到△A1B1C〔旋轉(zhuǎn)過程中保持△ABC的形狀大小不變〕B點恰落在A1B1上，如圖，則旋轉(zhuǎn)角θ的大小為〔〕A．α+10° B．α+20° C．α D．2α13．如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，將此三角形繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到三角形A′B′C，假設點B′恰好落在線段AB上，AC、A′B′交于點O，則∠COA′的度數(shù)是〔〕A．50° B．60° C．70° D．80°14．如圖，△ABC中，AB=6，BC=4，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AEF，使得AF∥BC，延長BC交AE于點D，則線段CD的長為〔〕A．4 B．5 C．6 D．715．如圖，矩形ABCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到矩形A1BC1D1，C1D1與AD交于點M，延長DA交A1D1于F，假設AB=1，BC=，則AF的長度為〔〕A．2﹣ B． C． D．﹣116．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得△A1B1C，當A1落在AB邊上時，連接B1B，取BB1的中點D，連接A1D，則A1D的長度是〔〕A． B．2 C．3 D．2二．填空題〔共12小題〕17．點P1〔a，﹣3〕和點P2〔3，b〕關(guān)于y軸對稱，則a+b的值為．18．如圖，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在*軸上，OB在y軸上，點A，B的坐標分別為〔，0〕，〔0，1〕，把Rt△AOB沿著AB對折得到Rt△AO′B，則點O′的坐標為．19．如圖，平行四邊形ABCD中，點E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE折疊，使點A正好與CD上的F點重合，假設△FDE的周長為16，△FCB的周長為28，則FC的長為．20．如圖，E為正方形ABCD的邊DC上一點，DE=2EC=2，將△BEC沿BE所在的直線對折得到△BEF，延長EF交BA的延長線于點M，則AM=．21．如圖，在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，E是CD邊上一點，沿AE折疊△ADE，使點D恰好落在BC邊上的F處，M是AF的中點，連接BM，則sin∠ABM=．22．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是．23．將矩形ABCD紙片按如以下圖的方式折疊，EF，EG為折痕，試問∠AEF+∠BEG=．24．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點B、C分別落在點B'、C'處，聯(lián)結(jié)BC'與AC邊交于點D，則=．25．如圖，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使點A′落在BC的延長線上．∠A=27°，∠B=40°，則∠ACB′=度．26．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點C和點E是對應點，假設∠CAE=90°，AB=1，則BD=．27．如圖，BD為正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC，交DC與點E，將△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，假設CE=1cm，則BF=cm．28．如圖，在直角坐標系中，點A〔﹣3，0〕，B〔0，4〕，對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到三角形①、②、③、④、…則三角形⑩的直角頂點與坐標原點的距離為．三．解答題〔共16小題〕29．如圖，在平行四邊形ABCD中將△ABC沿AC對折，使點B落在B′處，AB′和CD相交于O，求證：OD=OB′．30．如圖，將矩形紙片ABCD〔AD＞AB〕折疊，使點C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC，AD相交，設折疊后點C，D的對應點分別為點G，H，折痕分別與邊BC，AD相交于點E，F(xiàn)．〔1〕判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論；〔2〕假設AB=3，BC=9，求線段CE的取值范圍．31．如圖，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于點G，現(xiàn)將△AEG沿AE折疊得到△AEB，將△AFG沿AF折疊得到△AFD，延長BE和DF相交于點C．〔1〕求證：四邊形ABCD是正方形；〔2〕連接BD分別交AE、AF于點M、N，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．〔3〕假設EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的長．32．感知：如圖①，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形ABCD內(nèi)部的點F處，延長AF交CD于點G，連結(jié)FC，易證∠GCF=∠GFC．探究：將圖①中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，如圖②，判斷∠GCF=∠GFC是否仍然相等，并說明理由．應用：如圖②，假設AB=5，BC=6，則△ADG的周長為．33．如圖，四邊形ABCD表示一張矩形紙片，AB=10，AD=8．E是BC上一點，將△ABE沿折痕AE向上翻折，點B恰好落在CD邊上的點F處，⊙O內(nèi)切于四邊形ABEF．求：〔1〕折痕AE的長；〔2〕⊙O的半徑．34．如圖，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=50°，將△AOB繞O點順時針旋轉(zhuǎn)30°，得到△COD，OC交AB于點F，CD分別交AB、OB于點E、H．求證：EF=EH．35．如圖，在正方形ABCD中，E、F是對角線BD上兩點，且∠EAF=45°，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，連接EQ，求證：〔1〕EA是∠QED的平分線；〔2〕EF2=BE2+DF2．36．如圖，△ABC中，AB=AC，把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE交于點F．〔1〕求證：△AEC≌△ADB；〔2〕假設AB=2，∠BAC=45°，當四邊形ADFC是菱形時，求BF的長．37．如圖，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，此時線段A′B′與BO的交點E為BO的中點，求線段B′E的值．38．如圖，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)30°，得△A1BC1，A1B交AC于點E，A1C1分別交AC、BC于D、F兩點．〔1〕證明：△ABE≌△C1BF；〔2〕證明：EA1=FC；〔3〕試判斷四邊形ABC1D的形狀，并說明理由．39．如圖，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，連接BE、CF相交于點D．〔1〕求證：BE=CF；〔2〕當α=90°時，求四邊形AEDC的面積．40．如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AB′C′D′，點C的對應點C′恰好落在CB的延長線上，邊AB交邊C′D′于點E．〔1〕求證：BC=BC′；〔2〕假設AB=2，BC=1，求AE的長．41．〔1〕如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數(shù)．〔2〕如圖②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，點M，N是BD邊上的任意兩點，且∠MAN=45°，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH位置，連接NH，試判斷MN2，ND2，DH2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．〔3〕在圖①中，假設EG=4，GF=6，求正方形ABCD的邊長．42．在平面直角坐標系中，O為原點，點A〔﹣2，0〕，點B〔0，2〕，點E，點F分別為OA，OB的中點．假設正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α．〔1〕如圖①，當α=90°時，求AE′，BF′的長；〔2〕如圖②，當α=135°時，求證：AE′=BF′，且AE′⊥BF′；〔3〕直線AE′與直線BF′相交于點P，當點P在坐標軸上時，分別表示出此時點E′、D′、F′的坐標〔直接寫出結(jié)果即可〕．