電與磁的相互作用

電與磁的相互作用第1頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一

§8-18-2電磁感應(yīng)及其基本規(guī)律

一、電磁感應(yīng)現(xiàn)象

(electromagneticinductionphenomenon)1.磁場相對于線圈或?qū)w回路改變大小和方向

2.線圈或?qū)w回路相對于磁場改變面積和取向

實驗表明，磁場相對于線圈或回路改變大小或方向，會在回路中產(chǎn)生電流，并且改變得越迅速，產(chǎn)生的電流越大。

實驗表明，導體回路相對于磁場改變面積和取向會在回路中產(chǎn)生電流，并且改變得越迅速，產(chǎn)生的電流越大。

第2頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一

只要穿過導體回路的磁通量發(fā)生變化，該導體回路中就會產(chǎn)生電流。

由磁通量的變化所引起的回路電流稱為感應(yīng)電流。在電路中有電流通過，說明這個電路中存在電動勢，由磁通量的變化所產(chǎn)生的電動勢稱為感應(yīng)電動勢。

電流與電動勢相比，電動勢具有更根本的性質(zhì)。

當穿過導體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中必定產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。把由于磁通量變化產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的現(xiàn)象，統(tǒng)稱為電磁感應(yīng)現(xiàn)象。第3頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一二、電磁感應(yīng)定律(electromagneticinductionlaw)

和

都是標量，其方向要與預(yù)先設(shè)定的標定方向比較而得；規(guī)定兩個標定方向滿足右螺旋關(guān)系

1.法拉第電磁感應(yīng)定律

如果回路有n匝線圈，各匝為1,2,…,n，那么

=1+2+…+n

導體回路中感應(yīng)電動勢的大小與穿過該回路的磁通量的時間變化率成正比。如果每匝

都相等于，則

n第4頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一2.楞次定律(Lenzlaw)

閉合回路中感應(yīng)電流的方向，總是使得它所激發(fā)的磁場阻礙引起感應(yīng)電流的磁通量的變化的。感應(yīng)電流的效果總是反抗引起感應(yīng)電流的原因的。

楞次定律的后一種表述可以方便判斷感應(yīng)電流所引起的機械效果的問題?！白璧K”或“反抗”是能量守恒定律在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的具體體現(xiàn)。

磁棒插入線圈回路時，線圈中感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場阻礙磁棒插入，若繼續(xù)插入則須克服磁場力作功。感應(yīng)電流所釋放出焦耳熱，是插入磁棒的機械能轉(zhuǎn)化來的。

ε第5頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一三、感應(yīng)電動勢(inductionelectromotiveforce)

導體在磁場中運動所產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢。

作用于自由電子的洛倫茲力f=evB是提供動

生電動勢的非靜電力，該力所對應(yīng)

的非靜電性電場就是作用于單位正

電荷的洛倫茲力。1.動生電動勢

abεabf在運動導體上產(chǎn)生的動生電動勢為

注意：不要求回路；在磁場中運動的導體；導線運動必須切割磁感應(yīng)線。

第6頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一對電荷有作用力。

若有導體存在能形成電流。

感生電場電場線不是有頭有尾，是閉合曲線。對電荷有作用力。

若有導體存在能形成電流。靜電場電場線起于正電荷止于負電荷，是有頭有尾的曲線。保守力、保守場。非保守力、有旋場。2.感生電動勢

導體不動，而由于磁場的大小或方向變化所產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，稱為感生電動勢。變化的磁場能夠在空間激發(fā)一種電場，稱為渦旋電場或感應(yīng)電場，不是保守場，是非靜性電場，產(chǎn)生感生電動勢。

由變化的磁場激發(fā)。由靜止的電荷激發(fā)。第7頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一

一般情況下空間可能同時存在靜電場EC和渦旋電場EW，總電場E=EC+EW,稱為全電場。

若用EW表示渦旋電場的電場強度，W為閉合回路中產(chǎn)生的感生電動勢

感生電動勢的產(chǎn)生同樣不要求電路閉合，對于處于渦旋電場EW中的一段導線ab中產(chǎn)生的感生電動勢可以表示為

第8頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一全電場的環(huán)路積分為

根據(jù)矢量分析的斯托克斯定理[見附錄(二)]，應(yīng)有

渦旋電場在變化磁場周圍空間產(chǎn)生，不管是真空、電介質(zhì)還是導體；但感生電動勢必須在導體中才能產(chǎn)生，同樣不要求導體是閉合電路。

電磁感應(yīng)定律的微分形式第9頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一ωLO例

1:長為L的導體棒在垂直于均勻磁場的平面上以角速度

沿逆時針方向作勻速轉(zhuǎn)動，

求感應(yīng)電動勢？或者用法拉第電磁感應(yīng)定律Bdl解:l處取棒元dl,由動生電動勢公式動生電動勢的方向由端點指向圓心,O點帶正電。l第10頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一例2：半徑為R的柱形區(qū)域勻強磁場，方向如圖。

