第二章方程組迭代法

第二章方程組迭代法《數(shù)值分析》主講教師譚高山1第1頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三2.0引言第2頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三2.1求實(shí)根的二分法

TheBisectionMethod第3頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三第4頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三局限性：只能求一個實(shí)根，不能辨識重根或求復(fù)根，收斂速度對任何函數(shù)均一樣且慢，對多元方程的情形須做修改。第5頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三第6頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三INPUTa,b;TOL;maximumnumberofiterationN.

OUTPUTapproximationsolutionpormessageoffailure.

Step1Seti=1;FA=f(a),giveNStep2whilei<=Ndostep3-6

Step3setp=a+(b-a)/2;

FP=f(p)

Step4IfFP=0or(b-a)/2<TOLthenOUTPUTp;STOP.

Step5Seti=i+1

Step6IfFA·FP>0

thenset

a=p;FA=FP

elsesetb=p

Step7OUTPUT(‘methodfailedafterNiteration,N=’,N)

STOPDescribetheAlgorithmofBisection第7頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三2.2迭代法及收斂性迭代法求非線性方程f(x)=0的根的迭代解法是指從給定的一個或者幾個初始值出發(fā)，按某種方法產(chǎn)生一個解的序列，該序列稱為迭代序列，使得此序列收斂于非線性方程f(x)=0的一個根。迭代法可分為兩類：（1）從任何初始值出發(fā)都收斂（全局收斂）；（2）只有初始值充分接近于所求根時才收斂（局部收斂）。第8頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三方程f(x)=0改為等價形式x=g(x)，若x1滿足x1=g(x1)則稱x1為g(x)的一個不動點(diǎn)，x1也是f(x)=0的一個根。構(gòu)造不動點(diǎn)迭代法：，g(x)成為迭代函數(shù)，若固定點(diǎn)迭代：第9頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三迭代法的幾何意義

通常將方程f(x)=0化為與它同解的方程的方法不止一種,有的收斂,有的不收斂,這取決于的性態(tài)。(a)(b)第10頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三2.2迭代法及收斂性第11頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三2.2迭代法及收斂性第12頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三2.2迭代法及收斂性上式的最后兩項(xiàng)分別用于事后估計(jì)和事先估計(jì)。第13頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三局部收斂性定義：定理：（例題中迭代公式的選取）第14頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三局部收斂性證明：第15頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三局部收斂性第16頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三局部收斂性例：試用不同迭代法第17頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三收斂階收斂階（刻畫收斂速度的標(biāo)準(zhǔn)之一）：

第18頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三收斂階定理：第19頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三收斂階證明：第20頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三2.3Steffensen加速技巧第21頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三2.3Steffensen加速技巧第22頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三2.3Steffensen加速技巧Steffensen加速技巧的幾何意義由Aitken給出。第23頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三2.4Newton迭代法第24頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三幾何意義（切線法）第25頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三第26頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三Newton法局部收斂定理證明:注意到第27頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三Newton下山法從Newton迭代法的收斂性可見，他僅是局部收斂的，為擴(kuò)大收斂范圍，可改進(jìn)迭代公式為：第28頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三第29頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三重根的情形定理2.3第30頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三第31頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

弦位法（割線法）第32頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三幾何意義第33頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三第34頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三2.5*解非線性方程組的Newton迭代法第35頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三第36頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三據(jù)此抽出不動點(diǎn)形式，進(jìn)而構(gòu)造Newton迭代公式：第37頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三2.6最速下降迭代法（規(guī)劃法）解非線性方程組