切線長(zhǎng)定理-知識(shí)講解(基礎(chǔ))

切線長(zhǎng)定理一知識(shí)講解(基礎(chǔ))責(zé)編：康紅梅【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解切線長(zhǎng)定義；理解三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的定義；掌握切線長(zhǎng)定理；利用切線長(zhǎng)定理解決相關(guān)的計(jì)算和證明【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、切線長(zhǎng)定理1.切線長(zhǎng)：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)要點(diǎn)詮釋：切線長(zhǎng)是指圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，不是“切線的長(zhǎng)”的簡(jiǎn)稱 ?切線是直線，而非線段?.切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角要點(diǎn)詮釋：切線長(zhǎng)定理包含兩個(gè)結(jié)論：線段相等和角相等?圓外切四邊形的性質(zhì)：圓外切四邊形的兩組對(duì)邊之和相等?要點(diǎn)二、三角形的內(nèi)切圓1.三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓 ?這個(gè)三角形叫作圓的外切三角形?2?三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心形的三條角平分線的交點(diǎn)?

三角形的內(nèi)心是這個(gè)三角要點(diǎn)詮釋：任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形；1I'：(S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).2⑶三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別:名稱名稱外心(外接圓的圓確定方法圖形性質(zhì)A三角形三邊中垂線的(1)0A=0B=0C(2)外心不一交占八、、定在三角形內(nèi)部心)內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)

三角形三條角平分線的交點(diǎn)

X (1)到三角形三邊距離相等;(2)OA、OBOC分別平分MBAGMABGMACB⑶內(nèi)心在三角形內(nèi)部.【典型例題】類型一、切線長(zhǎng)定理秋?PAPBOOAB,EABEPACPB于D.(1PA=6,PCD(2)若/P=50°求/DOC解：(1)連接OE???PAPB與圓O相切，???PA=PB=6同理可得：AC=CEBD=DE△PCD的周長(zhǎng)=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+P；=12(2)TPAPB與圓O相切，???/OAPMOBP=90/P=50°,???/AOB=360-90°-90°-50°=130°,在Rt△AOC和Rt△EOC中，rOA=OELOC=OC ，Rt△AOQRt△EOC(HL),???/AOCHCOE同理：/DOEMBOD/=25.【總結(jié)升華】本題考查的是切線長(zhǎng)定理和全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵.2.(2016秋?江陰市校級(jí)期中)如圖，AB、AC、BD是OO的切線，P、C、D為切點(diǎn)，如果AB=5,AC=3，貝UBD的長(zhǎng)為 AC、BD是OO的切線，貝UAC=AP,BP=BD，求出BP的長(zhǎng)即可求出BD的長(zhǎng).???AC=AP,?/BP、BD為OO的切線,?BP=BD,?BD=PB=AB-AP=5-3=2.故答案為：2.舉一反三： 【答案】2.【變式】已知：如圖，OOA AD_解析: /A、P為OO的切線,過點(diǎn)

于點(diǎn) 求證：DA為【總結(jié)升華】本題考查了切線長(zhǎng)定理，兩次運(yùn)用切線長(zhǎng)定理并利用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.為.：ABC的外接圓，BC為OO的直徑，作射線BF，使得BA平分三CBF,的切線.AO=BO2=.3.BA平分.CBF,? ?1=.2.?Z3Z1.DB//AO.AD_DB,? BDA90..DAO90.【答案】O是.半徑，?DA為OO的切線.3.內(nèi)作半圓，過A作半圓的切線，與半圓相切則△ADE的面積（ ）

ABCDBC為直徑在正方形ABCDFDC相交于E點(diǎn)，A.12【答案】

B.24 C.8 D.6【解析】AE 0F,顯然根據(jù)切線長(zhǎng)定理有AF=AB=4cm,EF=EC,設(shè)EF=EC=xcm,則DE=(4-cm,AE=(4+x)cm,在三角形ADE中由勾股定理得：222(4-+4=(4+x),x=1cm,/?CE=1cm,.DE=4-仁3cm,2--^DE=AD?DE-=2=3^4^2=6cm-【總結(jié)升華】此題主要考查圓的切線長(zhǎng)定理，正方形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是運(yùn)用切線長(zhǎng)定理得出AB=AF,EF=EC.類型二、三角形的內(nèi)切圓4.(2015?青江市校級(jí)二模)如圖，在△ABC中，I是內(nèi)心，O是AB邊上一點(diǎn)，00經(jīng)過B點(diǎn)且與AI相切于I點(diǎn).求證：AB=ACBC=16005AI的長(zhǎng).【解題思路】AIBCD,OI,如圖，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得/OBI=ZDBIOI//BDOIAIUBDLADAI平分/BAC所以△ABC為等腰三角形，得到AB=AC(2OI//BC得到△AOIsAABD得到比例式，再根據(jù)勾股定理求得【答案與解析】解：(1AIBCD,OI，如圖,

ADJAB2BD2T是厶 ABC的內(nèi)心，???BI平分/ABC即/OBI=ZDBI,?/OB=O|???/OBI=ZOIB,???/DBI=ZOIB,01//BD?/AI為OO的切線，01AI,BDLAD?/AI平分/BACABC為等腰三角形，AB=AC(2)TOI//BC△AOIsAABD-yli.Hiii，?訂:AB』AI=?AD=BD8Ai2"32,

二11~=~【總結(jié)升華】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.舉一反三：ABC中，/BC=4,AC