山西省大同鐵路第一中學校2022-2023學年高二數(shù)學第二學期期末檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在ΔABC中，cosA=sinB=12A．3 B．23 C．3 D．2．若關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則（）A． B． C． D．3．為自然對數(shù)的底數(shù)，已知函數(shù)，則函數(shù)有唯一零點的充要條件是（）A．或或 B．或C．或 D．或4．0πsinA．2 B．0 C．-2 D．15．已知為自然對數(shù)的底數(shù)，若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（）A． B．C． D．7．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是（）A． B． C． D．8．已知滿足，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．19．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的表達式是（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)且，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．如圖是一個算法的程序框圖，當輸入的x的值為7時，輸出的y值恰好是，則“？”處應(yīng)填的關(guān)系式可能是（）A． B． C． D．12．已知集合滿足，則集合的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x（單位：萬元）和年飲食支出y（單位：萬元），調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：=0.245x+0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加_______萬元.14．已知集合,則_____.15．已知直線在矩陣對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€：，則直線的方程為__________．16．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測，每一件一等品都能通過檢測，每一件二等品通過檢測的概率為.現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6件是一等品，4件是二等品.(Ⅰ)隨機選取1件產(chǎn)品，求能夠通過檢測的概率；(Ⅱ)隨機選取3件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為，求的分布列；(Ⅲ)隨機選取3件產(chǎn)品，求這三件產(chǎn)品都不能通過檢測的概率.18．（12分）“過橋米線”是云南滇南地區(qū)特有的一種小吃.在云南某地區(qū)“過橋米線”有三種品牌的店，其中品牌店家，品牌店家，品牌店家.（Ⅰ）為了加強對食品衛(wèi)生的監(jiān)督管理工作，該地區(qū)的食品安全管理局決定按品牌對這家“過橋米線”專營店采用分層抽樣的方式進行抽樣調(diào)查，被調(diào)查的店共有家，則品牌的店各應(yīng)抽取多少家？（Ⅱ）為了吸引顧客，所有品牌店舉辦優(yōu)惠活動：在一個盒子中裝有形狀、大小相同的個白球和個紅球.顧客可以一次性從盒中抽取個球，若是個紅球則打六折（按原價的付費），個紅球個白球打八折，個紅球個白球則打九折，個白球則打九六折.小張在該店點了價值元的食品，并參與了抽獎活動，設(shè)他實際需要支付的費用為，求的分布列與數(shù)學期望.19．（12分）已知二項式．（1）若展開式中第二項系數(shù)與第四項系數(shù)之比為1:8，求二項展開式的系數(shù)之和．（2）若展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，求展開式中的常數(shù)項．20．（12分）1，4，9，16……這些數(shù)可以用圖1中的點陣表示，古希臘畢達哥拉斯學派將其稱為正方形數(shù)，記第個數(shù)為.在圖2的楊輝三角中，第行是展開式的二項式系數(shù)，，…，，記楊輝三角的前行所有數(shù)之和為.（1）求和的通項公式；（2）當時，比較與的大小，并加以證明.21．（12分）如圖，,是經(jīng)過小城的東西方向與南北方向的兩條公路，小城位于小城的東北方向，直線距離.現(xiàn)規(guī)劃經(jīng)過小城修建公路(,分別在與上)，與,圍成三角形區(qū)域.(1)設(shè)，,求三角形區(qū)域周長的函數(shù)解析式;(2)現(xiàn)計劃開發(fā)周長最短的三角形區(qū)域，求該開發(fā)區(qū)域的面積.22．（10分）已知集合，．（1）求；（2）若集合，求的取值范圍；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

通過cosA=sinB=1【詳解】由于cosA=12，A∈(0,π)，可知A=π3，而sinB=12，B=π【點睛】本題主要考查解三角形的綜合應(yīng)用，難度不大.2、D【解析】