43．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，點E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點，連結(jié)EF．〔1〕線段BE與AF的位置關(guān)系是，=．〔2〕如圖2，當△CEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a時〔0°＜a＜180°〕，連結(jié)AF，BE，〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立．如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．〔3〕如圖3，當△CEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a時〔0°＜a＜180°〕，延長FC交AB于點D，如果AD=6﹣2，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)．44．：在△AOB與△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°．〔1〕如圖1，點C、D分別在邊OA、OB上，連結(jié)AD、BC，點M為線段BC的中點，連結(jié)OM，則線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；〔2〕如圖2，將圖1中的△COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α〔0°＜α＜90°〕．連結(jié)AD、BC，點M為線段BC的中點，連結(jié)OM．請你判斷〔1〕中的兩個結(jié)論是否仍然成立．假設成立，請證明；假設不成立，請說明理由；〔3〕如圖3，將圖1中的△COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到使△COD的一邊OD恰好與△AOB的邊OA在同一條直線上時，點C落在OB上，點M為線段BC的中點．請你判斷〔1〕中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想，并加以證明．初中數(shù)學圖形對稱和圖形旋轉(zhuǎn)常考題型和?？碱}參考答案與試題解析一．選擇題〔共16小題〕1．〔2016?〕以以下圖形中對稱軸的數(shù)量小于3的是〔〕A． B． C． D．【分析】根據(jù)對稱軸的概念求解．【解答】解：A、有4條對稱軸；B、有6條對稱軸；C、有4條對稱軸；D、有2條對稱軸．應選D．【點評】此題考察了軸對稱圖形，解答此題的關(guān)鍵是掌握對稱軸的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的局部能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．2．〔2016?棗莊〕如圖，△ABC的面積為6，AC=3，現(xiàn)將△ABC沿AB所在直線翻折，使點C落在直線AD上的C′處，P為直線AD上的一點，則線段BP的長不可能是〔〕A．3 B．4 C．5.5 D．10【分析】過B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根據(jù)折疊得出∠C′AB=∠CAB，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出BN=BM，根據(jù)三角形的面積求出BN，即可得出點B到AD的最短距離是4，得出選項即可．【解答】解：如圖：過B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，∵將△ABC沿AB所在直線翻折，使點C落在直線AD上的C′處，∴∠C′AB=∠CAB，∴BN=BM，∵△ABC的面積等于6，邊AC=3，∴×AC×BN=6，∴BN=4，∴BM=4，即點B到AD的最短距離是4，∴BP的長不小于4，即只有選項A的3不正確，應選A．【點評】此題考察了折疊的性質(zhì)，三角形的面積，角平分線性質(zhì)的應用，解此題的關(guān)鍵是求出B到AD的最短距離，注意：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．3．〔2016?〕如圖，正△ABC的邊長為2，過點B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對稱，D為線段BC′上一動點，則AD+CD的最小值是〔〕A．4 B．3 C．2 D．2+【分析】連接CC′，根據(jù)△ABC、△A′BC′均為正三角形即可得出四邊形A′BCC′為菱形，進而得出點C關(guān)于BC'對稱的點是A'，以此確定當點D與點B重合時，AD+CD的值最小，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．【解答】解：連接CC′，如以下圖．∵△ABC、△A′BC′均為正三角形，∴∠ABC=∠A′=60°，A′B=BC=A′C′，∴A′C′∥BC，∴四邊形A′BCC′為菱形，∴點C關(guān)于BC'對稱的點是A'，∴當點D與點B重合時，AD+CD取最小值，此時AD+CD=2+2=4．應選A．【點評】此題考察了軸對稱中的最短線路問題以及等邊三角形的性質(zhì)，找出點C關(guān)于BC'對稱的點是A'是解題的關(guān)鍵．4．〔2016?〕如圖，對折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合得到折痕EF，將紙片展平；再一次折疊，使點D落到EF上點G處，并使折痕經(jīng)過點A，展平紙片后∠DAG的大小為〔〕A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】直接利用翻折變換的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出∠2=∠4，再利用平行線的性質(zhì)得出∠1=∠2=∠3，進而得出答案．【解答】解：如以下圖：由題意可得：∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，則NG=AM，故AN=NG，則∠2=∠4，∵EF∥AB，∴∠4=∠3，∴∠1=∠2=∠3=×90°=30°，∴∠DAG=60°．應選：C．【點評】此題主要考察了翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，正確得出∠2=∠4是解題關(guān)鍵．5．〔2016?〕如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點B與點D重合，折痕為MN，假設AB=2，BC=4，則線段MN的長為〔〕A． B． C． D．2【分析】首先利用勾股定理計算出BD的長，進而得到BO的長，在直角三角形CDN中，根據(jù)勾股定理求出DN，即得出BN，在直角三角形BON中，用勾股定理求出ON即可．【解答】解：如圖，連接BM，DN在矩形紙片ABCD中，CD=AB=2，∠C=90°，在Rt△BCD中，BC=4，根據(jù)勾股定理得，BD==2，∴OB=BD=，由折疊得，∠BON=90°，MN=MN，BN=DN，∵BC=BN+CN=4，∴CN=4﹣BN，在Rt△CDN中，CD=2，根據(jù)勾股定理得，CN2+CD2=DN2，〔4﹣BN〕2+22=BN2，∴BN=，在Rt△BON中，ON==，∴MN=2ON=，應選B．【點評】此題主要考察了圖形的翻折變換和勾股定理，關(guān)鍵是掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．解此類題目常用的方法是構(gòu)造直角三角形．6．〔2016?宿遷〕如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN，再過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，折痕為BE．假設AB的長為2，則FM的長為〔〕A．2 B． C． D．1【分析】根據(jù)翻折不變性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，AB=2，過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，∴FB=AB=2，BM=1，則在Rt△BMF中，F(xiàn)M=，應選：B．【點評】此題考察了翻折變換的性質(zhì)，適時利用勾股定理是解答此類問題的關(guān)鍵．7．〔2017?岱岳區(qū)模擬〕如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在*軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為〔1，3〕，將矩形沿對角線AC翻折，B點落在D點的位置，且AD交y軸于點E，則點D的坐標為〔〕A．