3.1變化率與導(dǎo)數(shù)(上課)

牛頓萊布尼茲兩人同時創(chuàng)立了微積分導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用變化率問題研究某個變量相對于另一個變量變化導(dǎo)數(shù)研究的問題

的快慢程度．變化率問題第一次第二次0.62dm0.16dm問題一:氣球膨脹率氣球的平均膨脹率為氣球的平均膨脹率為當(dāng)氣球的空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率是多少？思考

在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系

如果用運動員在某段時間內(nèi)的平均速度描述其運動狀態(tài),那么:在0≤t≤0.5這段時間里,在1≤t≤2這段時間里,問題二:高臺跳水

計算運動員在這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?(2)你認(rèn)為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎?平均速度不能準(zhǔn)確反映該段段時間里運動狀態(tài).探究式子平均變化率的定義若設(shè)Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)

則平均變化率為這里Δx看作是相對于x1的一個“增量”可用x1+Δx代替x2同理Δy=f(x2)-f(x1)ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2–x1=f(x1+Δx)–f(x1)

Δx稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率.

思考?

觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率

表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直線AB的斜率例1、已知函數(shù)，分別計算在下列區(qū)間上的平均變化率：

（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]432.1例題講解例2.求函數(shù)y=5x2+6在區(qū)間[2，2+△x]

內(nèi)的平均變化率。解△y=［5(2+△x)2+6］-(5×22+6)=20△x+5△x2所以平均變化率為例題講解1.一質(zhì)點運動的方程為s=1－2t2，則在一段時間[1，2]內(nèi)的平均速度為（）

A．－4

B．－8

C．－6

D．6C課堂練習(xí)2.設(shè)函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自變量x由x0改變到x0+△x時，函數(shù)的改變量為（）

A．f(x0+△x)

B．f(x0)+△x

C．f(x0)·△x

D．f(x0+△x)－f(x0)D3.已知f(x)=2x2+1

(1)求:其從x1到x2的平均變化率；

(2)求:其從x0到x0+Δx的平均變化率，

并求x0=1,Δx=時的平均變化率。（1）2(x1+x2)（2）4x0+2Δx5課堂練習(xí)小結(jié)：

1.函數(shù)的平均變化率2.求函數(shù)的平均變化率的步驟:

3.函數(shù)的平均變化率的幾何意義：(1)求函數(shù)的改變量：Δf；(2)計算平均變化率表示函數(shù)圖象上兩點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))連線（割線）的斜率。

在高臺跳水中，函數(shù)關(guān)系h=-4.9t2+6.5t+10hto如何求ｔ＝2時的瞬時速度？2△ｔ＜0時2＋△ｔ△ｔ＞0時2＋△ｔ瞬時速度：物體在某一時刻的速度3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念△t<0時,在[2+△t,2]這段時間內(nèi)△t>0時,在[2,2+△t]這段時間內(nèi)當(dāng)△t=–0.01時,當(dāng)△t=

0.01時,當(dāng)△t=–0.001時,當(dāng)△t=0.001時,當(dāng)△t=–0.0001時,當(dāng)△t=0.0001時,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………當(dāng)Δt趨近于0時,平均速度有什么變化趨勢?瞬時速度

（在局部）先求平均速度，然后取極限。⑴如何求瞬時速度？⑵lim是什么意思？在其下面的條件下求右面的極限值。⑶運動員在某一時刻ｔ0的瞬時速度如何表示?思考１、函數(shù)的平均變化率怎么表示？思考導(dǎo)數(shù)的定義:函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的瞬時變化率是稱為函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的導(dǎo)數(shù),記作或,導(dǎo)數(shù)的作用：在例2中，高度h關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)是運動員的瞬時速度；在例1中，我們用的是平均膨脹率，那么半徑r關(guān)于體積v的導(dǎo)數(shù)是氣球的瞬時膨脹率導(dǎo)數(shù)可以描繪任何事物的瞬時變化率

求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的基本步驟是:注意：Δx可正也可負(fù).

一差、二比、三極限例1.(1)求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).(2)求函數(shù)f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)．(3)質(zhì)點運動規(guī)律為s=t2+3，求質(zhì)點在t=3的瞬時速度.例題講解例1.(1)求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).例題講解例1.(2)求函數(shù)f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)．例題講解例1.(3)質(zhì)點運動規(guī)律為s=t2+3，求質(zhì)點在t=3的瞬時速度.例題講解練習(xí)計算第3（h）和第5（h）時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。這說明:在第3小時附近，原油溫度大約以1的速率下降，在第5小時附近，原油溫度大約以3的速率上升。練習(xí)：小結(jié)：1求物體運動的瞬時速度：（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)(2)求平均速度（3）求極限2由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的一般步驟：（1）求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)(2)求平均變化率（3）求極限一、復(fù)習(xí)1、導(dǎo)數(shù)的定義其中：⑴

其幾何意義是表示曲線上兩點連線（就是曲線的割線）的斜率。其幾何意義是？導(dǎo)數(shù)的幾何意義PPnoxyy=f(x)割線切線T（曲線在某一點處）切線的定義當(dāng)點Pn沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為點P處的切線.

通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線（交點可能不惟一）適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。

此處切線的定義與以前的定義有何不同？思考xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)M△x△y割線與切線的斜率有何關(guān)系呢？

即：當(dāng)△x→0時，割線PQ的斜率的極限，就是曲線在點P處的切線的斜率，探究

函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是.

故曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程是:結(jié)論xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T繼續(xù)觀察圖像的運動過程，還有什么發(fā)現(xiàn)？當(dāng)點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.

設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:

這個概念:①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)平均變化率的極限.

要注意,曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限來判斷與求解.如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個.例1:（1）求函數(shù)y=3x2在點(1,3)處的導(dǎo)數(shù).（2）求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.例題講解例2:如圖,已知曲線,求:

(1)點P處的切線的斜率;(2)點P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點P處的切線的斜率等于4.

(2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.hto函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。1）函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的，就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)

3）函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。練：設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù),且滿足條件,

求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率.故所求的斜率為-2.鞏固提高課堂練習(xí):如圖（見課本P80.A6）已知函數(shù)的圖像，試畫出其導(dǎo)函數(shù)圖像的大致形狀。P80.B2：根據(jù)下面的文字?jǐn)⑹觯嫵鱿鄳?yīng)的路程關(guān)于時間的函數(shù)圖像的大致形狀。（1）汽車在筆直的公路上勻速行駛；（2）汽車在筆直的公路上不斷加速行駛；（3）汽車在筆直的公路上不斷減速行駛；練習(xí):思考：物體作自由落體運動,運動方程為：其中位移單位是m,時間單位是s,g=10m/s2.求：

(1)物體在時間區(qū)間[2,2.1]上的平均速度；

(2)物體在時間區(qū)間[2,2.01]上的平均速度；

(3)物體在t=2(s)時的瞬時速