數(shù)學(xué)必修一一元二次方程根的分布精華

一元二次方程根的分布(fēnbù)第一頁，共19頁。1Δ=b2－4ac

Δ>0

Δ=0

Δ<0

二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集有相異(xiānɡyì)兩實根x1,x2(x1<x2)有相等(xiāngděng)兩實根x1＝x2＝－b/2a沒有(méiyǒu)實根x<x1或x>x2x≠－b/2aRx1<x<x2ΦΦ一元二次函數(shù)，一元二次方程，一元二次不等式之間的關(guān)系第二頁，共19頁。2例：x2+〔m-3)x+m=0求滿足以下條件(tiáojiàn)的m的范圍.

一元二次方程ax2+bx+c=0〔a>0〕的根的分布(fēnbù)〔1〕兩個(liǎnɡɡè)正根解：(方法一常利用韋達定理和判別式來解){m|0<m≤1}第三頁，共19頁。3法二：可借助二次函數(shù)圖象(túxiànɡ)來研究求解(函數(shù)法〕解.設(shè)f(x)=x2+(m-3)x+m那么:yx0f(0)>0Δ=(m-3)2-4m≥0-m-32>0{m|0<m≤1}一元二次方程ax2+bx+c=0〔a>0〕的根的分布(fēnbù)第四頁，共19頁。4方程(fāngchéng)有兩個正根代數(shù)方法方程兩根都大于m(m=0)幾何(jǐhé)方法結(jié)論(jiélùn)第五頁，共19頁。5

〔2〕有兩個(liǎnɡɡè)負根一元二次方程ax2+bx+c=0〔a>0〕的根的分布(fēnbù)解：法一例：x2+〔m-3)x+m=0求滿足以下(yǐxià)條件的m的范圍.代數(shù)方法第六頁，共19頁。6法二：設(shè)f(x)=x2+(m-3)x+m那么(nàme)f(0)>0Δ=(m-3)2-4m≥0-m-32<0{m≥9}y0x一元二次方程ax2+bx+c=0〔a>0〕的根的分布(fēnbù)幾何(jǐhé)方法第七頁，共19頁。72方程(fāngchéng)有兩個負根方程(fāngchéng)兩根都小于m〔m=0)代數(shù)(dàishù)方法幾何方法第八頁，共19頁。8

〔3〕兩個(liǎnɡɡè)根都小于1一元二次方程ax2+bx+c=0〔a>0〕的根的分布(fēnbù)解:設(shè)f(x)=x2+(m-3)x+m那么(nàme)y01x例：x2+〔m-3)x+m=0求滿足以下條件的m的范圍.第九頁，共19頁。93.方程(fāngchéng)兩根都小于m容易記錯，經(jīng)?？挤匠?fāngchéng)兩根都小于m第十頁，共19頁。10

一元二次方程ax2+bx+c=0〔a>0〕的根的分布(fēnbù)（4）兩個根都大于解:設(shè)f(x)=x2+(m-3)x+my012x例：x2+〔m-3)x+m=0求滿足(mǎnzú)以下條件的m的范圍.第十一頁，共19頁。11方程(fāngchéng)兩根都大于m4.方程(fāngchéng)兩根都大于m第十二頁，共19頁。12〔5〕一個(yīɡè)根大于1，一個(yīɡè)根小于1一元二次方程ax2+bx+c=0〔a>0〕的根的分布(fēnbù)解:設(shè)f(x)=x2+(m-3)x+m那么(nàme)f(1)=2m-2<0y01x例：x2+〔m-3)x+m=0求滿足以下條件的m的范圍.第十三頁，共19頁。135.方程(fāngchéng)一根大于m另一根小于m〔開口向上(xiàngshàng)〕方程一個根大于m另一根小于m第十四頁，共19頁。14

〔6〕兩個(liǎnɡɡè)根都在〔0,2〕內(nèi)一元二次方程ax2+bx+c=0〔a>0〕的根的分布(fēnbù)解:設(shè)f(x)=x2+(m-3)x+m那么(nàme)y02x例：x2+〔m-3)x+m=0求滿足以下條件的m的范圍.第十五頁，共19頁。156.方程(fāngchéng)兩根都大于m且都小于n即兩個根都在〔m,n〕內(nèi)〔開口(kāikǒu)向上〕第十六頁，共19頁。16一元二次方程ax2+bx+c=0〔a>0〕的根的分布(fēnbù)一般(yībān)情況兩個(liǎnɡɡè)根都小于K兩個根都大于K一個根小于K，一個根大于Kyxkkkf(k)<0yxyx第十七頁，共19頁。17

一元二次方程ax2+bx+c=0〔a>0〕的根的分布(fēnbù)一般(yībān)情況兩個根有且僅有一個在（k.k)內(nèi)12x1∈(m