依托數(shù)學(xué)實驗促進知識理解 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選依托數(shù)學(xué)實驗，促進知識理解*——以“探究跳繩后的心率變化情況”教學(xué)設(shè)計為例摘要：本文設(shè)計了一個有關(guān)跳繩后心率變化的問題情境，并通過實驗的手段來研究這一問題——首先借助儀器獲取心率變化的原始數(shù)據(jù)，隨后對這一數(shù)據(jù)進行分析與選擇，構(gòu)建更簡潔的函數(shù)模型來刻畫心率的變化。這樣設(shè)計的核心價值在于使學(xué)生加深了對函數(shù)概念的理解，同時體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)課堂中開展數(shù)學(xué)實驗的價值。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實驗；函數(shù)；模型思想 著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞曾指出：“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個方面看數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看起來像一門試驗性的歸納科學(xué)?！薄读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中也提到：“在參與觀察、猜想、實驗、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法”。[1]近年來，圍繞數(shù)學(xué)實驗在教學(xué)中的運用，許多學(xué)者展開了研究，例如，江蘇省中小學(xué)教研室成立了課題組，對數(shù)學(xué)實驗的本質(zhì)、課程設(shè)計、教學(xué)設(shè)計以及評價進行了探討，取得了豐碩的研究成果。[2][3][4][5][6]

數(shù)學(xué)實驗是“學(xué)生通過動手動腦，以‘做’為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動方式，是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生運用有關(guān)工具，通過實際操作，在認(rèn)知與非認(rèn)知因素參與下進行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識、驗證數(shù)學(xué)結(jié)論的思維活動?！盵7]數(shù)學(xué)實驗之所以獲得關(guān)注，在于其指向了我國數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些傳統(tǒng)弊病，例如，教師講授過多而學(xué)生參與不足，知識的靜態(tài)呈現(xiàn)過多而對過程揭示不足，抽象思維強調(diào)過多而學(xué)生動手操作機會不足，邏輯推理手段上演繹法強調(diào)過多而歸納、證偽重視不足，等等。喻平教授指出，數(shù)學(xué)實驗的引入有助于“學(xué)生知情和諧發(fā)展、教學(xué)過程完整體現(xiàn)、課程資源深度挖掘、教師水平有效提升”。[8]本文以一堂綜合實踐課的教學(xué)設(shè)計為例，探討數(shù)學(xué)實驗融入初中教學(xué)的方式及其價值。1教學(xué)分析

1.1學(xué)情與教材分析

在學(xué)習(xí)函數(shù)的概念之后，按照教材的安排，接下來是一次函數(shù)的內(nèi)容。函數(shù)的概念12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選具有抽象的特征，是初中數(shù)學(xué)的一個難點；教材的這種由抽象到具體的安排，理想的情況是產(chǎn)生一種逆向遷移。但在實際教學(xué)經(jīng)驗中，學(xué)生尚未“吃透”函數(shù)概念的情況下，安排一次函數(shù)的內(nèi)容往往令學(xué)生“應(yīng)接不暇”，反而感到吃力?；谶@一情況，考慮在函數(shù)教學(xué)后增設(shè)一課時的綜合實踐課，幫助學(xué)生對函數(shù)建立其更加清晰、直觀、深層次的理解。 1.2教學(xué)方法分析

（1）探究法。本節(jié)課研究跳繩后心率變化情況，這是一個開放式的問題，答案不唯一，學(xué)生有機會選擇自己認(rèn)可的方式來表征這種變化。與之對應(yīng)，在教學(xué)過程中不對學(xué)生的選擇加以過多干預(yù)，鼓勵其大膽探究，只在關(guān)鍵的環(huán)節(jié)予以引導(dǎo)。（2）實驗法。本節(jié)課可以分為兩個階段，首先借助數(shù)字化信息系統(tǒng)這一儀器獲取學(xué)生的心率數(shù)據(jù)；隨后，原始數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，為了更好地刻畫心率變化，設(shè)定一定的規(guī)則并據(jù)此選取少數(shù)幾個數(shù)據(jù)，得到散點圖，并對其進行評估。至此，學(xué)生親身經(jīng)歷了收集素材、選擇素材、構(gòu)建抽象對象的全過程，能夠切身地感悟所得到的特殊函數(shù)，進而深化對函數(shù)概念的理解。 1.3教學(xué)目標(biāo)