根據(jù)一元二次不等式與二次函數(shù)之間的關(guān)系，可得出一元二次不等式的解集為的等價條件.【詳解】由于關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則二次函數(shù)的圖象恒在軸的下方，所以其開口向下，且圖象與軸無公共點，所以，故選：D.【點睛】本題考查一元不等式在實數(shù)集上恒成立，要充分利用二次函數(shù)的開口方向和與軸的位置關(guān)系進行分析，考查推理能力，屬于中等題.3、A【解析】

作出函數(shù)的圖像如圖所示，其中，則，設(shè)直線與曲線相切，則，即，設(shè)，則，當時，，分析可知，當時，函數(shù)有極大值也是最大值，，所以當時，有唯一解，此時直線與曲線相切．分析圖形可知，當或或時，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像只有一個交點，即函數(shù)有唯一零點．故選.【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)零點問題的處理方法，考查利用導(dǎo)數(shù)求相切時斜率的方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.首先畫出函數(shù)的圖象，分段函數(shù)的圖象注意分界點的位置是實心的函數(shù)空心的.然后將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點來解決.4、A【解析】

根據(jù)的定積分的計算法則計算即可．【詳解】0πsinxdx＝（-cos故選：A．【點睛】本題考查了定積分的計算，關(guān)鍵是求出原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】,,故函數(shù)在區(qū)間上遞增,,,故函數(shù)在上遞減.所以,解得,故選B.6、A【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0時函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，確定函數(shù)的單調(diào)性【詳解】解：由圖象可知，即求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，從而有解集為，故選：．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是識圖，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．【詳解】由題意iz＝1+2i，∴iz（﹣i）＝（1+2i）?（﹣i），∴z＝2﹣i．則在復(fù)平面內(nèi)，z所對應(yīng)的點的坐標是（2，﹣1）．故選D．【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，確定，進而得到結(jié)果.【詳解】令，則.，由得：；由得：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即的最小值為.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進而確定最值點.9、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的最值求得，根據(jù)函數(shù)的周期求得，根據(jù)函數(shù)圖像上一點的坐標求得，由此求得函數(shù)的解析式.【詳解】由題圖可知，且即，所以，將點的坐標代入函數(shù)，得，即，因為，所以，所以函數(shù)的表達式為．故選D.【點睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】分析：先確定函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，再利用奇偶性與單調(diào)性解不等式.詳解：因為，所以,為偶函數(shù)，因為當時，單調(diào)遞增，所以等價于，即，或，選A.點睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).11、A【解析】試題分析：依題意，輸入的的值為，執(zhí)行次循環(huán)體，的值變?yōu)?，這時，如果輸出的值恰好是，則函數(shù)關(guān)系式可能為,故應(yīng)填A(yù).考點：程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu).12、B【解析】

利用列舉法，求得集合的所有可能，由此確定正確選項.【詳解】由于集合滿足，所以集合的可能取值為，共種可能.故選：B【點睛】本小題主要考查子集和真子集的概念，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.245【解析】當變?yōu)闀r，=0.245(x+1)+0.321=0.245x+0.321+0.245，而0.245x+0.321+0.245-（0.245x+0.321）=0.245.因此家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加0.245萬元，本題填寫0.245.14、【解析】

直接進行交集的運算即可．【詳解】解：∵A＝{2，3，4}，B＝{3，5}；∴A∩B＝{3}．故答案為：{3}．【點睛】考查列舉法的定義以及交集的運算，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】分析：用相關(guān)點法求解，設(shè)直線上的點為直線上的點為，所以，，代入直線的方程詳解：設(shè)直線上的點為直線上的點為，直線在矩陣對應(yīng)的變換作用下所以：，代入直線的方程整理可得直線的方程為。點睛：理解矩陣的計算規(guī)則和相互之間的轉(zhuǎn)換。16、【解析】

連接，交于，連，可得是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，在直角三角形中可求得結(jié)果.【詳解】連接，交于，連，如圖所示：因為，且在底面內(nèi)的射影是，所以由三垂線定理可得，所以是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，設(shè)正方體的棱長為1，則，，所以，因為，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了三垂線定理，考查了求二面角，關(guān)鍵是作出二面角的平面角，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）分布列見解析；（3）.【解析】

