第六章線性方程組的數(shù)值解

第六章線性方程組的數(shù)值解第1頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三本章解決的問題：線性代數(shù)方程組的基本解法?！?引言第2頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三矩陣形式表示為:AX=b,其中當(dāng)A非奇異時，detA≠0，方程組有唯一解。n個未知量n個方程的線性代數(shù)方程組第3頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三解線性方程組的兩類方法：直接法:經(jīng)過有限次運算后可求得方程組精確解的方法(不計舍入誤差!)迭代法：從解的某個近似值出發(fā)，通過構(gòu)造一個無窮序列去逼近精確解的方法。（一般有限步內(nèi)得不到精確解）第4頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三一.Gauss消去法過程:1.消元:§2.Gauss消去法第5頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三=思路首先將方程組Ax=b

化為上三角方程組，此過程稱為消去過程，再求解上三角方程組，此過程稱為回代過程.第6頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三2.回代過程:第7頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三矩陣形式表示為:AX=b,其中當(dāng)A非奇異時，detA≠0，方程組有唯一解。n個未知量n個方程的線性代數(shù)方程組二.一般線性方程組的Gauss消去法計算過程第8頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第一步：記乘數(shù)為:第9頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三相當(dāng)于第一個方程×(-乘數(shù)mi1)加到第i方程上去得到等價方程:第10頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第11頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三上述消元過程除第一個方程不變以外,

第2至第n個方程全消去了變量x1，而系數(shù)

和常數(shù)項全得到新值.第12頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第13頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第14頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第k-1次消元得到第15頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三k次消元第16頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第17頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三系數(shù)矩陣與常數(shù)項：第18頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三回代過程算法第19頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三問題1.消元過程能按順序進行到底的充要條件是什么？答：問題2.在原方程組的系數(shù)矩陣中如何反映出這個條件呢?稱為消元過程的主元素。第20頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三A的k階順序主子矩陣Ak的行列式值是:就是要求A的所有順序主子式均不為0，第21頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三定理1(高斯消去法)設(shè)Ax=b，其中A∈Rn×n。如果約化的主元素akk≠0(k=1,2…,n)，則可通過高斯消去法(不進行交換兩行的初等交換)將方程組Ax=b約化為三角形矩陣方程組且消元和求解公式為(1)消元計算k=1,2,…,n-1第22頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三(2)回代第23頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三四、Gauss消去法乘法計算量(1)消元計算：在第k步(k=1,2….n-1)1、計算乘數(shù)：需作n-k次除法運算；2、消元：需作有(n-k)2次乘法運算3、計算b(k):需作(n-k)次乘法運算；第24頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三高斯消去法解方程組Ax=b的計算量即總共為除法運算次數(shù)為n次.乘法運算次數(shù)為(n-1)+…+1=n(n-1)/2次；共需要作n(n＋1)/2次乘除法運算。（2）回代過程的計算通常也說Gauss消去法的運算次數(shù)與n3同階,記為O(n3)第25頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第26頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第27頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第28頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三6.3選主元高斯消去法第29頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三為避免這種情況的發(fā)生,可通過交換方程的次序，選取絕對值大的元素作主元.基于這種思想導(dǎo)出了主元素法在高斯消去法消去過程中可能出現(xiàn)的情況，這時高斯消去法將無法進行；即使主因素但很小，其作除數(shù)，也會導(dǎo)致其它元素數(shù)量級的嚴重增長和舍誤差的擴散第30頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三例：單精度解方程組/*精確解為和*/8個8個用Gaussian消元法計算：8個小主元可能導(dǎo)致計算失敗。第31頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三選主元高斯消去法基本思想：每次消元前按一定的范圍選取絕對值最大的元素作為主元素,以便減少舍入誤差的影響。主要有列主元高斯消去法和全主元高斯消去法.第32頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三1.列主元消元法思想若交換k行和j行行的交換，不改變方程組的解，同時又有效地克服了Gauss消元地缺陷,這種方法稱為列主元Gauss消去法。例：一、列主元消元法思想在第k步消元前，在系數(shù)矩陣第k列的對角線以下的元素中找出絕對值最大的元。