（1）通過親歷構(gòu)造函數(shù)的過程，深化對函數(shù)概念的理解，能夠正確判斷不同類型與表征方式的函數(shù)。（2）經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、分析、處理的全過程，發(fā)展數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)。（3）進一步認(rèn)識函數(shù)模型在刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系時的價值。1.4重點難點

（1）教學(xué)重點：對函數(shù)概念的理解。（2）教學(xué)難點：函數(shù)的不同表示方法之間的統(tǒng)一。1.5實驗設(shè)備

（1）心率傳感器；（2）跳繩；（3）數(shù)字化信息系統(tǒng)實驗室。2教學(xué)設(shè)計

2.1創(chuàng)設(shè)情境，形成問題

問題12020年是一個特殊的年份，一場突如其來的新冠肺炎疫情改變了我們生活的方方面面。在病毒面前，人類很脆弱。我們必須加強鍛煉身體，提高自身免疫力！在生活中，跳繩是一種簡單有效的運動，也是我們中考體育的項目，有些同學(xué)在跳繩之后就會氣喘吁吁，上氣不接下氣。請大家思考，如果我想知道1分值跳繩之后要過多久能平靜下來，該怎么做呢？ 師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考便于觀測的量化指標(biāo)，幫助學(xué)生意識到可以通過觀測、記錄同學(xué)跳繩后的心跳來反映平靜的程度。設(shè)計意圖：運動過后到平靜的過程是學(xué)生非常熟悉的情境，也是學(xué)生比較感興趣的一個問題。引導(dǎo)學(xué)生用心跳次數(shù)這一量化指標(biāo)來刻畫平靜的過程，給學(xué)生提供了用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的機會，發(fā)展了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，同時也為后續(xù)實驗的展開打下了22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選基礎(chǔ)。追問：我們還需要記錄其他的數(shù)量嗎？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生通過討論，發(fā)現(xiàn)每分鐘跳繩次數(shù)會影響跳繩后心跳的變化，也應(yīng)該加以記錄。對于其他的變量，例如身高、體重等，教師認(rèn)可其也是影響因素，但為避免實驗過于復(fù)雜，暫時不考慮，但鼓勵學(xué)生在課后結(jié)合這些變量做進一步探索。 設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生再次思考該情境，鍛煉學(xué)生思維的全面性、嚴(yán)謹(jǐn)性。納入跳繩次數(shù)這一指標(biāo)，能夠使得實驗結(jié)果更加準(zhǔn)確。2.2操作觀察，記錄結(jié)果

探究1：跳繩后同學(xué)的心跳有怎樣的變化規(guī)律？ 師生活動：首先，教師向?qū)W生簡單介紹心電圖的原理，并介紹心電圖儀器的使用方法。 圖1數(shù)字化信息系統(tǒng)實驗室中的心電圖

隨后，學(xué)生2人一組，其中1人進行1分鐘的跳繩，另一人記錄其跳繩次數(shù)。1分鐘后，跳繩的同學(xué)迅速佩戴好設(shè)備，另一名同學(xué)連接好心率傳感器和計算機，打開數(shù)字化信息系統(tǒng)實驗室的心電圖實驗，觀察圖像和數(shù)據(jù)的變化情況，如圖1，并嘗試用語言表達出變化的特征。設(shè)計意圖：心電圖是教材中呈現(xiàn)過的案例，但教材中的心電圖只是一張圖片，僅截取一次心電圖的一小部分。通過讓學(xué)生操作儀器，可以讓學(xué)生經(jīng)歷這一真實的過程，感悟數(shù)據(jù)與我們的身體狀態(tài)之間的聯(lián)系。問題2心電圖中，心跳數(shù)和時間之間是一種函數(shù)關(guān)系嗎？ 師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)的定義，判斷心電圖是否屬于函數(shù)，自變量和因變量分別是什么。設(shè)計意圖：感悟函數(shù)的價值，并為之后判斷另一種函數(shù)做鋪墊。 2.3構(gòu)建函數(shù)，表征數(shù)據(jù)

