【精編】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)對(duì)點(diǎn)提分專題5導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)文理科通用學(xué)生版

第三篇導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

專題3.05導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)【考點(diǎn)聚焦突破】考點(diǎn)一判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例1】(2019?青島期中)已知二次函數(shù)f(x)的最小值為一4,且關(guān)于x的不等式f(x)W0的解集為{xI-1WxW3,x￡R}.⑴求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)』y-4lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù).x【規(guī)律方法】 利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù)的常用方法(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g，(x)易求，g，(x)=0可解)，轉(zhuǎn)化確定g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)利用零點(diǎn)存在性定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x尸ex-1,g(x)=-..；x+x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828….(1)證明：函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)；(2)求方程f(x)=g(x)的根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.考點(diǎn)二已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍【例2】函數(shù)f(x尸ax+xlnx在x=1處取得極值.⑴求fx)的單調(diào)區(qū)間；(2)若y=fx)-m-1在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【規(guī)律方法】與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與x軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過(guò)對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.【訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x尸ex+ax—a(a￡R且aW0).(1)若f(0)=2,求實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)f(x)在［-2,1］上的最小值；(2)若函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的綜合問(wèn)題【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=e2x—alnx.⑴討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);2(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)三2a+aIn一.a【規(guī)律方法】1.在(1)中，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，從而f(x)在(0,+8)上至多有一個(gè)零點(diǎn)，問(wèn)題的關(guān)鍵是找到b，使f(b)<0.22.由(1)知，函數(shù)f(x)存在唯一零點(diǎn)x0，則f(x0)為函數(shù)的最小值，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明f(x0)三2a+alna.【訓(xùn)練3】(2019?天津和平區(qū)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=lnx—x—m(m<—2,m為常數(shù)).(1)求函數(shù)f(x)在U，e_|的最小值;(2)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，且x1<x2,證明：x/x2<1.【反思與感悟】.解決函數(shù)尸f(x)的零點(diǎn)問(wèn)題，可通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)圖象的位置、形狀和發(fā)展趨勢(shì)，觀察圖象與x軸的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法判斷函數(shù)的零點(diǎn)是否存在及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等..通過(guò)等價(jià)變形，可將“函數(shù)F(x尸fx)-g(x)的零點(diǎn)”與“方程fx尸g(x)的解”問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化.【易錯(cuò)防范】函數(shù)y=f(x)在某一區(qū)間(a,b)上存在零點(diǎn)，必要時(shí)要由函數(shù)零點(diǎn)存在定理作為保證.【分層訓(xùn)練】【基礎(chǔ)鞏固題組】(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇—1,4],部分對(duì)應(yīng)值如下表：x—10234f(x)12020二、填空題.直線x=t分別與函數(shù)f(x)=ex+1的圖象及g(x)=2x—1的圖象相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，則!ABI的最小值為axa.若函數(shù)f(x)=^^+1(a<0)沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為ex三、解答題.(2019.保定調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=/3—+2-ax-2的圖象過(guò)點(diǎn)A(4,芋).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-2m+3有3個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.mx.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+m(m>0),討論函數(shù)g(x)=f/x(—x零點(diǎn)的個(gè)數(shù).x3【能力提升題組】(建議用時(shí)：25分鐘)6.(2018-江蘇卷改編)若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(aGR)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求f(x)在［—1,1］上的最大值與最小值的和.7.已知函數(shù)f(x)=ax+lnx，其中a為常