磁感應(yīng)強度B的大小正以速率(=dB/dt)在增加，求空間渦旋電場的分布。

解:取沿順時針方向作為感生電動勢和渦旋電場的標定方向，磁通量的標定方向則垂直于紙面向里。回路各點上EW的大小都相等，方向沿圓周的切線。解得:EW=負號表示渦旋電場實際方向與標定方向相反，即沿逆時針方向。

2rEW=r2BROr在r<R區(qū)域作圓形回路=r2B,第11頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一在r>R區(qū)域作圓形回路，磁通量為=R2B

可見，雖然磁場只局限于半徑為R的柱形區(qū)域，但所激發(fā)的渦旋電場卻存在于整個空間。積分得

方向也沿逆時針方向。BROrr代入第12頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一例3：金屬桿以速度v平行于長直導線移動，求桿中的感應(yīng)電流多大，哪端電勢高？解:建立坐標系如圖，取積分元dx,由安培環(huán)路定理知在dx處磁感應(yīng)強度為：x因為：dx處動生電動勢為金屬桿電動勢式中負號表明左端電勢高。vdLIdx第13頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一例4：求在均勻變化的磁場中鋁圓盤內(nèi)的感應(yīng)電流。drrB與盤面垂直且dB/dt=kr圓環(huán)電阻和感應(yīng)電流為：整個圓盤上的感應(yīng)電流為：解:取半徑為r，寬度為dr,高度為b的圓環(huán)：bdrbadB/dt第14頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一例5：在半徑為R的圓柱形空間存在均勻磁場

B,其隨時間的變化率dB/dt為常數(shù)，

求磁場中靜止金屬棒上的感應(yīng)電動勢。解：自圓心作輔助線，與金屬棒構(gòu)成三角形，

其面積為

S：過S的磁通量為該回路感應(yīng)電動勢所以以上結(jié)果就是金屬棒的感應(yīng)電動勢。由于BRdB/dtoALS而輔助線上

的積分第15頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一

例6：電流為I=I0coswt的長直導線附近有一與其共面的矩形線框,其ab邊可以速度v無摩擦地勻速平動,設(shè)t=0時ab與dc重合,求線框的總感應(yīng)電動勢。解：設(shè)t時刻I>0,空間磁場為方向指向紙面，cb邊長為

l2=vt穿過線框的磁通量為：l2drIabcdl0l1v第16頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一

本題是既有感生電動勢又有動生電動勢的例子，上式中第一項為感生電動勢，第二項為動生電動勢。若令t＝0，則僅有動生電動勢一項。t

時刻的感應(yīng)電動勢為：第17頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一點擊深色鍵返回原處→(M.Faraday,1791—1867)第18頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一19§8-3互感和自感

一、互感現(xiàn)象(mutualinductionphenomenon)

互感現(xiàn)象：一個線圈中電流發(fā)生變化會在周圍空間會產(chǎn)生變化的磁場，使處于此空間的另一個線圈中會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。線圈2中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢

12=M12I1；M12是線圈1對線圈2的互感系數(shù)，簡稱互感。

212I2I1B1B2第19頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一2012I2I1B1B2

在線圈的形狀、大小和相對位置保持不變，且周圍不存在鐵磁質(zhì)的情況下，互感M12為常量，上式化為2=

同樣通有電流I2的線圈2在空間產(chǎn)生磁場B2，B2在線圈1中產(chǎn)生的磁通量為21，并且21正比于I2，21=M21I2,電流I2變化，1中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢1=

2和1稱為互感電動勢，方向可按照楞次定律確定。第20頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一21

互感單位是H(亨利)：1H=1WbA-1=1VsA-1,多采用mH(毫亨)或H(微亨)：1H=103mH=106H。

當線圈內(nèi)或周圍空間沒有鐵磁質(zhì)時，互感M由線圈的幾何形狀、大小、匝數(shù)和相對位置所決定，若存在非鐵磁質(zhì)，還與磁介質(zhì)的磁導率有關(guān)，但與線圈中電流無關(guān)；當線圈內(nèi)或周圍空間存在鐵磁質(zhì)時，互感除與以上因素有關(guān)外，還決定于線圈中的電流。

互感應(yīng)用：無線電和電磁測量。電源變壓器,中周變壓器,輸入輸出變壓器,電壓互感器,電流互感器?；ジ形：Γ弘娐烽g互感干擾。理論和實驗都可以證明M21=M12。第21頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一22二、自感現(xiàn)象(self-inductionphenomenon)

