吉林省長春市第一五〇中學2022-2023學年數(shù)學高二第二學期期末達標測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+)，則下列結(jié)論錯誤的是A．f(x)的一個周期為?2π B．y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱C．f(x+π)的一個零點為x= D．f(x)在(,π)單調(diào)遞減2．如圖是某陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的體積為（）A． B．C． D．3．若3x+xn展開式二項式系數(shù)之和為32，則展開式中含xA．40 B．30 C．20 D．154．已知樣本數(shù)據(jù)點集合為，樣本中心點為，且其回歸直線方程為，則當時，的估計值為（）A． B． C． D．5．如圖，分別為棱長為的正方體的棱的中點，點分別為面對角線和棱上的動點，則下列關(guān)于四面體的體積正確的是（）A．該四面體體積有最大值，也有最小值 B．該四面體體積為定值C．該四面體體積只有最小值 D．該四面體體積只有最大值6．已知ξ服從正態(tài)分布，a∈R，則“P（ξ＞a）=0.5”是“關(guān)于x的二項式的展開式的常數(shù)項為3”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分又不必要條件 D．充要條件7．學生會為了調(diào)查學生對年俄羅斯世界杯的關(guān)注是否與性別有關(guān)，抽樣調(diào)查人，得到如下數(shù)據(jù)：不關(guān)注關(guān)注總計男生301545女生451055總計7525100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，通過計算統(tǒng)計量，并參考以下臨界數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.828若由此認為“學生對2018年俄羅斯世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)”，則此結(jié)論出錯的概率不超過（）A． B． C． D．8．定積分（）A．1 B．2 C．3 D．49．設(shè)函數(shù)f(x)＝axA．193 B．163 C．1310．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當輸出的值為時，則輸入的（）A． B． C． D．11．某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是（）A．0 B．-1 C．-2 D．-812．函數(shù)的定義城是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線l的普通方程為x+y+1=0，點P是曲線上的任意一點，則點P到直線l的距離的最大值為______．14．設(shè)一個回歸方程為，則當時，的估計值是_______.15．把單位向量繞起點逆時針旋轉(zhuǎn)，再把模擴大為原來的3倍，得到向量，點在線段上，若，則的值為__________．16．在正四面體P-ABC，已知M為AB的中點，則PA與CM所成角的余弦值為____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2020年開始，國家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中語文、數(shù)學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分．為了應對新高考，某高中從高一年級1000名學生（其中男生550人，女生450人）中，根據(jù)性別分層，采用分層抽樣的方法從中抽取100名學生進行調(diào)查．（1）學校計劃在高一上學期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選課情況，對抽取到的100名學生進行問卷調(diào)查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），如表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表．請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；（2）在抽取到的女生中按（1）中的選課情況進行分層抽樣，從中抽出9名女生，再從這9名女生中隨機抽取4人，設(shè)這4人中選擇“地理”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．選擇“物理”選擇“地理”總計男生10女生25總計附參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.050.013.8416.63518．（12分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)，，，其中為常數(shù)且，令函數(shù)．（1）求函數(shù)的表達式，并求其定義域；（2）當時，求函數(shù)的值域．20．（12分）已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，（1）求．（2）在復平面內(nèi)，為坐標原點，向量，對應的復數(shù)分別是，，若是直角，求實數(shù)的值．21．（12分）（江蘇省南通市高三最后一卷---備用題數(shù)學試題）已知函數(shù)，其中.（1）當時，求函數(shù)處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個極值點，求的取值范圍；（3）若不等式對任意的實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）為迎接新中國成立70周年，學校布置一橢圓形花壇，如圖所示，是其中心，是橢圓的長軸，是短軸的一個端點.現(xiàn)欲鋪設(shè)灌溉管道，擬在上選兩點，，使，沿、、鋪設(shè)管道，設(shè)，若，，（1）求管道長度關(guān)于角的函數(shù)及的取值范圍；（2）求管道長度的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】f(x)的最小正周期為2π，易知A正確；f＝cos＝cos3π＝－1，為f(x)的最小值，故B正確；∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正確；由于f＝cos＝cosπ＝－1，為f(x)的最小值，故f(x)在上不單調(diào)，故D錯誤．故選D.2、C【解析】

幾何體上部分為圓柱，下部分為圓錐，代入體積公式計算即可.【詳解】解：幾何體上部分為圓柱，下部分為圓錐，

其中圓柱的底面半徑為1，高為2，圓錐的底面半徑為1，高為1，所以幾何體的體積.

