第二章極限與連續(xù)

第二章極限與連續(xù)第1頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列的概念數(shù)列,直觀地說就是將一些數(shù)排成一列,這樣一列數(shù)就稱為一個數(shù)列．有限數(shù)列:數(shù)列中的數(shù)可為有限多個;無限數(shù)列:數(shù)列中的數(shù)為無限多個.第2頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定義1設xn=f(n)是一個以正整數(shù)集為定義域的函數(shù)，將其函數(shù)值xn按自變量n的大小順序排成一列x1,x2,x3,…，xn,…稱為一個數(shù)列．數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項，第n項xn叫做數(shù)列的一般項或通項．數(shù)列也可表示為{xn}或xn=f(n)．第3頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定義2若數(shù)列{xn}滿足x1≤x2≤…≤xn≤…，則稱{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列．如果x1≥x2≥…≥xn≥…，則稱{xn}是單調(diào)遞減數(shù)列．如果上述不等式中等號都不成立，則稱{xn}是嚴格單調(diào)遞增數(shù)列或嚴格單調(diào)遞減數(shù)列．單調(diào)遞增和單調(diào)遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列．第4頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定義3若存在M＞0，使得對一切xn,n=1,2,…，都有｜xn｜≤M，則稱數(shù)列｛xn｝是有界的，否則稱{xn}是無界的．xn≤M的充要條件是-M≤xn≤M,即xn∈[-M,M].如果我們將xn用數(shù)軸上的點表示，則從幾何上看，所謂{xn}有界，就表示存在一個關于原點對稱的區(qū)間[-M.M]，使得所有的xn均落在這一對稱區(qū)間內(nèi)，即xn∈[-M,M].反之亦然.第5頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三二、數(shù)列的極限定義4設{xn}為一數(shù)列，若當n取正整數(shù)且無限增大時,數(shù)列中對應的項xn(即通項)無限接近于一個確定的常數(shù)A,則稱{xn}收斂于A，或稱A為{xn}的極限,記作=A,或xn→A(n→∞)，此時也稱{xn}的極限存在.否則稱{xn}的極限不存在，或稱{xn}發(fā)散．只是極限的描述性定義,在這個定義中沒有講清楚“n→∞”和“xn→A”的具體數(shù)學含義．

第6頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三研究數(shù)列將數(shù)列中的項依次在數(shù)軸上描出要說明“當n越來越大時,xn越來越接近于1”就只須說明“當n越來越大時,∣xn-1∣會越來越接近于0”．第7頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三只須說明“當n充分大時,∣xn-1∣能夠小于任意給定的無論多么小的正數(shù)ε”就行了，換一句話說，無論你給一個多么小的正數(shù)ε,當n充分大時,∣xn-1∣可以比ε還小,由于ε是任意的,從而就說明了當n越來越大時,∣xn-1∣會越來越接近于0．

第8頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定義5設{xn}是一個數(shù)列,A是一個常數(shù),若對任給的ε＞0,存在正整數(shù)N,使得當n＞N時,都有∣xn-A∣＜ε,則稱A是數(shù)列{xn}的極限,或稱{xn}收斂于A,記作=A,或xn→A(n→∞)．此時也稱數(shù)列{xn}的極限存在.否則,稱{xn}的極限不存在,或稱{xn}發(fā)散．第9頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三(2)一般說來，定義中的N是隨ε的變化而變化的，給定不同的ε，所確定的N一般也不同．(3)定義中“當n＞N時，有∣xn-A∣＜ε”的意思是從第N+1項開始，以后的各項都滿足∣xn-A∣＜ε．至于第N+1項前面的項(即第1項，第2項，…，第N項)是否滿足此式則不必考慮．