〔﹣，〕 B．〔﹣，〕 C．〔﹣，〕 D．〔﹣，〕【分析】過D作DF⊥AF于F，根據(jù)折疊可以證明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到OE=DE，OA=CD=1，設OE=*，則CE=3﹣*，DE=*，利用勾股定理即可求出OE的長度，而利用條件可以證明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DF、AF的長度，也就求出了D的坐標．【解答】解：如圖，過D作DF⊥AF于F，∵點B的坐標為〔1，3〕，∴AO=1，AB=3，根據(jù)折疊可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，設OE=*，則CE=3﹣*，DE=*，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴〔3﹣*〕2=*2+12，∴*=．又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，∴AE=CE=3﹣=，∴，即，∴DF=，AF=．∴OF=﹣1=．∴點D的坐標為〔﹣，〕．應選：C．【點評】此題主要考察了圖形的折疊問題，也考察了坐標與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把握折疊的隱含條件，利用隱含條件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它們的性質(zhì)即可解決問題．8．〔2016?福州自主招生〕如圖，矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=6，將其折疊，使點D與點B重合，得折痕EF．則tan∠BFE的值是〔〕A． B．1 C．2 D．3【分析】首先過點E作EH⊥BC于點H，由矩形的性質(zhì)，可得EH=AB=2，由折疊的性質(zhì)，可得BE=DE，設AE=*，由勾股定理即可求得方程：22+*2=〔6﹣*〕2，解此方程即可求得BH的長，易得△BEF是等腰三角形，又由等腰三角形的性質(zhì)，可求得BF的長，繼而求得答案．【解答】解：過點E作EH⊥BC于點H，∵四邊形ABCD是矩形，∴EH=AB=2，∠A=90°，設AE=*，則DE=AD﹣AE=6﹣*，由折疊的性質(zhì)可得：BE=DE=6﹣*，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即22+*2=〔6﹣*〕2，解得：*=，∴BH=AE=，DE=，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∵∠DEF=∠BEF，∴∠BEF=∠BFE，∴BF=DE=，∴FH=BF﹣BH=，∴tan∠BFE===3．應選D．【點評】此題考察了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握折疊前后圖形的對應關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應用．9．〔2016?〕如圖，AD為△ABC的BC邊上的中線，沿AD將△ACD折疊，C的對應點為C′，∠ADC=45°，BC=4，則點B與C′的距離為〔〕A．3 B．2 C．2 D．4【分析】根據(jù)折疊前后角相等可知∠CDC′=90°，從而得∠BDC′=90°，在Rt△BDC′中，由勾股定理得BC′=2．【解答】解：∵把△ADC沿AD對折，點C落在點C′，∴△ACD≌△AC′D，∴∠ADC=∠ADC′=45°，DC=DC′，∴∠CDC′=90°，∴∠BDC′=90°．又∵AD為△ABC的中線，BC=4，∴BD=CD=BC=2．∴BD=DC′=2，即三角形BDC′為等腰直角三角形，在Rt△BDC′中，由勾股定理得：BC′===2．應選B．【點評】此題考察圖形的翻折變換以及勾股定理的運用，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如此題中折疊前后角相等．10．〔2017?大石橋市校級一?！橙鐖D，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，點E為△ABC內(nèi)一點，且∠BEC=90°，將△BEC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°，使BC與AC重合，得到△AFC，連接EF交AC于點M，BC=10，CF=6，則AM：MC的值為〔〕A．4：3 B．3：4 C．5：3 D．3：5【分析】由旋轉(zhuǎn)可以得出△BEC≌△AFC，∠ECF=90°，就有EC=CF=6，AC=BC=10，∠BEC=∠AFC=90°，由勾股定理就可以求出AF的值，進而得出CE∥AF，就有△CEM∽△AFM，就可以求出CM，DM的值，從而得出結(jié)論．【解答】解：∵△BEC繞C點旋轉(zhuǎn)90°使BC與AC重合，得到△ACF，∴△BEC≌△AFC，∠ECF=90°，∴EC=CF=6，AC=BC=10，∠BEC=∠DFC=90°．在Rt△AFC中，由勾股定理，得AF=8．∵∠AFC=90°，∴∠AFC+∠ECF=180°，∴EC∥AF，∴△CEM∽△AFM，∴==，∴AM：MC=4：3，應選A．【點評】此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，全等三角形的性質(zhì)的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，平行線的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形相似是關(guān)鍵．11．〔2017?曲靖一模〕如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，P為△ABC內(nèi)一點，將△ABP逆時針旋轉(zhuǎn)后，與△ACP′重合，如果AP=4，則P，P′兩點間的距離為〔〕A．4 B．4 C．4 D．8【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：旋轉(zhuǎn)角度是90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AP=AP′=4，即△PAP′是等腰直角三角形，腰長AP=4，則可用勾股定理求出斜邊PP′的長．【解答】解：連接PP′，∵△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后與△ACP′重合，∴△ABP≌△ACP′，即線段AB旋轉(zhuǎn)后到AC，∴旋轉(zhuǎn)了90°，∴∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=4，∴PP′===4，應選B．【點評】此題考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變化前后，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．12．〔2017?岱岳區(qū)模擬〕△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，以C為中心將△ABC旋轉(zhuǎn)θ角到△A1B1C〔旋轉(zhuǎn)過程中保持△ABC的形狀大小不變〕B點恰落在A1B1上，如圖，則旋轉(zhuǎn)角θ的大小為〔〕A．α+10° B．α+20° C．α D．2α【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC=B1C，∠A1=∠A=α，可知∠CBB1=∠B1=90°﹣α，在等腰△CBB1中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得2〔90°﹣α〕+θ=180°，由此可得旋轉(zhuǎn)角θ的大小．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)得BC=B1C，∠A1=∠A=α，∠ABC=∠B1=90°﹣α，∴等腰△CBB1中，∠CBB1=∠B1=90°﹣α，∠BCB1=θ，∵△CBB1中，∠CBB1+∠B1+∠BCB1=180°，∴2〔90°﹣α〕+θ=180°，∴θ=2α，應選：D．【點評】此題主要考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應用，解題時注意：對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．13．〔2016?株洲〕如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，將此三角形繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到三角形A′B′C，假設點B′恰好落在線段AB上，AC、A′B′交于點O，則∠COA′的度數(shù)是〔〕A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】由三角形的內(nèi)角和為180°可得出∠A=40°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出BC=B′C，從而得出∠B=∠BB′C=50°，再依據(jù)三角形外角的性質(zhì)結(jié)合角的計算即可得出結(jié)論．