探究2：心電圖的結(jié)果方便讀取嗎？能否用一種更加簡潔的方式把結(jié)果表示出來呢？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生意識到心電圖結(jié)果過于繁瑣的問題，并鼓勵學(xué)生提出不同的簡化方案，進行比較與評估。例如，可以1分鐘為一個觀測單位，選取每分鐘內(nèi)處于32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選中間時刻的心跳數(shù)來代表這1分鐘的心率。按照這一方案，每一組學(xué)生依據(jù)心電圖的原始結(jié)果填寫表2，并在教師指導(dǎo)下在Excel中作出心率與時間的散點圖，圖2是散點圖的一個例子。表2每分鐘心跳次數(shù)記載表時間0（剛跳完繩）1min2min3min4min5min心率 圖2心率與時間的散點圖

設(shè)計意圖：儀器呈現(xiàn)出來的是完整的長達幾分鐘的心電圖，且心率的數(shù)字在不斷的跳動，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠意識到為了更簡潔地表征心跳變化的特征，需要對這一結(jié)果做進一步處理的。讓學(xué)生通過動手操作，親身經(jīng)歷處理與收集數(shù)據(jù)、表征數(shù)據(jù)，建立函數(shù)的全過程，其價值體現(xiàn)在兩個方面。其一，學(xué)生將離散函數(shù)“做”了出來，這能幫助學(xué)生切身感受到離散函數(shù)廣泛存在于我們的日常生活中，是表征變量關(guān)系的良好工具。其二，學(xué)生“做出”的函數(shù)是具體的，生動的，直觀的，這有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)這一十分抽象概念。問題3表2與圖3也是函數(shù)嗎？是同一個函數(shù)嗎？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)的定義，并組織學(xué)生討論，發(fā)表自己的看法，同時提示學(xué)生可以與問題2進行比較。在學(xué)生經(jīng)過討論達成一致后，教師進行總結(jié)，重申函數(shù)的本質(zhì)在于自變量與因變量之間的關(guān)系，而不是外在形式或是否存在連續(xù)的曲線。 設(shè)計意圖：幫助學(xué)生意識到函數(shù)也可以是離散的，對于同一個函數(shù)，也可以有不同的方式來表征。探究3評估上一個步驟，能否改進實驗？師生活動：教師提示學(xué)生再次思考原問題，并組織學(xué)生討論能否改進實驗，更好地回答原問題。學(xué)生重新觀察散點圖，發(fā)現(xiàn)心率在前2分鐘下降比較快，此后趨于平穩(wěn)。基于此，教師進一步引導(dǎo)學(xué)生思考兩處改進：其一，將記錄的時間間隔改為30秒；其二，不再使用時間區(qū)間的中間值，而是在時間段內(nèi)讀取3個心率值，取平均數(shù)來代表30秒內(nèi)的心率。每個小組重新填表并繪制散點圖，新的函數(shù)對心率的變化有著更加精細(xì)的刻42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選畫。設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生對繪制的函數(shù)進行評估，需要學(xué)生理解函數(shù)圖像，將圖像特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量特征，這個過程可以發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。此外，用更加多的數(shù)據(jù)來刻畫較大幅度的變化，用平均值代替中位數(shù)，都屬于數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的體現(xiàn)。2.4歸納特征，深化理解