注意:(1)定義中的ε是預先給定的任意小的正數(shù)，因此，ε既具有任意性，又具有確定性．第10頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三(4)數(shù)列極限的幾何意義．xn→A(n→∞)就是對以A為心，以任意小的正數(shù)ε為半徑的鄰域U(A,ε),總能找到一個N,從第N+1項開始,以后的各項(無限多項)都落在鄰域U(A,ε)內(nèi)，而在U(A,ε)外，至多有N項(有限項).{xn}的聚點第11頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例解第12頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三三、數(shù)列極限的性質(zhì)及收斂準則定理1(唯一性定理)若數(shù)列{xn}收斂,則其極限值必唯一．定理2(有界性定理)若數(shù)列{xn}收斂，則{xn}必是有界數(shù)列．定理3(保序性定理)設{xn},{yn}的極限存在,且,則存在正整數(shù)N,當n＞N時,有xn＞yn.第13頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三推論1(保號性定理)設{xn}的極限存在，且(或),則存在正整數(shù)N,當n＞N時,有xn＞0(或xn＜0)．推論2設{xn},{yn}的極限存在,若xn≤yn(當n＞N時),則．特別地,若xn≥0(或xn≤0),則[或].第14頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定理4(夾逼定理)設數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足xn≤yn≤zn(當n＞N時)，且,則．定理5(單調(diào)有界數(shù)列收斂準則)單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限．即單調(diào)有界數(shù)列必有極限．第15頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)函數(shù)的極限一、x→∞時,函數(shù)的極限1.概念定義1設y=f(x)在(-,-M)∪(M,+)內(nèi)有定義,其中M＞0.若對任給的＞0,存在正實數(shù)X＞0,當∣x∣＞X時,相應的函數(shù)值f(x)滿足∣f(x)-A∣＜,則稱A為f(x)的當x→時的極限,記作f(x)=A,或f(x)→A(x→).此時也稱當x→時,f(x)的極限存在,否則稱當x→時,f(x)的極限不存在．第16頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三任給＞0,存在N,當n＞N時,有∣xn-A∣＜與數(shù)列極限定義比較“xn=f(n)”換成了“y=f(x)”“存在正整數(shù)N”換成了“存在實數(shù)X＞0”n是離散變化的,x是連續(xù)變化的對任給的

＞0,存在正實數(shù)X＞0,當∣x∣＞X時,相應的函數(shù)值f(x)滿足∣f(x)-A∣＜第17頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三如果x＞0且無限增大時,f(x)無限接近于常數(shù)A,則記作f(x)=A,或f(x)→A(x→+∞).如果x＜0且x無限增大時,f(x)無限接近于A,則記作f(x)=A,或f(x)→A(x→-)．定理1

f(x)=A的充要條件是f(x)=f(x)=A．第18頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三2.幾何意義f(x)=A的幾何意義是：對任給的＞0,作直線y=A±,存在X＞0,當x＞X時,y=f(x)的函數(shù)圖形夾在兩平行直線y=A±之間.y=f(x)應以直線y=A為漸近線第19頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例試由極限的幾何意義確定arctanx和arctanx,并問arctanx是否存在．解當x→+時,arctanx以直線y=為漸近線.而當x→-時,arctanx以直線y=-為漸近線．第20頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三第21頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三二、

x→x0時,函數(shù)的極限

1.概念定義2設y=f(x)在x0的某去心鄰域(x0)內(nèi)有定義.如對任給的＞0,存在＞0,當0＜x-x0＜時,對應的函數(shù)值f(x)滿足

f(x)-A＜,則稱A為f(x)的當x趨近于x0時的極限,記作f(x)=A,或f(x)→A(x→x0).此時也稱當x→x0時f(x)的極限存在,否則稱當x→x0時f(x)的極限不存在.第22頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三任給的＞0,存在＞0,當0＜x-x0＜時,對應的函數(shù)值f(x)滿足f(x)-A＜數(shù)列極限定義比較

任給

＞0,存在N,當n＞N時,有

xn-A

＜“xn=f(n)”換成了“f(x)”“存在正整數(shù)N”換成了“存在＞0”“n＞N”換成“0＜

x-x0

＜”

N和的含義是不一樣的,都隨的變化而變化的,但N往往很大,而則往往很小.第23頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三2.幾何意義如果f(x)=A,則表示對任給的＞0,存在＞0,當0＜x-x0＜時,有

f(x)-A＜,即A-＜f(x)＜A+.就是當x落在(x0,)內(nèi)時,函數(shù)圖形夾在兩平行直線y=A±之間.第24頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例證第25頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三3.左、右極限定義3設f(x)在(a,x0)[或(x0,b)]內(nèi)有定義,若對任給的＞0,存在＞0,當0＜x0-x＜(或0＜x-x0<)時,有∣f(x)-A∣＜,則稱A為f(x)當x→x0時的左(或右)極限.左極限記作f(x)=A,或f(x0-0)=A,或f(x)→A(x→)．右極限記作f(x)=A,或f(x0+0)=A,或f(x)→A(x→)．第26頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定理2

