2020年高考文科數(shù)學《數(shù)列》題型歸納與訓練

#2020年高考文科數(shù)學《數(shù)列》題型歸納與訓練【題型歸納】題型一等差數(shù)列的基本運算TOC\o"1-5"\h\z例1(1)等差數(shù)列｛a｝的首項為1,公差不為0.若a,a,a成等比數(shù)列，則｛a｝前6項的和為()n 236 nA.-24 B.-3 C.3 D.8(2)設(shè)｛a｝為等差數(shù)列，公差d=-2,S為其前n項和，若S=S，則a=()n n 10 11 1A．18 B．20 C．22 D．24(3)設(shè)等差數(shù)列｛a ｝的前n項和為S,S =-2,S=0,S =3,則m =()n n m-1 m m+1A．3 B．4 C．5 D．6(4)等差數(shù)列｛a｝前9項的和等于前4項的和.若a=1,a+a=0，則k=.n 1 k4【答案】(1)A(2)B (3)C(4)10【解析】(1)設(shè)｛a｝的公差為d(d豐0)，由a2=aa，得(1+2d)2=(1+d)(1+5d),n 3 26一一一6x5 一所以d=—2,S=6x1+ x(―2)=-24.選A.62(2)由S=S，得a=S-S=0,a=a+(1-11)d=0+(-10)x(-2)=20.10 11 11 11 10 1 11m(a+a)(3)有題意知S= 1-■-m-=0，.二a=-a=-(S-S)=-2,m 2 1m m m-1a=S-S=3，.二公差d=a-a=1,A3=a=-2+m，.二m=5，故選C.m+1 m+1 m m+1 m m+1(4)設(shè)｛a｝的公差為d，由S=S及a=1,n 9419x8 4x3 1得9x1+ d=4x1+ d，所以d=--.又a+a=0,2 2 6 k411所以[1+(k-1)x(-)]+[1+(4-1)x(-)]=0,即k=10.

66【易錯點】等差數(shù)列求和公式易記錯【思維點撥】等差數(shù)列基本運算的解題方法(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a,a,d,n,S，知其中三個就能求另外兩個，體1n n