故選：C.【點睛】本題考查了常見幾何體的三視圖與體積的計算，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

先根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求得n＝5，可得二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于3，求得r的值，即可求得結(jié)果．【詳解】由3x+xn展開式的二項式系數(shù)之和為2n＝32，求得可得3x+x5展開式的通項公式為Tr+1=C5r?3x5-r?xr令5-r2＝3，求得r＝4，則展開式中含x3故選：D．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

根據(jù)線性回歸直線過樣本中心點，可得，然后代值計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以回歸直線方程為當當時，故選：D【點睛】本題考查線性回歸方程，掌握回歸系數(shù)的求法以及回歸直線必過樣本中心點，屬基礎(chǔ)題.5、D【解析】

易證，從而可推出面積為定值，則只需研究點到平面的距離的取值范圍即可得到四面體體積的取值范圍【詳解】分別為棱長為的正方體的棱的中點，所以，又，故點到的距離為定值，則面積為定值，當點與點重合時，為平面構(gòu)不成四面體，故只能無限接近點，當點與點重合時，有最大值，體積有最值，所以四面體體積有最大值，無最小值故選D【點睛】本題主要考查了四面體體積的判斷，運動中的定量與變量的分析，空間想象與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題6、A【解析】試題分析：由，知．因為二項式展開式的通項公式為＝，令，得，所以其常數(shù)項為，解得，所以“”是“關(guān)于的二項式的展開式的常數(shù)項為3”的充分不必要條件，故選A．考點：1、正態(tài)分布；2、二項式定理；3、充分條件與必要條件．7、A【解析】因為,所以若由此認為“學生對2018年俄羅斯世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)”，則此結(jié)論出錯的概率不超過，故選A.【方法點睛】本題主要考查獨立性檢驗的應用，屬于中檔題.獨立性檢驗的一般步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計算的值；(3)查表比較與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計判斷.（注意：在實際問題中，獨立性檢驗的結(jié)論也僅僅是一種數(shù)學關(guān)系，得到的結(jié)論也可能犯錯誤.）8、B【解析】

直接利用定積分公式計算得到答案.【詳解】.故選：.【點睛】本題考查了定積分，意在考查學生的計算能力.9、D【解析】

由題，求導，將x=-1代入可得答案.【詳解】函數(shù)f(x)的導函數(shù)f'(x)=3ax解得a=10故選D【點睛】本題考查了函數(shù)的求導，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

分析：根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的特征，依次算出每個循環(huán)單元的值，同時判定是否要繼續(xù)返回循環(huán)體，即可求得S的值．詳解:因為當不成立時，輸出，且輸出所以所以所以選B點睛：本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)在程序框圖中的應用，按照要求逐步運算即可，屬于簡單題．11、B【解析】根據(jù)流程圖可得：第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第4次循環(huán)：；此時程序跳出循環(huán)，輸出.本題選擇B選項.12、C【解析】

根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零這一原則得出關(guān)于的不等式，解出可得出函數(shù)的定義域．【詳解】由題意可得，解得，因此，函數(shù)的定義域為，故選C．【點睛】本題考查對數(shù)型函數(shù)的定義域的求解，求解時應把握“真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不為”，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)曲線的參數(shù)方程，設(shè)，再由點到直線的距離以及三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】由題意，設(shè)，則到直線的距離，故答案為．【點睛】本題主要考查了曲線的參數(shù)方程的應用，其中解答中根據(jù)曲線的參數(shù)方程設(shè)出點的坐標，利用點到直線的距離公式和三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、8.1【解析】分析：直接利用回歸方程，將代入，即可求得的估計值．詳解：∵回歸方程為，

∴當時，的估計值為故答案為8.1．點睛：本題考查回歸方程的運用，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