第33頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三交換2.列主元消元法步驟:第一步:從第一列中選出絕對值最大的元素第34頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第k步從的第k列，，中選取絕對值最大項，記錄所在行，即若交換第k行與行的所有對應(yīng)元素，再進行順序消元。具體如下:

第35頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)k-1列消元后增廣矩陣為第k次消元時，先選列主元素，即在第k列以下的各元素中尋找絕對值最大的元素作為主元素,即確定ik，使中之最大者。

為第36頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第37頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第38頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三二、全主元高斯消去法全主元消去法，在第k列(k=1,2,…，n-1)消元時，從系數(shù)矩陣的右下角(n-k+1)階子矩陣中，選取絕對值最大的元素作為主元素。1、全主元高斯消去法基本思想:第39頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)有線性方程組Ax=b，其中A為非奇異矩陣。方程組的增廣矩陣為2、全主元高斯消去法步驟:第40頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第1步(k=1)：首先在A中選主元素，即選擇i1,j1使再交換(A,b)的第1行與第i1行元素，交換A的第1列與第j1列元素，將ai1j1調(diào)到(1,1)位置(交換后增廣陣為簡單起見仍記為(A,b))；然后,進行消元計算。第41頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第42頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第43頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三Gauss全主元消去法：優(yōu)點------計算結(jié)果更可靠；缺點------挑主元花機時更多，次序有變動，程序復(fù)雜。第44頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三矩陣的三角分解第45頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三§4三角分解法一.高斯消元法的矩陣形式從矩陣理論來看Gauss消元法的第k步消去過程相當(dāng)于左乘初等變換矩陣Lk第46頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第47頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第48頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第49頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三A

的

LU

分解第50頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第51頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三證明：由§1中定理可知，LU分解存在。下面證明唯一性。若不唯一，則可設(shè)A=L1U1=L2U2，推出上三角矩陣對角線上為1的下三角矩陣注：（1）L為單位下三角陣而U為一般上三角陣的分解稱為Doolittle

分解（2）L為一般下三角陣而U為單位上三角陣的分解稱為Crout分解。

定理2(矩陣的LU分解)設(shè)A∈Rn×n。如果A的順序主子式det(Ai)≠0,(i=1,2,…,n-1)，則A可分解為一個單位下三角陣L與一個上三角陣U的乘積，即A=LU，且分解是惟一的。第52頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三杜利特爾分解(Doolittle)常用的另一種三角分解：克勞特分解(Crout)第53頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三通過比較法直接導(dǎo)出L和U的計算公式。1.思路二.Doolittle分解法：第54頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第55頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第56頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三2.一般計算公式比較第1行：比較第1列：第57頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第58頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第59頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第60頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第61頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)A非奇異，并有三角分解A=LU，則方程組Ax=b就化為

LUx=b

只須求解兩個簡單的三角形方程組：（1）解Ly=b求出y，(2)解Ux=y，求出x.三.LU分解求解線性方程組第62頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三(1).解Ly=b求出y，第63頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三展開方程組Ly=b,得第64頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三(2).解Ux=y，求出x.展開方程組Ux=y,得第65頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第66頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三總運算量為：第67頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三四.例題第68頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第69頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第70頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第71頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第72頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三練習(xí)1：

試求矩陣的杜利特爾分解，克勞特分解練習(xí)2:用杜利特爾分解法求解方程組第73頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三定理3：設(shè)A為非奇異陣，則必存在置換矩陣P，使得其中L為單位下三角陣，U為非奇異的上三角陣。第74頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三§5求解三對角方程組的追趕法第75頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三在實際問題中如樣條插值及常微分方程邊值問題的數(shù)值解中，會遇到求解三對角線形線組：b1x1+c1x2=f1a2x1+b2x2+c2x3=f2a3x2+b3x3+c3x4=f3an-1xn-2+bn-1xn-1+cn-1xn=fn-1anxn-1+bnxn=fn§5求解三對角方程組的追趕法第76頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三