現(xiàn)了用方程的思想來解決問題．（2）數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而。1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．已知2已知2a=1+2a，則數(shù)列匕｝前10項的和為.n+1 n n例1在數(shù)列｝中，若a=—2，n15【答案】-乙455，455，S=10a+45d=—20+——二—ioi 2 2【解析】由已知可得a—a=-n+1n2例2已知數(shù)列｝滿足a=1,a=2n+1an（neN）n 1 n+1a+2n +n一…，「2；,（1）證明數(shù)列I—:為等差數(shù)列；n（2）求數(shù)列｛a｝的通項公式.n【答案】見解析TOC\o"1-5"\h\z2n+1 2n a+2n 2n - 2n 一 一【解析】（1）————=f————=1,所以數(shù)列I—｝是首項為2，公差為1的等差數(shù)列.a aa a IaJn+1 n n n n（2）由（1）知—=2+（n—1）=n+1，所以a= .a nn+1n例3若數(shù)列金加勺前n項和為S，且滿足a+2SS=0（n>2），a=1.n n nnn—1 12一1……一（1）求證：|不:成等差數(shù)列;ISJn（2）求數(shù)列金加勺通項公式.n【答案】見解析【解析】（1）證明當n>2時，由a+2SS=0，nnn—111得11得S—S =—2SS ，所以———=2，n n—1 nn—1 SSnn—11 ，…- ，…一，，故|丁:是首項為2，公差為2的等差數(shù)列.ISJn11⑵解由⑴可得二二2n，.??s;五?1當n=1時，a1當n=1時，a=大不適合上式.12當n>2時，二S—Snn-11、2n（n-1）—n>2TOC\o"1-5"\h\z【易錯點】忘記寫：當n>2時或者不知道使用：a=S-Snn n-1【思維點撥】等差數(shù)列的證明方法：（1）定義法：a-a=d（ngN*）或a-a=d（ngN*,n>2）n｛a｝為等差數(shù)列.n+1 n n n-1 n（2）等差中項法：2a=a+aQgN*）n｛a｝為等差數(shù)列.n+1 n n+2 n（3）通項法：a=An+B（A,B為常數(shù)）n｛a｝為等差數(shù)列.nn（4）前N項和法：S=An2+Bn（A,B為常數(shù)）n｛a｝為等差數(shù)列.nn題型三等差數(shù)列前n項和及其最值TOC\o"1-5"\h\z例1（1）等差數(shù)列｛a｝的前n項和為S,已知a=13，S=S，當S最大時，n的值是（）n n 1 3 11 nA.5 B.6 C.7 D.8（2）若等差數(shù)列｛a｝滿足a+a+a>0，a+a<0，則當n=時｛a｝的前n項和最大.n 7 8 9 7 10 n【答案】⑴C （2）8【解析】（1）由S=S，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a+a=0.根據(jù)首項等于13可推知這個數(shù)列遞減，3 11 7 8從而得到a>0,a<0，故n=7時S最大.78 n（2）\?數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，且a+a+a=3a>0,a>0.又n 789 8 8a+a=a+a<0，,a<0.當n=8時，其前n項和最大.7 10 8 9 9【易錯點】求最值的時候計算出錯，以及去掉絕對值求和時也易出錯?！舅季S點撥】求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：（1）利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負轉(zhuǎn)折項；（2）利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值；（3）將等差數(shù)列的前n項和S=An2+Bn（A,B為常數(shù)）看作二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.n題型四等比數(shù)列的基本運算例1⑴等比數(shù)列｛?！ǎ凉M足曠3,。1+4+a5=21，則4+4+a7=()A．21 B．42 C．63 D．84⑵等比數(shù)列｛”的前n項和為「已知S3=a2+10al，a5=9，則ai=()1 11A3 B—3 C9 D-(3)已知數(shù)列｛a｝為等比數(shù)列，S是是它的前n項和，若a?a=2a，且a與2a的等差中項為5,n n 23 1 4 7 4則S=()5A-35B-33C-3l D-29S(4)設(shè)s為等比數(shù)列｛a｝的前n項和，8a+a=0則t=()n n 25 S2A-－11 B-－8 C-5 D-11【答案】(1)B(2)C (3)C(4)A【解析】(1)由于a(1+q2+q4)=21,1ai=3，所以q4+q2-6=0，所以q2=2(q2=一3舍去),所以a3=6，a=12,a=24，所以a+a+a=42.5 7 357(2)設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為q,

n?/S=a+10a，.二a+a+a=a+10a,32 1 1232 1即a=9a,31q2=9，由a=9，即aq4=9，,a=1.5 1 19⑶設(shè)｛aj的公比為q,則由等比數(shù)列的性質(zhì)知,a2-a3=a1-a4=2a1，5即a4=2.由a4與2a7的等差中項為4知，a+2a=2x—,

4 7 415 1 a..a=—(2X——a)=—./,q3=T7 2 4 4 4 "a41即q=_a=aq3=a241 1x1=2X乙，816(1-25)a=16,S= ；—=31.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 51——2(4)通過8a+a=0，設(shè)公比為q，將該式轉(zhuǎn)化為8a+aq3=0,25 22S 1—q51+32 「解得q=—2,所以-5= = =-11.S 1—q2 1—4【易錯點】等比數(shù)列求和公式易記錯【思維點撥】等比數(shù)列基本運算的解題方法(1)等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a,a,d,n,S，知其中三個就能求另外兩個，體1n n現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.題型五等比數(shù)列的判定與證明例1已知數(shù)列&｝滿足a題型五等比數(shù)列的判定與證明例1已知數(shù)列&｝滿足a=1,n1a=3a+1.證明｛+1｝是等比數(shù)列，并求&｝的通項公式;

n+1 n n2 n【答案】見解析11【解析】由a=3a+1得a+=3(a+-).n+1 n n+12n21 3 | 1I 3又a+=-，所以|a+三｝是首項為X，公比為3的等比數(shù)歹人122 In2I 21 3n1 3n+—=—2 2因此｛a｝的通項公式為ann【易錯點】等比數(shù)列的定義證明方法【思維點撥】證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用方法：TOC\o"1-5"\h\z(1)定義法：—=q(常數(shù))(neN*)或屋=q(常數(shù))(neN*,n>2)n{a}為等比數(shù)列.

aa nn n—1(2)等比中項法：a2=aaCeN*^n{a}為等比數(shù)列.n+1 nn+2 n(3)通項法：a=aqn-1(a中0,q中0)n{a}為等比數(shù)列.n1 1 n

