平面向量的線性運算及練習(xí)試題

-.z.平面向量的線性運算學(xué)習(xí)過程知識點一：向量的加法〔1〕定義非零向量，在平面內(nèi)任取一點A，作＝，＝，則向量叫做與的和，記作，即＝＋＝．求兩個向量和的運算，叫做叫向量的加法．這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．說明：①運用向量加法的三角形法則時，要特別注意"首尾相接〞，即第二個向量要以第一個向量的終點為起點，則由第一個向量的起點指向第二個向量終點的向量即為和向量.②兩個向量的和仍然是一個向量，其大小、方向可以由三角形法則確定．③位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型．〔2〕向量加法的平行四邊形法則以點O為起點作向量，，以O(shè)A,OB為鄰邊作，則以O(shè)為起點的對角線所在向量就是的和，記作=。說明：①三角形法則適合于首尾相接的兩向量求和，而平行四邊形法則適合于同起點的兩向量求和，但兩共線向量求和時，則三角形法則較為適宜.②力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型．③對于零向量與任一向量〔3〕特殊位置關(guān)系的兩向量的和①當(dāng)向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|<||+||；②當(dāng)與同向時，則+、、同向，且|+|=||+||，③當(dāng)與反向時，假設(shè)||>||，則+的方向與一樣，且|+|=||-||；假設(shè)||<||，則+的方向與一樣，且|+b|=||-||.〔4〕向量加法的運算律①向量加法的交換律：+=+②向量加法的結(jié)合律：(+)+=+(+)知識點二：向量的減法〔1〕相反向量：與?！?〕①向量和-互為相反向量，即–(-).②零向量的相反向量仍是零向量．③任一向量與其相反向量的和是零向量，即＋(-)＝(-)＋＝．④如果向量互為相反向量，則＝-，＝-，＋＝．〔3〕向量減法的定義：向量加上的相反向量，叫做與的差.即：=+()求兩個向量差的運算叫做向量的減法.〔4〕向量減法的幾何作法在平面內(nèi)任取一點O，作，則．即可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量，這就是向量減法的幾何意義．說明：①表示.強調(diào)：差向量"箭頭〞指向被減數(shù)②用"相反向量〞定義法作差向量，=+()，顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.知識點三：向量數(shù)乘的定義〔1〕定義：一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：⑴|λ|＝|λ|||⑵當(dāng)時，λ的方向與的方向一樣；當(dāng)時，λ的方向與的方向相反．當(dāng)時，λ＝〔2〕向量數(shù)乘的運算律根據(jù)實數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗證下面的運算律：設(shè)、為實數(shù)，則⑴λ(μ)＝(λμ)；⑵(λ＋μ)＝λ＋μ；⑶λ(＋)＝λ＋λ．知識點四：向量共線的條件向量()與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使＝．學(xué)習(xí)結(jié)論〔1〕兩個向量的和仍然是向量，它的大小和方向可以由三角形法則和平行四邊形法則確定，這兩種法則本質(zhì)上是一致的．共線向量加法的幾何意義，為共線向量首尾相連接，第一個向量的起點與第二個向量的終點連接所得到的有向線段所表示的向量．〔2〕可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量〔3〕實數(shù)與向量不能相加減，但實數(shù)與向量可以相乘．向量數(shù)乘的幾何意義就是幾個相等向量相加．〔4〕向量()與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使＝。練習(xí)例1．任意兩個非零向量，作，試判斷A、B、C三點之間的位置關(guān)系．解：∵＝－＝a+2b－(a+b)＝b，且＝－＝a+3b－(a+b)＝2b，∴＝2．所以，A、B、C三點共線．例2.如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點，且＝，＝，試用，表示向量．解析：=，所以,所以例3.一艘船從長江南岸A點出發(fā)以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的流速為向東2km/h．⑴試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度〔保存兩個有效數(shù)字〕；⑵求船實際航行速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示，準(zhǔn)確到度).分析：速度是一個既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法.解析：⑴如圖，設(shè)表示船向垂直于對岸行駛的速度，表示水流的速度，以AD、AB作鄰邊作平行四邊形ABCD，則就是船實際航行的速度.⑵在Rt△ABC中，||＝2，||＝5，∴||＝∵tan∠CAB＝，∴答：船實際航行速度的大小約為5.4km/h，方向與水的流速間的夾角為約為68°.1.(2006上海理)如圖，在平行四邊形ABCD中，以下結(jié)論中錯誤的選項是〔〕ABCD〔A〕＝；〔B〕＋＝；ABCD〔C〕－＝；〔D〕＋＝．2．〔2007湖南文〕假設(shè)O、E、F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是〔〕A．B.C.D.3．〔2003遼寧〕四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上〔不包括端點A、C〕，則〔〕A． B． C． D．4.(2008遼寧理)O，A，B是平面上的三個點,直線AB上有一點C，滿足,則〔〕A． B． C． D．5．〔2003江蘇；天津文、理〕是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足的軌跡一定通過的() 〔A〕外心 〔B〕內(nèi)心 〔C〕重心 〔D〕垂心6．〔2005全國卷Ⅱ理、文〕點，，．設(shè)的平分線與相交于，則有，其中等于()〔A〕２〔B〕〔C〕－３〔D〕－7．設(shè)是兩個不共線的非零向量，假設(shè)向量與的方向相反，則k=__________.8.〔2007江西理〕．如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，假設(shè)＝m，＝n，則m＋n的值為．9．〔2005全國卷Ⅰ理〕的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，，則實數(shù)m=10.〔2007陜西文、理〕如圖，平面內(nèi)有三個向量、、，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且＝＝1，＝.假設(shè)＝的值為.例1.B．例2．Ａ．例3．B.〔三〕根底訓(xùn)練：1.C；2．B.3．A．4.A．5．B6．C；7．_—4__；8.2．9．1；10..〔四〕拓展與探究：11、D．；12.，.平面向量的線性運算〔復(fù)習(xí)課〕復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義.2、掌握向量數(shù)乘運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義.3、了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.重點:向量加、減、數(shù)乘運算及其幾何意義.難點:應(yīng)用向量線性運算的定義、性質(zhì)靈活解決相應(yīng)的問題.一、學(xué)案導(dǎo)學(xué)自主建構(gòu)復(fù)習(xí)1:向量的加法復(fù)習(xí)2:向量的減法向量a和向量b,作向量a+b.向量a和向量b,作向量a-b.復(fù)習(xí)3：向量的數(shù)乘復(fù)習(xí)4：平面向量共線定理向量a,作向量3a和-3a.二、合作共享交流提升1、填空：-------------------2、判斷題：〔1〕相反向量就是方向相反的向量〔2〕〔3〕〔4〕在△ABC中，必有〔5〕假設(shè)，則A、B、C三點必是一個三角形的三個頂點。三、案例剖析總結(jié)規(guī)律例1:根據(jù)條件判斷以下四邊形的形狀例2、如圖，在中,延長BA到C,使AC=BA,在OB上取點D,使BD=OB.DC與OA交于E,設(shè)請用.例3、設(shè)?