A為三對角陣，且滿足對于具有以上條件的方程組，我們介紹下述的追趕法求解。追趕法具有計算量少，方法簡單，算法穩(wěn)定等特點。第77頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第78頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第79頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第80頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第81頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第82頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第一步:對A作Crout分解第83頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三直接比較等式兩邊的元素，可得到計算公式（p.184）可得到計算公式第84頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第二步:追—即解：第三步:趕—即解：第85頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三追趕法公式實際上就是把高斯消元法用到求解三對角線方程組上去的結(jié)果，這時由于A特別簡單，因此使得求解的計算公式非常簡單，而且計算量僅有5n-4次乘除法。3n-3次加減法，工作量小，電算時，需要3個一維數(shù)組存儲A的系數(shù)，兩個一維數(shù)組保存中間結(jié)果。第86頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三例6

用追趕法解方程組第87頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三練習(xí):用追趕法解線組第88頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三§6對稱正定陣的平方根法第89頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)有方程組Ax=b，其中，A∈Rn×n。若A滿足下述條件，則稱A為對稱正定矩陣。一.對稱正定陣②對任意非零向量x∈Rn，則有(Ax,x)=xTAx>0。①A對稱，即AT=A；第90頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三回顧：對稱正定陣A的幾個重要性質(zhì)（1）A1

亦對稱正定，且aii>0（2）A

的順序主子陣

Ak

亦對稱正定（3）A

的特征值i

>0

(i=1,2,…,n)（4）A

的全部順序主子式

det(Ak

)>0(i=1,2,…,n)二.對稱正定陣重要性質(zhì)第91頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三三對稱正定陣的LDLT分解設(shè)A為對稱正定矩陣，則由定理知，A有惟一的三角分解為利用A的對稱性,將U分解為U=DU0其中第92頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三于是，（6.6.2）第93頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第94頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三由矩陣三角分解的惟一性，則從而對稱正定矩陣A有惟一分解式（6.6.3）由式(6.6.2)可知第95頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三于是，對角陣D還可以分解為代入式(6.6.3)，則有第96頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三定理6(對稱正定陣的三角分解)設(shè)A為n階對稱正定矩陣，則有三角分解：①A=LDLT，其中L為單位下三角陣，D為對角陣，或②A=LLT，其中，L為下三角陣且當(dāng)限定L的對角元素為正時，這種分解是惟一的，這種矩陣分解稱為(Cholesky)分解。第97頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三下面推導(dǎo)實現(xiàn)分解計算A=LLT的遞推公式及求解公式。設(shè)有Ax=b，其中A∈Rn×n為對稱正定矩陣，于是有三角分解四.計算A=LLT的遞推公式，及求解公式。其中，lii>0(i=1,2,…,n)。第98頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三由矩陣乘法，則有L的第1列元素同理，可確定L的第j列元素lij(i=j,…,n)。(當(dāng)j＜k時，則ljk=0)第99頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第100頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第101頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三Cholesky分解法缺點及優(yōu)點優(yōu)點：可以減少存儲單元。缺點：存在開方運算，可能會出現(xiàn)根號下負數(shù)。第102頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三由分解公式有所以說明ljk是有界的,數(shù)量級不會增長,因此平方根法計算是數(shù)值穩(wěn)定的第103頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三例7:用平方根法求以下方程組的解.求得x=(1.0,-1.0,2.0)第104頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三Cholesky分解法要用到開方運算，為避免開方運算，可將A分解為A=LDLT(其中L為單位下三角矩陣)，再分別解方程組LY=b及DLTX=Y或，這種方法稱為改進平方根法.第105頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三§7.向量和矩陣的范數(shù)第106頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三為了研究線性方程組近似解的誤差估計和迭代法的收斂性，我們需要對Rn(n維向量空間)中的向量或Rnxn中矩陣的“大小”引入一種度量，——向量和矩陣的范數(shù)。第107頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三定義7.1(向量范數(shù))如果向量x∈Rn的某個實值函數(shù)N(x)≡‖x‖滿足條件①正定條件：‖x‖≥0且‖x‖=0x=0向量;②齊次性：‖αx‖=｜α｜‖x‖，α為實數(shù)或復(fù)數(shù);③三角不等式：‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖，對任意向量x,y∈Rn。稱N(x)≡‖x‖是Rn上的一個向量范數(shù)(或向量的模)。一:向量范數(shù)1.向量范數(shù)定義第108頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三④利用三角不等式可推得(見圖6.2)|‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖第109頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三定義7.2設(shè)x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，定義Rn上3種常用的向量范數(shù)2:幾種常用的向量范數(shù)③向量的“2”范數(shù)②向量的“∞”范數(shù)①向量的“1”范數(shù)第110頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第111頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第112頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三定義3(向量序列的極限)設(shè){x(k)}為向量序列，記x(k)=(x1(k),x2(k),…,xn(k))T∈Rn及x*=(x1*,…,xn*)T∈Rn。如果n個數(shù)列極限存在且則稱{x(k)}收斂于x*，記為3:向量序列的極限第113頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三定理7設(shè){x(k)}是Rn中一向量序列，且x*∈Rn，則證只就υ=∞證明。顯然有第114頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三1.定義7.4(矩陣的范數(shù)) 如果矩陣A∈Rn×n的某個非負實值函數(shù)N(A)=‖A‖滿足下述條件①正定性：‖A‖≥0，且‖A‖=0A=0矩陣；②齊次性：‖αA‖=α‖A‖，α為實數(shù)或復(fù)數(shù)；③三角不等式：‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖，對任意矩陣A,B∈Rn×n；④‖AB‖≤‖A‖‖B‖。則稱N(A)=‖A‖是Rn×n上一個矩陣范數(shù)(或模)。二:矩陣的范數(shù)第115頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三2.相容范數(shù)第116頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三3.算子范數(shù)注:||A||滿足相容性的條件第117頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三定理8(矩陣范數(shù)計算公式)設(shè)x∈Rn，A∈Rn×n，則其中λmax(ATA)表示ATA的最大特征值。4.(矩陣范數(shù)計算公式)對應(yīng)于3種常見的向量范數(shù)，有3種矩陣范數(shù)第118頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三三例題第119頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第120頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三§8線性代數(shù)方程組的迭代解法