自感現(xiàn)象：當一個線圈中的電流變化時，激發(fā)的變化磁場引起了線圈自身的磁通量變化，從而在線圈自身產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。所產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢稱為自感電動勢。

線圈中電流I發(fā)生變化，自身磁通量也相應(yīng)變化，在線圈中將產(chǎn)生自感電動勢。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，自感電動勢

I1

過線圈的磁通量與線圈自身電流成正比：=LI,L為自感系數(shù)，簡稱自感。第22頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一23

當線圈的大小和形狀保持不變，且附近不存在鐵磁質(zhì)時，自感L為常量

自感應(yīng)用：日光燈鎮(zhèn)流器；高頻扼流圈；自感線圈與電容器組合構(gòu)成振蕩電路或濾波電路。=

自感單位也是H(亨利)與互感相同。自感危害：電路斷開時，產(chǎn)生自感電弧。

通電后，啟輝器輝光放電，金屬片受熱形變互相接觸，形成閉合回路，電流流過，日光燈燈絲加熱釋放電子。同時，啟輝器接通輝光熄滅，金屬片冷卻斷開，電路切斷，鎮(zhèn)流器線圈中產(chǎn)生比電源電壓高得多的自感電動勢，使燈管內(nèi)氣體電離發(fā)光。

第23頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一24MDAB感應(yīng)圈：

在實際應(yīng)用中常用兩個同軸長直螺線管之間的互感來獲得高壓。

如圖中所示：在硅鋼鐵芯上繞有N1、N2

的兩個線圈，且N2>>N1,由斷續(xù)器（MD)將N1與低壓電源連接，接通電源后，斷續(xù)器使N1中的電流反復通斷，通過互感獲得感應(yīng)電動勢，從而在次極線圈N2中獲得達幾萬伏的高壓。

例如：汽車和煤氣爐的點火器、電警棍等都是感應(yīng)圈的應(yīng)用。第24頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一25

例1：如圖所示，一長度為l的直螺線管橫截面積為S，匝數(shù)為N1。在此螺線管的中部，密繞一匝數(shù)為N2的短線圈，假設(shè)兩組線圈中每一匝線圈的磁通量都相同。求兩線圈的互感。

解:如果在線圈1中通以電流I1，則在線圈中部產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為磁場在線圈2中產(chǎn)生的磁通量為所以兩線圈的互感為第25頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一26例2：一長度為l、截面積為S的長直螺線管，密繞線圈的總匝數(shù)為N，管內(nèi)充滿磁導率為的磁介質(zhì)。求此螺線管的自感。解：在長直螺線圈管內(nèi)部的磁場可以認為是均勻的，并無限長螺線管內(nèi)磁感應(yīng)強度的公式通過每匝磁通量相等第26頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一27

單位長度上的匝數(shù)表示為n=N/l，將螺線管的體積表示V=Sl，則=n2IV所以螺線管的自感為

自感與線圈的體積成正比，與單位長度上匝數(shù)的平方成正比，還與介質(zhì)的磁導率成正比?？偞磐繛榈?7頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一28例3：求無限長直導線和矩形線框的互感系數(shù)。由互感系數(shù)的定義：對圖（2）：由于長直導線磁場的對稱性，通過矩形線框的磁通量為零，所以它們的互感系數(shù)為零。（2）

IbaLI

（1）解：對圖（1）有：第28頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一29K1BXK2

§8-3B磁場的能量

電容器充電以后儲存了能量，當極板電壓為U時儲能為：電場能量密度的一般表示式

從螺繞環(huán)磁場能量特例中導出磁場能量的一般表示式。與此相似，磁場也具有能量。tiIOt0t1t2i(t)i'(t)第29頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一30在從0到t0這段時間可以列出方程

+L=iR

上式兩邊同乘以idt得左邊電源作的功，右邊第二項回路中的焦耳熱。右邊第一項是電源提供給螺繞環(huán)的磁場能量。

dt時間內(nèi)電源提供給螺繞環(huán)磁場能量為inlSdB，供給單位體積的磁場能量則為indB，根據(jù)安培環(huán)路定理即可求得環(huán)內(nèi)的磁場強度為H=ni，所以磁場能量密度為：自感電動勢寫為一般形式L

=

=

idt=inlSdB+i2Rdt第30頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一31整個磁場的能量為:

磁場能量密度的一般表達式，適用于真空和任何各向同性的磁介質(zhì)。對于各向同性的順磁質(zhì)和抗磁質(zhì)，B=0rH

第31頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一32因為螺繞環(huán)的自感可表示為L=n