【解答】解：∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：BC=B′C，∴∠B=∠BB′C=50°．又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，∴∠ACB′=10°，∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．應選B．【點評】此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角的計算依據(jù)外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是算出∠ACB′=10°．此題屬于根底題，難度不大，解決該題型題目時，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出相等的角和相等的邊，再通過角的計算求出角的度數(shù)是關(guān)鍵．14．〔2016?〕如圖，△ABC中，AB=6，BC=4，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AEF，使得AF∥BC，延長BC交AE于點D，則線段CD的長為〔〕A．4 B．5 C．6 D．7【分析】只要證明△BAC∽△BDA，推出=，求出BD即可解決問題．【解答】解：∵AF∥BC，∴∠FAD=∠ADB，∵∠BAC=∠FAD，∴∠BAC=∠ADB，∵∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA，∴=，∴=，∴BD=9，∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5，應選B．【點評】此題考察平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，屬于中考?？碱}型．15．〔2016?黔西南州〕如圖，矩形ABCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到矩形A1BC1D1，C1D1與AD交于點M，延長DA交A1D1于F，假設AB=1，BC=，則AF的長度為〔〕A．2﹣ B． C． D．﹣1【分析】方法1，先求出∠CBD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角，判斷出點C1在矩形對角線BD上，求出BD，再求出∠DBF，從而判斷出DF=BD，即可．方法2，延長BA交A1D1于H，先確定出∠AFD1=30°，在用含30°的直角三角形的性質(zhì)依次求出BH，AF即可．【解答】解法1，：連接BD，如以下圖：在矩形ABCD中，∠C=90°，CD=AB=1，在Rt△BCD中，CD=1，BC=，∴tan∠CBD==，BD=2，∴∠CBD=30°，∠ABD=60°，由旋轉(zhuǎn)得，∠CBC1=∠ABA1=30°，∴點C1在BD上，連接BF，由旋轉(zhuǎn)得，AB=A1B，∵矩形A1BC1D1是矩形ABCD旋轉(zhuǎn)所得，∴∠BA1F=∠BAF=90°，∵BF=BF，∴△A1BF≌△ABF，∴∠A1BF=∠ABF，∵∠ABA1=30°，∴∠ABF=∠ABA1=15°，∵∠ABD=60°，∴∠DBF=75°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD=30°，∴∠BFD=75°，∴DF=BD=2，∴AF=DF﹣AD=2﹣，方法2，如圖，延長BA交A1D1于H，由旋轉(zhuǎn)得，A1B=AB=1，∠CBC1=∠ABA1=30°，∠BA1D1=∠BAF=90°，在四邊形A1BAF中，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得，∠A1FA=150°，∴∠AFH∠=30°，在Rt△A1BH中，A1B=1，∠A1BA=30°，∴BH=，∴AH=BH﹣AB=﹣1在Rt△AFH中，∠AFH=30°，∴AF=AH=2﹣應選：A．【點評】此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、三角函數(shù)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，并能進展推理計算是解決問題的關(guān)鍵．16．〔2016?〕如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得△A1B1C，當A1落在AB邊上時，連接B1B，取BB1的中點D，連接A1D，則A1D的長度是〔〕A． B．2 C．3 D．2【分析】首先證明△ACA1，△BCB1是等邊三角形，推出△A1BD是直角三角形即可解決問題．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，∴∠A=90°﹣∠ABC=60°，AB=4，BC=2，∵CA=CA1，∴△ACA1是等邊三角形，AA1=AC=BA1=2，∴∠BCB1=∠ACA1=60°，∵CB=CB1，∴△BCB1是等邊三角形，∴BB1=2，BA1=2，∠A1BB1=90°，∴BD=DB1=，∴A1D==．應選A．【點評】此題考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、30度角的直角三角形性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是證明△ACA1，△BCB1是等邊三角形，屬于中考常考題型．二．填空題〔共12小題〕17．〔2017春?杭州月考〕點P1〔a，﹣3〕和點P2〔3，b〕關(guān)于y軸對稱，則a+b的值為﹣6．【分析】根據(jù)"關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標一樣，橫坐標互為相反數(shù)〞求出a、b的值，然后相加計算即可得解．【解答】解：∵點P1〔a，﹣3〕和點P2〔3，b〕關(guān)于y軸對稱，∴a=﹣3，b=﹣3，∴a+b=﹣3+〔﹣3〕=﹣6．故答案為：﹣6．【點評】此題考察了關(guān)于*軸、y軸對稱的點的坐標，解決此題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：〔1〕關(guān)于*軸對稱的點，橫坐標一樣，縱坐標互為相反數(shù)；〔2〕關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標一樣，橫坐標互為相反數(shù)．18．〔2016?〕如圖，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在*軸上，OB在y軸上，點A，B的坐標分別為〔，0〕，〔0，1〕，把Rt△AOB沿著AB對折得到Rt△AO′B，則點O′的坐標為〔，〕．．【分析】作O′C⊥y軸于點C，首先根據(jù)點A，B的坐標分別為〔，0〕，〔0，1〕得到∠BAO=30°，從而得出∠OBA=60°，然后根據(jù)Rt△AOB沿著AB對折得到Rt△AO′B，得到∠CBO′=60°，最后設BC=*，則OC′=*，利用勾股定理求得*的值即可求解．【解答】解：如圖，作O′C⊥y軸于點C，∵點A，B的坐標分別為〔，0〕，〔0，1〕，∴OB=1，OA=，∴tan∠BAO==，∴∠BAO=30°，∴∠OBA=60°，∵Rt△AOB沿著AB對折得到Rt△AO′B，∴∠CBO′=60°，∴設BC=*，則OC′=*，∴*2+〔*〕2=1，解得：*=〔負值舍去〕，∴O′C=，∴OC=OB+BC=1+=，∴點O′的坐標為〔，〕．故答案為：〔，〕．【點評】此題考察了翻折變換及坐標與圖形的性質(zhì)的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點A和點B的坐標確定三角形為特殊三角形，難度不大．19．〔2017春?儀征市校級月考〕如圖，平行四邊形ABCD中，點E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE折疊，使點A正好與CD上的F點重合，假設△FDE的周長為16，△FCB的周長為28，則FC的長為6．【分析】根據(jù)翻折不變性以及平行四邊形的性質(zhì)，由BF+BC+CF=28，BF=AB=DF+FC，BC=AD=ED+EF，進展等量代換即可解決．【解答】解：∵△BEF是由△BEA翻折，∴EA=EF，BF=BA，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=AE+DE=EF+ED，AB=BF=DC=DF+CF，∵CF+BC+BF=28，DE+EF+DF=16∴CF+DE+EF+DF+CF=28，∴2CF+16=28，∴CF=6，故答案為6．