迭代法亦是求解線性方程組，尤其是求解具有大型稀疏矩陣的線性方程組的重要方法之一。第121頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三一.迭代法的基本思想(1)將線性方程組轉(zhuǎn)化為便于迭代的等價方程組，線性方程組迭代法的思想:A非奇異,方程組有惟一解

(2)改寫成迭代格式(3)對任選一組初始值，按迭代格式逐步迭代,得到向量序列{x(k)}第122頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三(4)如果

存在極限則稱迭代法是收斂的，否則就是發(fā)散的。即:這種方法稱為迭代法第123頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)時，,則,故是方程組的解。收斂時，在迭代公式第124頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三實例分析例題10求解方程組矩陣形式：第125頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三首先將Ax=b轉(zhuǎn)化為等價方程組解：有精確解第126頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第127頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三迭代公式如果取初始向量第128頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三迭代結(jié)果分析：并不是每一個迭代公式所構(gòu)造的迭代序列都收斂。于是，計算方法的目的就是要尋求一個使得構(gòu)造序列收斂的方法。因此產(chǎn)生了各種各樣的迭代方法，根據(jù)迭代矩陣的不同構(gòu)造方法，形成了不同的迭代方法。這里介紹兩種迭代方法：雅可比迭代方法、高斯-塞德爾迭代方法以及超松弛迭代方法。并有記：第129頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)方程組的系數(shù)矩陣A非奇異，可將A分裂成

記作A=D-L-U第130頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三Ax=b線性方程組：A=D-L-U或A=M-N記等價線性方程組：Mx=Nx+bM可選擇為一個非奇異矩陣，且使Mx=f容易求解，一般選擇為A的某種近似構(gòu)造迭代過程：第131頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三雅可比迭代的矩陣形式為J為雅可比迭代矩陣。

第132頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三考察一般的方程組，將n元線性方程組

寫成2.雅可比迭代的分量形式第133頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三據(jù)此建立迭代公式上式稱為解方程組的Jacobi迭代公式分量形式。若,分離出變量第134頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三展開為：(k=0,1,2,…)第135頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三如上例的雅可比迭代公式為第136頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三8.2高斯-塞德爾（Gauss-Seidel）迭代法一.高斯-塞德爾迭代法的基本思想在Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次的迭代值，若每次迭代充分利用當(dāng)前最新的迭代值，即在求時用新分量代替舊分量,就得到高斯-賽德爾迭代法。其迭代法格式為：