題型六等差數(shù)列等比數(shù)列求前n項和例1在等比數(shù)列｛〃J中，。2=3，a5=81.⑴求a；n(2)設(shè)b=loga，求數(shù)列｛b｝的前n項和S.n 3n n n【答案】見解析【解析】(1)設(shè)｛【解析】(1)設(shè)｛a｝的公比為q，依題意得

nIaq=3 Ia=1[a1q，=81，解得[q=3，因此，丫3i. - - 一、 - . - - 一、 - n(b+b)n2-n(2)因為b=loga=n-1,?,.數(shù)列ij｛b｝的前n項和S=一片=^―n 3n n n 2 2例2已知等差數(shù)列｛a｝和等比數(shù)列｛b｝滿足a=b=1,a+a=10,bb=an n 1 1 2 4 24 5(1)求｛a｝的通項公式；n(2)求和：b+b+b+Ab.135 2n-1【答案】見解析【解析】(1)設(shè)｛a｝的公差為d，由a=1,a+a=10，得d=2，所以a=2n-1.n 1 24 n(2)由(1)知a=9.設(shè)｛b｝的公比為q，由b=1,bb=a，得，所以q2=3,5 n 1 24 5所以也n1是以b1=1為首項,八q2=3為公比的等比數(shù)列u，所以b+所以b+b+b+Ab1 3 5 2n-114-3n)3n-11-3【易錯點】等比數(shù)列求和時項數(shù)的確定【思維點撥】(1)數(shù)列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項.(2)通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差或等比或可求數(shù)列前n項和的數(shù)列來求之.題型七分組轉(zhuǎn)化法求和例1 在等差數(shù)列｛a｝中，a=4，a+a=15.n 2 47(1)求數(shù)列｛a｝的通項公式；n(2)設(shè)b=2a-2+n，求b+b+b+L+b的值.n 1 2 3 10

【答案】見解析t Ia+d=4 a=3【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列3J的公差為d.由已知得《/ 《,解得〈」】.n |la+3dHia+6d)=15 Id=1i i '所以a=a+(n-1)d=n+2ineN*).n1(2)由(1)可得b=2n+n,n所以b+b+b+L+b=(2+1)+Q2+2)+Q3+3)+L+Q10+10)=102+22+23+L+210)+(2+22+23+L+210TOC\o"1-5"\h\z2(1—210)(1+10)x10( ) + =V211-2)+55=211+53=21011-2 2【易錯點】通項求錯以及等比數(shù)列的求和公式記錯【思維點撥】若數(shù)列｝的通項公式為c=a土b，且(a｝,弘｝為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法n nnn n n求數(shù)列《｝的前n項和.n題型八裂項相消法求和例1已知等差數(shù)列｛a｝滿足：a=7,a+a=26,｛a｝的前n項和為S.n 3 5 7 n n(1)求a及S；nn(2)令b=-1-(neN*)求數(shù)列｛b｝的前n項和T.na2—1 n nn【答案】(1)a【答案】(1)an=2n+1Sn=n2+2n(2)T=nn4(n+1)【解析】略【易錯點】裂項時易出錯，解不等式時也易出錯【思維點撥】(1)利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項.(2)將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等.

【鞏固訓練】題型一等差數(shù)列的基本運算a1=2，貝|a5=().記S.為等差數(shù)歹雙叩的前n項和，若3a1=2，貝|a5=()A.-12 B.—10 C.10 D.12??.3S=S-a??.3S=S-a+S+a,

33334【解析】設(shè)等差數(shù)歹U｛an｝的公差為d,V3S3=S2+S4...S=a-a,...S=a-a,3433a+ d=d12Va=2，.二d=-3，.二a=a+4d=2+4X(-3)=-10.故選B.1 51.已知｛a｝為等差數(shù)列，其公差為-2，且a是a與a的等比中項，S為｛a｝的前n項和，neN*，則n 739 nnS的值為()10TOC\o"1-5"\h\zA.－110 B.－90 C.90 D.110【答案】D【解析】【解析】因為a是a與a的等比中項，所以a2=aa,又數(shù)列U｛a｝的公差為-2,所以