【點評】此題考察翻折變換、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用翻折不變性解決問題，學會整體代入的數(shù)學思想，屬于中考?？碱}型．20．〔2017?河南模擬〕如圖，E為正方形ABCD的邊DC上一點，DE=2EC=2，將△BEC沿BE所在的直線對折得到△BEF，延長EF交BA的延長線于點M，則AM=2．【分析】設AM=*．由題意BA=BC=CD=BF=3，CE=EF=2，由翻折得到∠BEC=∠BEF=∠EBM，推出MB=ME=*+3，在Rt△BFM中，由BM2=MF2+BF2，可得〔*+3〕2=32+〔*+2〕2，解方程即可．【解答】解：設AM=*．∵DE=2EC=2，∴DE=2，EC=1，∴CD=3，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=3，CD∥AB，∠C=90°∵△BEF是由△BEC翻折得到，∴∠BEC=∠BEF=∠EBM，EC=EF=1，∠EFB=∠C=90°，∴BM=EM=3+*，F(xiàn)M=*+2，在Rt△BFM中，∵BM2=MF2+BF2，∴〔*+3〕2=32+〔*+2〕2，∴*=2，∴AM=2．故答案為2．【點評】此題考察了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考察了正方形的性質(zhì)和勾股定理．21．〔2016?〕如圖，在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，E是CD邊上一點，沿AE折疊△ADE，使點D恰好落在BC邊上的F處，M是AF的中點，連接BM，則sin∠ABM=．【分析】直接利用翻折變換的性質(zhì)得出AF的長，再利用勾股定理得出BF的長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，沿AE折疊△ADE，使點D恰好落在BC邊上的F處，∴AD=AF=10，∴BF==8，則sin∠ABM===．故答案為：．【點評】此題主要考察了矩形的性質(zhì)以及勾股定理和翻折變換的性質(zhì)，得出BF的長是解題關(guān)鍵．22．〔2016?〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是1.2．【分析】如圖，延長FP交AB于M，當FP⊥AB時，點P到AB的距離最小，利用△AFM∽△ABC，得到=求出FM即可解決問題．【解答】解：如圖，延長FP交AB于M，當FP⊥AB時，點P到AB的距離最?。摺螦=∠A，∠AMF=∠C=90°，∴△AFM∽△ABC，∴=，∵CF=2，AC=6，BC=8，∴AF=4，AB==10，∴=，∴FM=3.2，∵PF=CF=2，∴PM=1.2∴點P到邊AB距離的最小值是1.2．故答案為1.2．【點評】此題考察翻折變換、最短問題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是正確找到點P位置，屬于中考常考題型．23．〔2016?銅仁市〕將矩形ABCD紙片按如以下圖的方式折疊，EF，EG為折痕，試問∠AEF+∠BEG=90°．【分析】根據(jù)翻折的定義可以得到各角之間的關(guān)系，從而可以得到∠AEF+∠BEG的度數(shù)，從而可以解答此題．【解答】解：由題意可得，∠AEF=∠FEA′，∠BEG=∠GEA′，∵∠AEF+∠FEA′+∠BEG+∠GEA′=180°，∴∠AEF+∠BEG=90°，故答案為：90°．【點評】此題考察翻折變換、矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．24．〔2017?浦東新區(qū)一模〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點B、C分別落在點B'、C'處，聯(lián)結(jié)BC'與AC邊交于點D，則=．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BC=AB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的判定得到AB∥B′C′，根據(jù)平行線分線段成比例定理計算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴BC=AB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠CAC′=60°，AB′=AB，B′C′=BC，∠C′=∠C=90°，∴∠BAC′=90°，∴AB∥B′C′，∴===，∴=，∵∠BAC=∠B′AC，∴==，又=，∴=，故答案為：．【點評】此題考察的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵．25．〔2016?〕如圖，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使點A′落在BC的延長線上．∠A=27°，∠B=40°，則∠ACB′=46度．【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠ACA′=67°，再由△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，得到△ABC≌△A′B′C，證明∠BCB′=∠ACA′，利用平角即可解答．【解答】解：∵∠A=27°，∠B=40°，∴∠ACA′=∠A+∠B=27°+40°=67°，∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠B′CA=∠A′CB﹣∠B′CA，即∠BCB′=∠ACA′，∴∠BCB′=67°，∴∠ACB′=180°∠ACA′﹣∠BCB′=180°﹣67°﹣67°=46°，故答案為：46．【點評】此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是由旋轉(zhuǎn)得到△ABC≌△A′B′C．26．〔2016?〕如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點C和點E是對應點，假設∠CAE=90°，AB=1，則BD=．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，再根據(jù)勾股定理即可求出BD．【解答】解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)的到△ADE，點C和點E是對應點，∴AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，∴BD===．故答案為．【點評】此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考察了勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．27．〔2016?〕如圖，BD為正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC，交DC與點E，將△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，假設CE=1cm，則BF=2+cm．【分析】過點E作EM⊥BD于點M，則△DEM為等腰直角三角形，根據(jù)角平分線以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出DE的長度，再根據(jù)正方形以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出線段BF的長．【解答】解：過點E作EM⊥BD于點M，如以下圖．∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC=45°，∠BCD=90°，∴△DEM為等腰直角三角形．∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM=EC=1cm，∴DE=EM=cm．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：CF=CE=1cm，∴BF=BC+CF=CE+DE+CF=1++1=2+cm．故答案為：2+．【點評】此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出線段BC以及CF的長度．此題屬于根底題，難度不大，解決該題型題目時，結(jié)合角平分線以及等腰直角三角形的性質(zhì)求出線段的長度是關(guān)鍵．28．〔2016?南昌校級自主招生〕如圖，在直角坐標系中，點A〔﹣3，0〕，B〔0，4〕，對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到三角形①、②、③、④、…則三角形⑩的直角頂點與坐標原點的距離為36．【分析】先利用勾股定理得到AB=5，利用圖形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到△OAB每三次旋轉(zhuǎn)一個循環(huán)，并且每一個循環(huán)向前移動了12個單位，由于10=3×3+1，則可判斷三角形⑩和三角形①的狀態(tài)一樣，且三角形⑩與三角形⑨的直角頂點一樣，所以三角形⑩的直角頂點與坐標原點的距離為3×12=36．