（Ⅰ）設(shè)隨機選取一件產(chǎn)品，能夠通過檢測的事件為A，事件A包括兩種情況，一是抽到的是一個一等品，二是抽到的是一個二等品，這兩種情況是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果；（II）由題意知X的可能取值是0，1，2，3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和等可能事件的概率，寫出變量的概率，寫出分布列；（III）隨機選取3件產(chǎn)品，這三件產(chǎn)品都不能通過檢測，包括兩個環(huán)節(jié)，第一這三個產(chǎn)品都是二等品，且這三件都不能通過檢測，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率得到結(jié)果．【詳解】（Ⅰ）設(shè)隨機選取一件產(chǎn)品，能夠通過檢測的事件為事件等于事件“選取一等品都通過檢測或者是選取二等品通過檢測”；(Ⅱ)由題可知可能取值為0,1,2,3.,,,.故的分布列為

0

1

2

3

(Ⅲ)設(shè)隨機選取3件產(chǎn)品都不能通過檢測的事件為事件等于事件“隨機選取3件產(chǎn)品都是二等品且都不能通過檢測”所以，.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列，考查等可能事件的概率，本題是一個概率的綜合題目18、（Ⅰ）品牌店家，應(yīng)抽查品牌店家；（Ⅱ）分布列見解析，【解析】

（1）根據(jù)分層抽樣每層按比例分配，即可求解；（2）求出隨機變量的可能取值，并求出相應(yīng)的概率，即可得到分布列，進而根據(jù)期望公式求解.【詳解】（Ⅰ）由題意得，應(yīng)抽查品牌店家，應(yīng)抽查品牌店家；（Ⅱ）離散型隨機變量的可能取值為.于是，，，.的分布列如下60809096所以【點睛】本題考查分層抽樣、離散型隨機變量的分布列和期望，求出隨機變量的概率是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）-1（2）180【解析】

(1)先求出的值，再求二項展開式的系數(shù)之和；(2)根據(jù)已知求出的值，再求出展開式中的常數(shù)項．【詳解】(1)二項式的展開式的通項為，所以第二項系數(shù)為，第四項系數(shù)為，所以，所以.所以二項展開式的系數(shù)之和.(2)因為展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，所以展開式有11項，所以令.所以常數(shù)項為.【點睛】本題主要考查二項式展開式的系數(shù)問題，考查指定項的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.20、（Ⅰ），（Ⅱ），證明見解析【解析】

（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點知，由二項式定理的性質(zhì)，求出楊輝三角形第行個數(shù)的和，由此能求出和的通項公式；（Ⅱ）由時，，時，，證明：時，時，可以逐個驗證；證明時，時，可以用數(shù)學歸納法證明．【詳解】（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點可知；由二項式定理的性質(zhì)，楊輝三角第行個數(shù)的和為，所以.（Ⅱ），，所以；，，所以；，，所以；，，所以；，所以；猜想：當時，；當時，.證明如下：證法1：當時，已證.下面用數(shù)學歸納法證明：當時，.①當時，已證：②假設(shè)時，猜想成立，即，所以；那么，，所以，當時，猜想也成立．根據(jù)①②，可知當時，.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求法，以及數(shù)學歸納法不等式的證明，其中解答中要認真審題，注意二項式定理和數(shù)學歸納法的合理運用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．21、（1）（2）開發(fā)區(qū)域的面積為【解析】分析：(1)先根據(jù)直角三角形求OA,OB,AB，再相加得三角形區(qū)域周長的函數(shù)解析式;(2)令，化簡，再根據(jù)三角函數(shù)有界性確定t范圍，解得最小值，同時求出開發(fā)區(qū)域的面積.詳解：解：（方法一）（1）如圖，過分別作、的垂線，垂足分別為、，因為小城位于小城的東北方向，且，所以，在和中，易得，，所以當時，，單調(diào)遞減當時，，單調(diào)遞增所以時，取得最小值.此時，，的面積答：開發(fā)區(qū)域的面積為（方法二）（1）在中，，即所以在中，所以（2）令，則因為，所以，所以由，得記因為在上單調(diào)遞減，所以當時最小此時，即，