7 3 9 7 39 n\o"CurrentDocument"(a-12)2=(a-4)(a-16)，解得a=20,1 11 110(a+a)故a=20+(n-1)x(-2)=22-2n，所以S= 1 10—=5x(20+2)=110.\o"CurrentDocument"n 10 2題型二等比數(shù)歹的基本運算1.已知數(shù)列｛a｝為等比數(shù)列，S是是它的前n項和，若a?a=2a，且a與2a的等差中項為5，則S=n n 23 1 4 7 4 5A.35【答案】A.35【答案】BB.33 C.3l D.29【解析】設(shè)｛aj的公比為q,則由等比數(shù)列的性質(zhì)知,a2-a3=a1-a4=2a1，a+2a=2x—,

4 7 4即a4=2.由a+2a=2x—,

4 7 4TOC\o"1-5"\h\z15 1「.a=—(2X—-a)=—72 44 4a1 1；.q3=7=—,即q=—.a8 24i "25)a—aq3—ax-=2,a-16S= —4 1 18 1 5 11——2=31.2.等比數(shù)列｛a｝的各項均為實數(shù)，其前n項的和為S,nn已知S3-463，S6-T，則a8=【答案】32，、 S1-q6 a(1—q3)7【解析】設(shè)｛a｝的公比為q，由題意q豐1，由-6— —1+q3=9,所以q=2，由S-t-n S1-q3 3 1-q 431得a1-41所以a—aq7=x27—25—3281 43.已知數(shù)列U｛a｝是遞增的等比數(shù)列U,

na1+a4=9,a2a3-8,則數(shù)列｛an｝的前幾項和等于 【答案】2n-1【解析】由題意,a+a—91 4 。，解得a-1,a-8或a-8,a—1，而數(shù)列｛a｝是遞增的等比數(shù)列，a?a-a?a-8 1 4 1 4 n23 14所以彳=1,a4-8，a a(1-qn)1-2n即q3-f-8，所以q=2,因而數(shù)列｛a｝的前n項和S=十 -~T~V=2n-1.a n n1-q 1-21題型三等差(比)數(shù)列的判定與證明1.已知數(shù)列｛a｝中，a=2,a=2- (n>2).設(shè)b——二，求證：數(shù)列%｝是等差數(shù)列.n1na na-1 n\o"CurrentDocument"n-1 n【答案】見解析【解析】證明：b-b- --1--1，二%｝是首項為b-1,公差為1的等差數(shù)列.nn-1a-1a-1 n 1n n-1題型四等差數(shù)列前n項的最值1.記S為等差數(shù)列｛a｝的前n項和，已知a--7,S--15.

n n 13(1)求｛a｝的通項公式;n(2)求S，并求S的最小值.nn【答案】見解析【解析】⑴設(shè)｛a｝的公差為d，由題意得3a+3d=—15.n1由a=-7得d=2.所以｛a｝的通項公式為a=2n—9.1 nn(2)由(1)得S=n2-8n=(n—4)2—16.所以當n=4時，S取得最小值，最小值為—16.nn.若等差數(shù)列｛a｝滿足a+a+a>0,a+a<0，則當n=_時｛a｝的前n項和最大.TOC\o"1-5"\h\zn 7 8 9 7 10 n【答案】n=8【解析】二?數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，且a+a+a=3a>0,a>0.又n 789 8 8a+a=a+a<0，,a<0.當n=8時，其前n項和最大.7 10 8 9 9.在等差數(shù)列｛a｝中，a=7，公差為d，前n項和為S，當且僅當n=8時S取最大值，則d的取值范n1 n n圍 .7【答案】(-1,--)8fd<07【解析】由題意可知，當且僅當n=8時S取最大值，可得｛a>0，解得—1<d<--.n 8 8a<09題型五數(shù)列的求和1.已知｛a｝是等差數(shù)列，滿足a=3,a=12,數(shù)列仍｝滿足b=4,b=20,且｛b—a｝為等比數(shù)列.n 1 4 n 1 4 nn(1)求數(shù)列｛a｝和｛b｝的通項公式；nn(2)求數(shù)列｛b｝的前n項和.n【答案】(1)a=3nb=3n+2n-1 (2)S=—n(n+1)+2n—1n n n22.已知｛a｝是首項為19，公差為-2的等差數(shù)列，S為｛a｝的前n項和.n nn(1)求通項a及S；nn(2)設(shè)｛b—a｝是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列｛b｝的通項公式及其前n項和T.nn n n【答案】(1)a=—2n+21