【解答】解：∵A〔﹣3，0〕，B〔0，4〕，∴OA=3，OB=4，∴AB==5，∵對△OAB連續(xù)作如以下圖的旋轉(zhuǎn)變換，∴△OAB每三次旋轉(zhuǎn)后回到原來的狀態(tài)，并且每三次向前移動了3+4+5=12個單位，∵10=3×3+1，∴三角形⑩和三角形①的狀態(tài)一樣，則三角形⑩與三角形⑨的直角頂點一樣，∴三角形⑩的直角頂點的橫坐標為3×12=36，縱坐標為0，∴三角形⑩的直角頂點與坐標原點的距離為36．故答案為36．【點評】此題考察了坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解決此題的關(guān)鍵是確定△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換后三角形的狀態(tài)的變換規(guī)律．三．解答題〔共12小題〕29．〔2016?江干區(qū)一?！橙鐖D，在平行四邊形ABCD中將△ABC沿AC對折，使點B落在B′處，AB′和CD相交于O，求證：OD=OB′．【分析】利用翻折不變性以及平行四邊形的性質(zhì)先證明AB′=CD，再證明OA=OC即可．【解答】證明：∵△ACB′是由△ABC翻折，∴∠BAC=∠CAB′，AB=AB′，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥BC，AB=DC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠OAC=∠OCA，∴OA=OC，∵AB′=CD，∴OD=OB′．【點評】此題考察平行四邊形的性質(zhì)、翻折變換、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用翻折不變性發(fā)現(xiàn)等腰三角形，屬于中考?？碱}型．30．〔2016?〕如圖，將矩形紙片ABCD〔AD＞AB〕折疊，使點C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC，AD相交，設折疊后點C，D的對應點分別為點G，H，折痕分別與邊BC，AD相交于點E，F(xiàn)．〔1〕判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論；〔2〕假設AB=3，BC=9，求線段CE的取值范圍．【分析】〔1〕由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)折疊的性質(zhì)，易證得△EFG是等腰三角形，即可得GF=EC，又由GF∥EC，即可得四邊形CEGF為平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得四邊形BGEF為菱形；〔2〕如圖2，當G與A重合時，CE取最大值，由折疊的性質(zhì)得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，推出四邊形CEGD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到CE=CD=AB=3；如圖1，當F與D重合時，CE取最小值，由折疊的性質(zhì)得AE=CE，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】〔1〕證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE=∠FEC，∵圖形翻折后點G與點C重合，EF為折線，∴∠GEF=∠FEC，∴∠GFE=∠FEG，∴GF=GE，∵圖形翻折后BC與GE完全重合，∴BE=EC，∴GF=EC，∴四邊形CEGF為平行四邊形，∴四邊形CEGF為菱形；〔2〕由〔1〕得四邊形CEGF是菱形，∴CE=CD=AB=3；如圖2，當G與A重合時，CE取最大值，由折疊的性質(zhì)得AE=CE，∵∠B=90°，∴AE2=AB2+BE2，即CE2=32+〔9﹣CE〕2，∴CE=5，∴線段CE的取值范圍3≤CE≤5．【點評】此題考察了翻折變換﹣折疊問題，菱形的判定，線段的最值問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．31．〔2016?邯鄲校級自主招生〕如圖，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于點G，現(xiàn)將△AEG沿AE折疊得到△AEB，將△AFG沿AF折疊得到△AFD，延長BE和DF相交于點C．〔1〕求證：四邊形ABCD是正方形；〔2〕連接BD分別交AE、AF于點M、N，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．〔3〕假設EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的長．【分析】〔1〕由圖形翻折變換的性質(zhì)可知∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD即可得出結(jié)論；〔2〕連接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°，故∠NDH=90°，再證△AMN≌△AHN，得MN=NH，由勾股定理即可得出結(jié)論；〔3〕設AG=*，則EC=*﹣4，CF=*﹣6，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可得出AG的值，同理可得出BD的長，設NH=y，在Rt△NHD，利用勾股定理即可得出MN的值．【解答】〔1〕證明：∵△AEB由△AED翻折而成，∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，∵△AFD由△AFG翻折而成，∴∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∵AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形；〔2〕MN2=ND2+DH2，理由：連接NH，∵△ADH由△ABM旋轉(zhuǎn)而成，∴△ABM≌△ADH，∴AM=AH，BM=DH，∵由〔1〕∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ADH=∠ABD=45°，∴∠NDH=90°，∵，∴△AMN≌△AHN，∴MN=NH，∴MN2=ND2+DH2；〔3〕設AG=BC=*，則EC=*﹣4，CF=*﹣6，在Rt△ECF中，∵CE2+CF2=EF2，即〔*﹣4〕2+〔*﹣6〕2=100，*1=12，*2=﹣2〔舍去〕∴AG=12，∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，∴BD===12，∵BM=3，∴MD=BD﹣BM=12﹣3=9，設NH=y，在Rt△NHD中，∵NH2=ND2+DH2，即y2=〔9﹣y〕2+〔3〕2，解得y=5，即MN=5．【點評】此題考察的是翻折變換及勾股定理，解答此類題目時常常設要求的線段長為*，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含*的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．32．〔2016?長春模擬〕感知：如圖①，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形ABCD內(nèi)部的點F處，延長AF交CD于點G，連結(jié)FC，易證∠GCF=∠GFC．探究：將圖①中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，如圖②，判斷∠GCF=∠GFC是否仍然相等，并說明理由．應用：如圖②，假設AB=5，BC=6，則△ADG的周長為16．【分析】探究：由?ABCD及折疊可得∠B+∠ECG=∠AFE+∠ECG=∠AFE+∠EFG=180°，即∠ECG=∠EFG，再根據(jù)EB=EF=EC得∠EFC=ECF，從而可得∠GCF=∠GFC；應用：由〔1〕中∠GCF=∠GFC得GF=GC，AF=AB，根據(jù)△ADG的周長AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD可得．【解答】解：探究：∠GCF=∠GFC，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B+∠ECG=180°，又∵△AFE是由△ABE翻折得到，∴∠AFE=∠B，EF=BE，又∵∠AFE+∠EFG=180°，∴∠ECG=∠EFG，又∵點E是邊BC的中點，∴EC=BE，∵EF=BE，∴EC=EF，∴∠ECF=∠EFC，∴∠ECG﹣∠ECF=∠EFG﹣∠EFC，∴∠GCF=∠GFC；應用：∵△AFE是由△ABE翻折得到，∴AF=AB=5，由〔1〕知∠GCF=∠GFC，∴GF=GC，∴△ADG的周長AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD=AD+AB+CD=6+5+5=16，故答案為：應用、16．