f(x)=A的充要條件是f(x)=f(x)＝A．即f(x)當x→x0時的極限存在的充要條件是f(x)在x0處的左、右極限均存在并相等．例解第27頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三三、函數(shù)極限的性質(zhì)定理3若limf(x)存在,則其極限必惟一.其中“l(fā)im”表示任一極限過程．定理4(1)若f(x)存在,則必存在X＞0和M＞0,使得當x＞X時,有

f(x)≤M．(2)若f(x)存在,則必存在

＞0和M＞0,使得當0＜

x-x0

＜時,有

f(x)≤M．第28頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定理5(1)若f(x)=a且a＞0(或a＜0),則存在X＞0，當∣x∣＞X時,f(x)＞0[或f(x)＜0].(2)若f(x)=a且a＞0(或a＜0)，則存在＞0,當0＜∣x-x0∣＜時，有f(x)＞0[或f(x)＜0]．定理6(1)若當x∈(x0)時,有f(x)≥0[或f(x)≤0],且

f(x)存在,則f(x)≥0[或f(x)≤0]．(2)若當∣x∣＞X時,有f(x)≥0[或f(x)≤0],且f(x)存在,則f(x)≥0[或f(x)≤0].第29頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定理7(夾逼定理)若當x∈(x0)（或∣x∣＞X)時,有g(x)≤f(x)≤h(x),且g(x)=h(x)=A,則f(x)=A.第30頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)無窮小量、無窮大量一、無窮小量1.無窮小量的概念定義1若limf(x)=0,則稱f(x)是該極限過程中的一個無窮小量．符號“l(fā)im”表示任一極限過程．無窮小量與極限過程分不開,不能脫離極限過程說f(x)是無窮小量．不要把無窮小量與非常小的數(shù)混淆.第31頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定義2如果對任給的＞0,存在＞0(X＞0),當0＜x-x0

＜時(

x＜X時),有

f(x)

＜,則稱f(x)是x→x0(x→∞)時的無窮小量．定理1limf(x)=A的充要條件是存在該極限過程的無窮小量(x)，使得f(x)=A+(x)，其中A為常數(shù)．若當x→x0時,f(x)以A為極限,則當x→x0時,f(x)將越來越接近于A,從而f(x)-A越來越接近于0,即(x)=f(x)-A是x→x0時的一個無窮小量,因此f(x)=A+(x).

第32頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三2.無窮小量的運算定理2在某極限過程中,有限多個無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量．證只證明兩個無窮小量的情形．設(x)→0,(x)→0(x→x0),對任給的＞0,由于/2也是一個正數(shù),存在一個公共的

＞0,當0＜

x-x0＜時,有(x)＜/2,

(x)</2

第33頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三注意:無限多個無窮小量的和不一定是無窮小量．第34頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定義3在x→x0(或x→∞)的極限過程中,若存在M＞0，當x∈(x0)(或∣x∣＞X＞0)時，有∣f(x)∣≤M,則稱f(x)為x→x0(或x→∞)時的有界量．定理3在某極限過程中,無窮小量與有界量之積仍為無窮小量．證設g(x)為x→x0時的有界量,而(x)→0(x→x0)