由題意可得，與夾角為，先求得，則，再利用平面向量數(shù)量積的運算法則求解即可.【詳解】單位向量繞起點逆時針旋轉(zhuǎn)，再把模擴大為原來的3倍，得到向量，所以，與夾角為，因為，所以，所以，故答案為.【點睛】本題主要考查平面向量幾何運算法則以及平面向量數(shù)量積的運算，屬于中檔題.向量的運算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）．16、【解析】分析：取的中點，連接，由三角形中位線定理可得即為與所成的角或其補角，利用余弦定理可得結(jié)果.詳解：取的中點，連接，由三角形中位線定理可得，，故即為與所成的角或其補角，因為是正四面體，不妨設(shè)令其棱長為，則由正四面體的性質(zhì)可求得，故，故答案為.點睛：本題主要考查余弦定理的應用以及異面直線所成角的求法，求異面直線所成的角的做題步驟分為三步，分別為：作角、證角、求角，尤其是第二步證明過程不可少，是本題易失點分，切記.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）列聯(lián)表見解析；有的把握認為選擇科目與性別有關(guān)．（2）分布列見解析；【解析】

（1）根據(jù)分層抽樣，求得抽到男生、女生的人數(shù)，得到的列聯(lián)表，求得的值，即可得到結(jié)論；（2）求得這4名女生中選擇地理的人數(shù)可為，求得相應的概率，得到分布列，利用期望的公式計算，即可求解.【詳解】（1）由題意，抽取到男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，所以列聯(lián)表為：選擇“物理”選擇“地理”總計男生451055女生252045總計7030100所以，所以有的把握認為選擇科目與性別有關(guān)．（2）從45名女生中分層抽樣抽9名女生，所以這9名女生中有5人選擇物理，4人選擇地理，9名女生中再選擇4名女生，則這4名女生中選擇地理的人數(shù)可為．設(shè)事件發(fā)生概率為，則，，，，．所以的分布列為：01234期望．【點睛】本題主要考查了獨立性檢驗及其應用，以及離散型隨機變量的分布列與期望的計算，其中解答中認真審題，得出隨機變量的取值，求得相應的概率，得出分布列，利用公式準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）極小值為（2）【解析】分析：（1）根據(jù)利用導數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟求解即可；（2）,由于函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，令，則即在上恒成立，由此可求的取值范圍..詳解：（1）當時，，，令，解得，當變化時，，的變化情況如下表0+單調(diào)遞減1單調(diào)遞增因此，當時，有極小值，并且極小值為（2）,由于函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)所以，令，則即在上恒成立設(shè)，則在上為增函數(shù)，∴∴，即的取值范圍是．點睛：本題考查利用到時研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，考查分析問題解決問題的能力．是圣.19、（1），，.（2）.【解析】解：(1)f(x)＝，x∈[0，a]，(a>0)．(2)函數(shù)f(x)的定義域為[0，]，令＋1＝t，則x＝(t－1)2，t∈[1，]，f(x)＝F(t)＝＝，∵t＝時，t＝±2?[1，]，又t∈[1，]時，t＋單調(diào)遞減，F(xiàn)(t)單調(diào)遞增，F(xiàn)(t)∈[，]．即函數(shù)f(x)的值域為[，]．20、（1）z＝3+4i；（2）c＝8【解析】

（1）設(shè)，由，進行計算化簡，得到關(guān)于的方程組，解得答案；（2）代入（1）中求出的，然后由∠AOB是直角，得到，得到關(guān)于的方程，求出的值.【詳解】（1）設(shè)，由，得，∴，解得．∴；（2）由題意，的坐標分別為∴，，∵是直角，∴，即．【點睛】本題考查復數(shù)的運算，復數(shù)模長的表示，向量垂直的坐標表示，屬于簡單題.21、(1).(2).(3).【解析】

（1）首先將代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導數(shù)，求出函數(shù)的切線的斜率，利用點斜式寫出直線的方程，化簡求得結(jié)果；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)存在兩個極值點，是方程的兩個不等正根，韋達定理得到關(guān)系，將化為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用導數(shù)求得結(jié)果；（3）將恒成立問題應用導數(shù)來研究，分類討論，求得結(jié)果.【詳解】（1）當時，，故，且，故所以函數(shù)在處的切線方程為（