【點評】該題主要考察了翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等幾何知識點及其應用問題，解題的關(guān)鍵是結(jié)實掌握翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等幾何知識點．33．〔2016?臨沭縣一模〕如圖，四邊形ABCD表示一張矩形紙片，AB=10，AD=8．E是BC上一點，將△ABE沿折痕AE向上翻折，點B恰好落在CD邊上的點F處，⊙O內(nèi)切于四邊形ABEF．求：〔1〕折痕AE的長；〔2〕⊙O的半徑．【分析】〔1〕如圖，運用矩形的性質(zhì)、勾股定理首先求出DF的長，進而求出CF的長，此為解決該題的關(guān)鍵性結(jié)論；設BE為*，運用勾股定理列出關(guān)于*的方程，求出*；再次運用勾股定理求出AE的長．〔2〕如圖，作輔助線；首先證明OH=HB；運用△AOH∽△AEB，列出關(guān)于半徑r的方程，求出r即可解決問題．【解答】解：〔1〕由題意知，AF=10，AD=8，根據(jù)勾股定理得：DF=6．∴CF=4．設BE=*，則EF=*，CE=8﹣*．在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理得：〔8﹣*〕2+42=*2，解得*=5．即BE=5．由勾股定理得：∴AE==5．〔2〕如圖，連接OH、OG；則∠OHB=∠B=∠OGB=90°，而BH=BG，∴四邊形OHBG為正方形，∴OH=BH；設⊙O的半徑為r，則OH=BH=r；∵△AOH∽△AEB，∴=，即=；解得：r=．∴⊙O的半徑為．【點評】該題主要考察了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點及其應用問題；結(jié)實掌握矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等知識點是根底，靈活運用是關(guān)鍵．34．〔2017?新城區(qū)校級模擬〕如圖，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=50°，將△AOB繞O點順時針旋轉(zhuǎn)30°，得到△COD，OC交AB于點F，CD分別交AB、OB于點E、H．求證：EF=EH．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠A與∠B，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得∠AOC=∠BOD=30°，OD=OB=OA，∠D=∠B，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．【解答】證明：∵OA=OB，∠AOB=50°，∴∠A=∠B．∵將△AOB繞O點順時針旋轉(zhuǎn)30°，得到△COD，∴∠AOC=∠BOD=30°，OD=OB=OA，∠D=∠B．在△AOF和△DOH中，，∴△AOF≌△DOH〔ASA〕，∴OF=OH，∵OC=OB，∴FC=BH．在△FCE和△HBE中，，∴△FCE≌△HBE〔AAS〕，∴EF=EH．【點評】此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠AOC=∠BOD=30°，OD=OB=OA，∠D=∠B是解題關(guān)鍵，又利用了全等三角形的判定與性質(zhì)．35．〔2016?日照〕如圖，在正方形ABCD中，E、F是對角線BD上兩點，且∠EAF=45°，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，連接EQ，求證：〔1〕EA是∠QED的平分線；〔2〕EF2=BE2+DF2．【分析】〔1〕直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△AQE≌△AFE〔SAS〕，進而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；〔2〕利用〔1〕中所求，再結(jié)合勾股定理得出答案．【解答】證明：〔1〕∵將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∴∠QAE=45°，∴∠QAE=∠FAE，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE〔SAS〕，∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分線；〔2〕由〔1〕得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，則EF2=BE2+DF2．【點評】此題主要考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，正確得出△AQE≌△AFE〔SAS〕是解題關(guān)鍵．36．〔2016?畢節(jié)市〕如圖，△ABC中，AB=AC，把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE交于點F．〔1〕求證：△AEC≌△ADB；〔2〕假設AB=2，∠BAC=45°，當四邊形ADFC是菱形時，求BF的長．【分析】〔1〕由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形ABC與三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形對應邊相等，對應角相等得到兩對邊相等，一對角相等，利用SAS得到三角形AEC與三角形ADB全等即可；〔2〕根據(jù)∠BAC=45°，四邊形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD為等腰直角三角形，求出BD的長，由BD﹣DF求出BF的長即可．【解答】解：〔1〕由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB〔SAS〕；〔2〕∵四邊形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，∴∠DBA=∠BAC=45°，由〔1〕得：AB=AD，∴∠DBA=∠BDA=45°，∴△ABD為直角邊為2的等腰直角三角形，∴BD2=2AB2，即BD=2，∴AD=DF=FC=AC=AB=2，∴BF=BD﹣DF=2﹣2．【點評】此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．37．〔2016?河南模擬〕如圖，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，此時線段A′B′與BO的交點E為BO的中點，求線段B′E的值．【分析】利用勾股定理列式求出AB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AO=A′O，A′B′=AB，再求出OE，從而得到OE=A′O，過點O作OF⊥A′B′于F，利用三角形的面積求出OF，利用勾股定理列式求出EF，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得A′E=2EF，然后根據(jù)B′E=A′B′﹣A′E代入數(shù)據(jù)計算即可得解．【解答】解：∵∠AOB=90°，AO=3，BO=6，∴AB==3，∵△AOB繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，∴AO=A′O=3，A′B′=AB=3，∵點E為BO的中點，∴OE=BO=×6=3，∴OE=A′O，過點O作OF⊥A′B′于F，S△A′OB′=×3?OF=×3×6，解得OF=，在Rt△EOF中，EF==，∵OE=A′O，OF⊥A′B′，∴A′E=2EF=2×=〔等腰三角形三線合一〕，∴B′E=A′B′﹣A′E=3﹣=．【點評】此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應用，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，以及三角形面積，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵．38．〔2016?馬山縣二?！橙鐖D，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)30°，得△A1BC1，A1B交AC于點E，A1C1分別交AC、BC于D、F兩點．〔1〕證明：△ABE≌△C1BF；〔2〕證明：EA1=FC；〔3〕試判斷四邊形ABC1D的形狀，并說明理由．【分析】〔1〕利用全等三角形的判定結(jié)合ASA得出答案；〔2〕利用全等三角形的性質(zhì)對邊相等得出答案；〔3〕首先得出四邊形ABC1D是平行四邊形，進而利用菱形的判定得出即可．