存在1＞0,當0＜x-x0＜1時,有g(x)≤M．任給＞0,由于(x)→0(x→x0),對

/M

＞0而言,存在2＞0,當0＜x-x0

＜2時,有(x)＜

/M．第35頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三取=min(

1,

2),則當0＜∣x-x0∣＜時,推論1在某極限過程中,常數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量．第36頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定理4在某極限過程中,有限多個無窮小量之積仍為無窮小量．證只就x→x0和兩個無窮小量的情形加以證明設(x)→0,(x)→0(x→x0),(x)是x→x0時的有界量,注意:兩個無窮小量的商不一定為無窮小量.第37頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例解第38頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三二、無窮大量1.無窮大量的概念定義4若對任給的M＞0(無論多么大),存在＞0(或X＞0),當0＜∣x-x0∣＜(或∣x∣＞X)時,有∣f(x)∣＞M,則稱f(x)是x→x0(或x→∞)時的無窮大量,記作f(x)=∞或f(x)→∞(x→x0)[f(x)→∞(x→∞)]．如果當x∈(x0)時,f(x)＞0(f(x)＜0)且f(x)→∞(x→x0),則稱f(x)是x→x0時的正(負)無窮大量,記作如果當x＞X＞0時,f(x)＞0(f(x)＜0)且f(x)→∞(x→∞),則稱f(x)是x→∞時的正(負)無窮大量,記作第39頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例試從函數(shù)圖形判斷極限:第40頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三第41頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三2.無窮大量與無窮小量的關系定理5在某極限過程中,若f(x)是一個無窮大量,則為無窮小量;若f(x)為無窮小量(f(x)≠0),則為無窮大量．證只證x→x0的情形第42頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定理5在某極限過程中,若f(x)是一個無窮大量,則為無窮小量;若f(x)為無窮小量(f(x)≠0),則為無窮大量．第43頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三3.無窮大量的運算性質(zhì)(1)有限個正無窮大量之和為正無窮大量;有限個負無窮大量之和為負無窮大量．注意:兩個無窮大量的和或差(即代數(shù)和)均不一定為無窮大量．(2)有限個無窮大量之積為無窮大量．第44頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三(3)非0常量C與無窮大量之積為無窮大量．(4)無窮大量與有界量之和為無窮大量.特別地,無窮大量與常量C之和為無窮大量.注意:無窮大量與有界量的乘積不一定是無窮大量.特別地,無窮大量與無窮小量之積,無窮大量與無窮大量的商都不一定為無窮大量.第45頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三第四節(jié)函數(shù)極限的運算一、極限的運算法則定理1若limf(x)=A,limg(x)=B均存在,則(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B．(2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B．(3)若B≠0,則lim==．(4)若C為常數(shù),則lim[Cf(x)]=Climf(x)=CA．(5)若n為正整數(shù),則lim[f(x)]n=[limf(x)]n=An．第46頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三證僅證明(2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B．因limf(x)=A,limg(x)=B均存在,由極限與無窮小量的關系定理,有f(x)=A+(x),g(x)=B+(x),其中l(wèi)im(x)=0,lim(x)=0．第47頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例解例解第48頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例解第49頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例解第50頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三第51頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三設f(x)和g(x)分別為n次和m次多項式,即f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an,g(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm,其中a0,b0不為0，則特別地,若g(x)=1,則(a0xn+a1xn-1+…+an)=∞,其中n≥1．

第52頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三二、復合函數(shù)的極限用“換元法”簡化運算例解第53頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定理2設y=f((x))由y=f(u),u=(x)復合而成,若(x)=u0,而f(u)=A,且在(x0)內(nèi),(x)≠u0,則f((x))=f(u)=A．例解第54頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三第五節(jié)兩個重要極限運用夾逼定理來證明作一單位圓,在第一象限中取此單位圓周上的兩點A、B

△AOB面積＜扇形AOB面積＜△DOB面積，第55頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三第56頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三一般地,若在某極限過程中,lim(x)=0,則在該極限過程中有或記為其中表示在某極限過程中(x)→0．第57頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例解例解第58頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例解第59頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三利用單調(diào)遞增并有上界的數(shù)列必有極限證明第60頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三類似地第61頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三若將xn的展開式中各括號內(nèi)的數(shù)都用較大的數(shù)1代替,并注意到2n-1＜n!(n＞1),有

xn單調(diào)遞增且有上界,故xn存在．第62頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三當x取實數(shù)趨向于+∞或-∞時,函數(shù)的極限存在且都等于e,即綜合起來,得到以下公式第63頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例解例解第64頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例解第65頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三第六節(jié)無窮小量的比較、極限在經(jīng)濟學中的應用一、無窮小量比較的概念無窮小量的商的幾種情形:(1)當x→0時,→0,仍為無窮小量．(2)當x→0時,→3,極限為非0常數(shù)．(3)當x→0時,→1,極限為1.(4)當x→0時,→∞,為無窮大量．(5)當x→0時,,極限不存在且不為無窮大量.第66頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定義設,是同一極限過程的兩個無窮小量,即lim=0,lim=0,(1)若lim=0,則稱是的高階無窮小量,記作=o(),此時也稱是的低階無窮小量.(2)若lim=A≠0,則稱與是同階無窮小量,記作=O(),特別地,若lim=A≠0,則稱是的k階無窮小量.記作＝O(