探究4小組之間比較繪制的函數(shù)，大家有什么發(fā)現(xiàn)？ 師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生比較繪制出的函數(shù)，歸納出共性與差異，再結(jié)合1分鐘內(nèi)跳繩次數(shù)的數(shù)據(jù)，得到關(guān)于跳繩后平靜時間的一般性結(jié)論。設(shè)計意圖：每個小組得到的函數(shù)只是針對某個個體的，原問題則是就一般性情況而提問，因此，通過設(shè)計該環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過比較找出更加一般化的規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，通過引入跳繩次數(shù)這一變量，可以對不同組結(jié)果的差異進行解釋，這也能進一步激發(fā)學(xué)生積極思考更多的影響因素，形成全面、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。問題4：通過今天的教學(xué)，大家對函數(shù)的概念有什么新的認(rèn)識呢？ 師生活動：學(xué)生圍繞函數(shù)的幾種形式、函數(shù)是否必須是連續(xù)的曲線發(fā)表觀點，教師結(jié)合函數(shù)的概念進行總結(jié)。 設(shè)計意圖：在教學(xué)過程中，已經(jīng)討論過這一問題?？偨Y(jié)階段以開放式問題的形式再次拋出這一問題，可以判斷學(xué)生是否對函數(shù)本質(zhì)有了更深入的理解。3教學(xué)反思

本節(jié)課設(shè)計了一個有關(guān)跳繩后心率變化的問題情境，并通過實驗的手段來研究這一問題——首先借助儀器獲取心率變化的原始數(shù)據(jù)，隨后對這一數(shù)據(jù)進行分析與選擇，構(gòu)建更簡潔的函數(shù)模型來刻畫心率的變化。這樣設(shè)計的核心價值在于使學(xué)生加深了對函數(shù)概念的理解，這一價值可以從如下方面來認(rèn)識：

其一，實現(xiàn)了抽象與具體的統(tǒng)一。函數(shù)因其抽象的特點，是初中數(shù)學(xué)中的難點。而對于離散函數(shù)，由于其出現(xiàn)比較少，學(xué)生缺乏感性認(rèn)識的機會，理解起來更加困難。在數(shù)學(xué)實驗的過程中，學(xué)生收集數(shù)據(jù)，構(gòu)建離散函數(shù)，繪制出圖像。由于學(xué)生自己就是函數(shù)的構(gòu)造者，在心理上也就更容易接受此類特殊函數(shù)的客觀存在，并對其有了一個具體、感性的認(rèn)識，進而完善了對函數(shù)本質(zhì)的理解。其二，實現(xiàn)了過程與結(jié)果的統(tǒng)一。許多數(shù)學(xué)概念都具有過程與結(jié)果的二重性，就初中階段的函數(shù)概念而言，其過程性表現(xiàn)在對應(yīng)關(guān)系上，其結(jié)果性則表現(xiàn)為表達式或函數(shù)圖像等表征方式。傳統(tǒng)教學(xué)中往往缺失了對過程性的展現(xiàn)，這也導(dǎo)致函數(shù)概念顯得抽象，難以把握。借助數(shù)學(xué)實驗，則讓學(xué)生親身經(jīng)歷了構(gòu)建函數(shù)的過程，深化了對函數(shù)概念的理解。此外，本節(jié)課構(gòu)造函數(shù)的過程與傳統(tǒng)方式反其道而行之，先獲取連續(xù)的函數(shù)，再依據(jù)實際需求構(gòu)造散點圖，并引入對模型的評價，有利于糾正學(xué)生的思維定勢，幫助學(xué)生意識到函數(shù)模型的構(gòu)建取決于所研究的問題，且模型并不唯一，模型之間可以相互比較。這可以看作本節(jié)課在模型思想培養(yǎng)上的價值。52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京:北京師范大學(xué)出版社,2011,6,36．[2]董林偉,郭瑞娟.豐富感知建立表象發(fā)展想像——例談數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)功能[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2015(11):63