【解答】〔1〕證明：∵等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)30°，得△A1BC1，∴AB=BC1=A1B=BC，∠ABE=∠C1BF，∠A=∠C1=∠A1=∠C，在△ABE和△C1BF中，，∴△ABE≌△C1BF〔ASA〕；〔2〕證明：∵△ABE≌△C1BF，∴EB=BF．又∵A1B=CB，∴A1B﹣EB=CB﹣BF，∴EA1=FC；〔3〕答：四邊形ABC1D是菱形．證明：∵∠A1=∠C=30°，∠ABA1=∠CBC1=30°，∠A1=∠C=∠ABA1=∠CBC1．∴AB∥C1D，AD∥BC1，∴四邊形ABC1D是平行四邊形∵AB=BC1，∴四邊形ABC1D是菱形．【點評】此題主要考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．39．〔2016?邵陽縣二模〕如圖，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，連接BE、CF相交于點D．〔1〕求證：BE=CF；〔2〕當α=90°時，求四邊形AEDC的面積．【分析】〔1〕先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，則根據(jù)"SAS〞證明△AEB≌△AFC，于是得到BE=CF；〔2〕先判斷△ABE為等腰直角三角形得到∠ABE=45°，則AC∥BE，同理可得AE∥CF，于是可證明四邊形AEDC為菱形，AF與BE交于點H，如圖，通過證明△AHE為等腰直角三角形得到AH=AE=，然后根據(jù)菱形的面積公式計算．【解答】〔1〕證明：∵△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△AEF，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴AB=AC=AE=AF，∠EAF+∠FAB=∠BAC+∠FAB，即∠EAB=∠FAC，在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC，∴BE=CF；〔2〕解：∵α=90°，即∠EAB=∠FAC=90°，∵AE=AB，∴△ABE為等腰直角三角形，∴∠ABE=45°，∴∠ABE=∠BAC，∴AC∥BE，同理可得AE∥CF，∵AE=AC，∴四邊形AEDC為菱形，AF與BE交于點H，如圖，∵∠EAF=45°，∴AH平分∠EAB，∴AH⊥BE，∴△AHE為等腰直角三角形，∴AH=AE=，∴四邊形AEDC的面積=AH?DE=×2=2．【點評】此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決〔1〕題的關(guān)鍵是證明△AEB≌△AFC．40．〔2016?吉林二模〕如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AB′C′D′，點C的對應點C′恰好落在CB的延長線上，邊AB交邊C′D′于點E．〔1〕求證：BC=BC′；〔2〕假設AB=2，BC=1，求AE的長．【分析】〔1〕連結(jié)AC、AC′，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠ABC=90°，即AB⊥CC′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；〔2〕根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC，∠D=∠ABC′=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BC′=AD′，AD=AD′，證得BC′=AD′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=D′E，設AE=*，則D′E=2﹣*，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：〔1〕連結(jié)AC、AC′，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC=90°，即AB⊥CC′，∵將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AB′C′D′，∴AC=AC′，∴BC=BC′；〔2〕∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC，∠D=∠ABC′=90°，∵BC=BC′，∴BC′=AD′，∵將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AB′C′D′，∴AD=AD′，∴BC′=AD′，在△AD′E與△C′BE中，，∴△AD′E≌△C′BE，∴BE=D′E，設AE=*，則D′E=2﹣*，在Rt△AD′E中，∠D′=90°，由勾股定理，得*2﹣〔2﹣*〕2=1，解得*=，∴AE=．【點評】此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的應用等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．41．〔2016?撫順縣二?！场?〕如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數(shù)．〔2〕如圖②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，點M，N是BD邊上的任意兩點，且∠MAN=45°，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH位置，連接NH，試判斷MN2，ND2，DH2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．〔3〕在圖①中，假設EG=4，GF=6，求正方形ABCD的邊長．【分析】〔1〕先根據(jù)AG⊥EF得出△ABE和△AGE是直角三角形，再根據(jù)HL定理得出△ABE≌△AGE，故可得出∠BAE=∠GAE，同理可得出∠GAF=∠DAF，由此可得出結(jié)論；〔2〕由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BAM=∠DAH，再根據(jù)SAS定理得出△AMN≌△AHN，故可得出MN=HN．再由∠BAD=90°，AB=AD可知∠ABD=∠ADB=45°，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；〔3〕設正方形ABCD的邊長為*，則CE=*﹣4，CF=*﹣6，再根據(jù)勾股定理即可得出*的值．【解答】解：〔1〕在正方形ABCD中，∠B=∠D=90°，∵AG⊥EF，∴△ABE和△AGE是直角三角形．在Rt△ABE和Rt△AGE中，，∴△ABE≌△AGE〔HL〕，∴∠BAE=∠GAE．同理，∠GAF=∠DAF．∴∠EAF=∠EAG+∠FAG=∠BAD=45°．〔2〕MN2=ND2+DH2．由旋轉(zhuǎn)可知：∠BAM=∠DAH，∵∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN．在△AMN與△AHN中，，∴△AMN≌△AHN〔SAS〕，∴MN=HN．∵∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°．∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．∴NH2=ND2+DH2．∴MN2=ND2+DH2．〔3〕由〔1〕知，BE=EG=4，DF=FG=6．設正方形ABCD的邊長為*，則CE=*﹣4，CF=*﹣6．∵CE2+CF2=EF2，∴〔*﹣4〕2+〔*﹣6〕2=102．解這個方程，得*1=12，*2=﹣2〔不合題意，舍去〕．∴正方形ABCD的邊長為12．【點評】此題考察的是幾何變換綜合題，涉及到三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識，難度適中．42．〔2016?泰州二?！吃谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，O為原點，點A〔﹣2，0〕，點B〔0，2〕，點E，點F分別為OA，OB的中點．假設正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α．〔1〕如圖①，當α=90°時，求AE′，BF′的長；〔2〕如圖②，當α=135°時，求證：AE′=BF′，且AE′⊥BF′；〔3〕直線AE′與直線BF′相交于點P，當點P在坐標軸上時，分別表示出此時點E′、D′、F′的坐標〔直接寫出結(jié)果即可〕．【分析】〔1〕利用勾股定理即可求出AE′，BF′的長．〔2〕運用全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)就可解決問題；〔3〕直線AE′與直線BF′相交于點P，當點P在坐標軸上時，α=180°，P與O重合，易求出點E′、D′、F′的坐標．【解答】解：〔1〕當α=90°時，點E′與點F重合，如圖①．∵點A〔﹣2，0〕點B〔0，2〕，∴OA=OB=2，∵點E