k)．(3)若lim=1,則稱與是等價無窮小量,記作～.在同一極限過程中,兩個無窮小量雖然都是趨近于0的,但它們趨近于0的速度有快有慢.第67頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三二、關于等價無窮小量的性質(zhì)和定理定理1設在某極限過程中,～,～.若lim=a(或為∞),則lim=lim.證第68頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三第69頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定理2設在某極限過程中,～,z是該極限過程中的第三個變量.若lim

z=a(或為∞)，則limz=lim

z．證第70頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定理3設在某極限過程中,～,～,則～.常用的等價無窮小量:若在某極限過程中,(x)→0,則第71頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例解例解第72頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三注意:定理2和定理3只保證了在求函數(shù)的乘積和商的極限時,可用等價無窮小量代換原無窮小量來求極限.第73頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三三、極限在經(jīng)濟學中的應用假定某家銀行的最初存款為R,該銀行最初可以發(fā)放出R(1-r)的貸款,假設這R(1-r)的貸款全被借貸者作為活期存款存入同自己有往來的銀行中．這份存款又被銀行貸放出去,根據(jù)存款保留率,第二次貸放的數(shù)額為R(1-r)-R(1-r)r＝R(1-r)2．…可以利用限極概念來研究存款形成總額及派生存款的創(chuàng)造系數(shù)．“存款保留率”r

第74頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三存款形成總額：最初存款D0=R，第一次貸放后D1=R＋R(1-r)，第二次貸放后D2=R＋R(1-r)+R(1-r)2，………………第N次貸放后DN=R+R(1-r)+R(1-r)2+…+R(1-r)N

第75頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三最終派生存款形成總額存款創(chuàng)造系數(shù)是存款保留率的倒數(shù)．有稱為存款創(chuàng)造系數(shù)第76頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三設有本金A0,年利率為r,則一年后得利息A0r,本利和為A0＋A0r＝A0(1＋r),n年后所得利息nA0r,本利和為An=A0+nA0r=A0(1+nr)．這就是單利的本利和計算公式．第二年以第一年后的本利和A1為本金,則兩年后的本利和為A2＝A0(1＋r)＋A0(１＋r)r＝A0(１＋r)2，照此計算,n年后應得本利和為An＝A0(1＋r)n．這就是一般復利的本利和計算公式.

第77頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三資金周轉過程是不斷持續(xù)進行的,若一年中分t期計算,年利率仍為r,于是每期利率為,則一年后的本利和為A1＝A０(1＋)t，n年后本利和為An＝A０(1＋)nt

，若采取瞬時結算法,即隨時生息,隨時計算,也就是t→∞時,得n年后本利和為

這就是連續(xù)復利公式．第78頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三第七節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

一、函數(shù)連續(xù)性的概念定義1設f(x)在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義,若f(x)=f(x0),則稱f(x)在點x0處連續(xù),x0稱為f(x)的連續(xù)點.否則稱f(x)在x0處間斷,x0稱為f(x)的間斷點(或不連續(xù)點).函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù),應該滿足下列三點：(1)f(x)在點x0及其某鄰域U(x0)內(nèi)有定義;(2)f(x)=a存在;(3)a=f(x0).第79頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定義2設函數(shù)f(x)在[x0,x0+](＞0為常數(shù))內(nèi)有定義.若f(x)=f(x0),則稱函數(shù)f(x)在點x0處是右連續(xù)的.設函數(shù)f(x)在(x0-,x0](＞0為常數(shù))內(nèi)有定義.若f(x)=f(x0),則稱函數(shù)f(x)在點x0處是左連續(xù)的.函數(shù)在點x0處的左、右連續(xù)性統(tǒng)稱為函數(shù)的單側連續(xù)性.定理1

f(x)在點x0處連續(xù)的充要條件是f(x)在點x0處既是右連續(xù)的,又是左連續(xù)的.即f(x)=f(x0)的充要條件是f(x)=

f(x)=f(x0)．第80頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例證明函數(shù)f(x)=3x2-1在x=1處連續(xù).證因為f(1)=3×1-1=2,故函數(shù)f(x)=3x2-1在x=1處連續(xù)第81頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定義3若f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點均連續(xù),則稱f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),記為f(x)∈C((a,b)).若f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),且在x=a處右連續(xù),在x=b處左連續(xù),則稱f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),記作f(x)∈C([a,b]).