2lS,磁場能量與電路自感相聯(lián)系稱為自感磁能。

如果磁芯是用各向同性的順磁質(zhì)或抗磁質(zhì)做成的，當電流達到穩(wěn)定值I時，磁場能量為

電磁場的能量密度電磁場的總能量:第32頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一33例1：同軸電纜兩半徑分為R1和R2，充滿磁導率為的磁介質(zhì)，內(nèi)、外圓筒通有反向電流I。求單位長度電纜的磁場能量和自感系數(shù)。磁場能量也只儲存在兩圓筒導體之間的磁介質(zhì)中。

解:對于這樣的同軸電纜，磁場只存在于兩圓筒狀導體之間的磁介質(zhì)內(nèi)，由安培環(huán)路定理可求得磁場強度的大小為第33頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一34電纜自感只決定于自身結(jié)構(gòu)和所充磁介質(zhì)磁導率。磁場能量密度為單位長度電纜自感長度為l的一段電纜所儲存的磁場能量為第34頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一35一、位移電流(displacementcurrent)§8-4麥克斯韋電磁理論麥克斯韋認為高斯定理適用恒靜和非恒靜情況。

四個方程存在不對稱性：變化磁場可以激發(fā)電場，變化的電場不具有與變化的磁場相當?shù)牡匚弧２粚ΨQ性與安培環(huán)路定理的局限性是同一個問題。電場環(huán)路定理磁場的高斯定理安培環(huán)路定理高斯定理第35頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一36

判斷環(huán)路是否包圍電流的標準，看電流與以該環(huán)路為邊界的任一曲面是否有奇數(shù)個截點，若有，就認為環(huán)路包圍該電流，否則就不包圍該電流。

電流恒定條件(即傳導電流的連續(xù)性方程)保證穿過任意以L為邊界的曲面的電流都等于傳導電流I0

。

傳導電流的連續(xù)性保證了安培環(huán)路定理在恒靜情況下的正確性。

環(huán)路L包圍電流I0(電流密度為j0)，對于以同一環(huán)路L為邊界的任意兩個曲面S1和S2必有第36頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一37在非恒靜情況下出現(xiàn)矛盾。電容器充電的情形。

在非恒靜情況下，對于同一環(huán)路L得到了兩個不同的結(jié)果。安培環(huán)路定律不適用。由于傳導電流不連續(xù)導致非恒靜條件下出現(xiàn)矛盾。ABI

在電容器構(gòu)成放電回路中由安培環(huán)路定理:S2

S1IL對曲面S1：對曲面S2：第37頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一38電流連續(xù)性方程將高斯定理代入，得整理改寫為

麥克斯韋把稱為位移電流密度，把稱為全電流密度，分別用jd和j表示，即

全電流的連續(xù)性，傳導I與位移I之和連續(xù)，傳導I中斷有等量位移電流接續(xù)。第38頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一39傳導電流要激發(fā)磁場，位移電流也要激發(fā)磁場。適用于一般情況的安培環(huán)路定理微分形式

右邊第二項是極化電荷的變化引起的位移電流。第一項是電場變化貢獻的位移電流，是位移電流的基本組成部分。真空中為位移電流的惟一成分。位移電流位移電流并不一定與電荷的移動相對應(yīng)。

第39頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一40例1：半徑為R的圓形平板電容器，充電時的傳導電流為Ic,求：1．兩極板間的位移電流。2．極板間距離軸線為r處的磁感強度。rRIcIc+Q-Q解:以半徑r作平行于極板的圓形回路，兩極板間電位移為D=σ，電位移通量：因為：所以：第40頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一41由全電流安培環(huán)路定理：

由于電容器極板間為空氣，兩板間距軸線為r的p點處磁感應(yīng)強度：聯(lián)立前兩式得到：第41頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一42二、麥克斯韋方程組(Maxwell’sequations)

以上四個方程式是普遍情況下電磁場所滿足的基本方程式，稱為麥克斯韋方程組。電場環(huán)路定理磁場的高斯定理高斯定理安培環(huán)路定理第42頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一43麥克斯韋方程組的微分形式是

麥克斯韋方程組是研究電磁場問題的可靠理論工具。

麥克斯韋方程組不僅適用于恒靜的和緩變的電磁場，電磁波的實驗事實表明，它對于快速變化的電磁場也是適用的。第43頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一44

處理具體問題時，會遇到電磁場與物質(zhì)的相互作用，必須補充描述物質(zhì)電磁性質(zhì)的方程式

只適用于真空和各向同性的介質(zhì),在各向異性的介質(zhì)中不成立。麥克斯韋方程組邊界條件D1n=D2n,E1t=E2t,B1n=B