連續(xù)函數(shù)的幾何意義:若函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),則y=f(x)在(a,b)上的函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線,反之也對.第82頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三變量u的終值u2與它的初值u1的差u2-u1稱為變量u的增量(或改變量),記為Δu＝u2-u1.Δu是一個整體記號,可取正值、負值或零,也稱為變量u在u1處的差分.

對函數(shù)來說:設函數(shù)f(x)在U(x0)內(nèi)有定義,x∈U(x0),則稱x=x-x0為自變量x在點x0處的增量(或改變量).此時,x=x0+x.相應地,函數(shù)f(x)在點x0處有增量(或改變量),y=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0)．定義4設f(x)在U(x0)內(nèi)有定義,若y=0,則稱f(x)在點x0處連續(xù),其中y=f(x0+x)－f(x0).第83頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三二、函數(shù)的間斷點若函數(shù)f(x)在點x0的某去心鄰域(x0)內(nèi)有定義,但在點x0處不連續(xù),則稱f(x)在點x0處間斷,點x0稱為函數(shù)f(x)的間斷點．函數(shù)f(x)在點x0處間斷,一般有下列幾種情形：(1)f(x)在點x0處無定義；(2)f(x)在點x0處的左、右極限至少有一個不存在；(3)f(x)在點x0處的左、右極限存在，但不相等；(4)f(x)在點x0處的左、右極限存在且相等，但不等于函數(shù)f(x)在這點的函數(shù)值．第84頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三若f(x)=a存在,但函數(shù)f(x)在點x0處無定義,或者雖有定義,但f(x0)≠a,則稱點x0為函數(shù)f(x)的可去間斷點．例第85頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例左、右極限均存在但不相等的函數(shù)的間斷點為跳躍間斷點．解第86頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定義5若x0為函數(shù)f(x)的一個間斷點,且f(x)與

f(x)均存在,則稱點x0為函數(shù)f(x)的一個第一類間斷點．定義6凡不屬于第一類的間斷點,稱為函數(shù)的第二類間斷點．函數(shù)的第二類間斷點通常有無窮型間斷點和振蕩型間斷點．第87頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例解所以函數(shù)f(x)在點x0處間斷,點x0=0為f(x)的第二類間斷點,稱之為無窮型間斷點．第88頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三例解第89頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三三、連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)定理2若f(x),g(x)在點x0處連續(xù),則(1)f(x)+g(x)在x0連續(xù),其中,.為常數(shù)；(2)f(x)·g(x)在x0連續(xù)；(3)當g(x0)≠0時,在x0連續(xù)．定理3設y=f((x))由y=f(u),u=(x)復合而成.若u=(x)在x0處連續(xù),u0＝(x0),而y=f(u)在u0處連續(xù),則復合函數(shù)y=f((x))在x0處連續(xù),即f((x))=f((x0)).第90頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三推論若lim(x)=A,且y=f(u)在u=A處連續(xù)，則limf((x))＝f(lim(x))．換言之,若函數(shù)f(u)連續(xù),則極限符號可以拿到連續(xù)函數(shù)符號里邊去．例解第91頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三定理4設函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上嚴格單調(diào)增加(減少)且連續(xù),則其反函數(shù)x=f-1(y)在相應區(qū)間I*＝{y｜y=f(x),x∈I}上嚴格單調(diào)增加(減少)且連續(xù)．函數(shù)x=f-1(y)的圖形與函數(shù)y=f(x)的圖形相同,而y=f-1(x)的圖形是y=f(x)的圖形繞直線y=x翻轉180°而成.故其單調(diào)性和連續(xù)性均保持.

第92頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三四、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)即常數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的．若f(x)是一初等函數(shù),它在[a,b]上有定義,則對任何x0∈(a,b),有f(x)=f(x0).例解第93頁，共103頁，2023年，2月20日，星期三冪指函數(shù)的連續(xù)性和冪指函數(shù)的極限稱形為y=[f(x)]g(x)的函數(shù)為冪指函數(shù),其中f(x)＞0．冪指函數(shù)可看作是由y=eu和u=g(x)·lnf(x)復合而成.由于eu連續(xù),故當g(x)和f(x)都連續(xù)時,g(x)lnf(x)連續(xù),進而[f(x)]g(x)=eg(x)lnf(x)連續(xù).即,若f(x)=f(x0),g(x)=g(x0).則[f(x)]g(x)=