(i=1,2,…,n

k=0,1,2,…)第137頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三思想：設(shè)想把x1(k+1)算出后立即代替x1(k)用于后面分量的計算，當(dāng)x2(k+1)算出后立即代替x2(k)用于后面分量的計算，…，期望這樣會收斂得快些。第138頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三二.Gauss—Seidel迭代法的矩陣表示將A分裂成A=D-L-U，則等價于

(D-L-U)x=b，如果取M=D－L（下三角矩陣），于是：N=M-A=U,于是：因為,所以

則高斯-塞德爾迭代形式為：故令G稱為高斯-塞德爾迭代矩陣第139頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三三.高斯-賽德爾(Seidel)迭代公式分量形式迭代公式即令第140頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三例題11：用高斯-塞德爾迭代公式(GS)解方程組第141頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三高斯-塞德爾迭代公式(GS)第142頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三GS迭代法和Jacobi迭代法的比較：通常當(dāng)兩種方法都收斂時，GS迭代法往往收斂快一些。但有時Jacobi迭代法收斂而GS迭代法發(fā)散；有時又相反。例如方程組雅可比迭代公式方程組收斂而GS迭代公式發(fā)散。

發(fā)散，但GS迭代公式收斂。的雅可比迭代公式第143頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三8.3超松弛迭代法（SOR方法）

使用迭代法的困難在于難以估計其計算量。有時迭代過程雖然收斂，但由于收斂速度緩慢，使計算量變得很大而失去使用價值。因此，迭代過程的加速具有重要意義。逐次超松弛迭代（SuccessiveOverrelaxaticMethod，簡稱SOR方法）法，可以看作是帶參數(shù)的高斯—塞德爾迭代法，實質(zhì)上是高斯-塞德爾迭代的一種加速方法。

第144頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三一.超松弛迭代法的基本思想

超松弛迭代法目的是為了提高迭代法的收斂速度，在高斯—塞德爾迭代公式的基礎(chǔ)上作一些修改。這種方法是將前一步的結(jié)果與高斯-塞德爾迭代方法的迭代值適當(dāng)加權(quán)平均，期望獲得更好的近似值。是解大型稀疏矩陣方程組的有效方法之一，有著廣泛的應(yīng)用。其具體計算公式如下：

⑴用高斯—塞德爾迭代法定義輔助量。第145頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三⑵把取為與的加權(quán)平均，即

合并表示為：

式中系數(shù)ω稱為松弛因子，當(dāng)ω=1時，便為高斯-塞德爾迭代法。為了保證迭代過程收斂，要求0<ω<2。

當(dāng)0<ω<1時，低松弛法；當(dāng)1<ω<2時稱為超松弛法。但通常統(tǒng)稱為超松弛法(SOR)。

第146頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三二.超松弛迭代法的矩陣表示設(shè)線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣A非奇異,且主對角元素,則將A分裂成A=D-L-U,則超松弛迭代公式用矩陣表示為或故

顯然對任何一個ω值,(D-ωL)非奇異,(因為假設(shè))于是超松弛迭代公式為第147頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三令則超松弛迭代公式可寫成第148頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三例12用SOR法求解線性方程組

k=0,1,2,…，

初值第149頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三8.4迭代法的收斂性

我們知道,對于給定的方程組可以構(gòu)造成簡單迭代公式、雅可比迭代公式、高斯-塞德爾迭代公式和超松弛迭代公式，但并非一定收斂。現(xiàn)在分析它們的收斂性。

對于方程組經(jīng)過等價變換構(gòu)造出的等價方程組

在什么條件下迭代序列收斂？先引入如下定理

第150頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)有方程組x=Bx+f,

x*=Bx*+f,迭代公式于是由于可以是任意向量,故收斂于0當(dāng)且僅當(dāng)收斂于零矩陣，即當(dāng)時于是當(dāng)?shù)仃嘊滿足引入誤差向量所以必有迭代法收斂則第151頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三迭代公式,若迭代矩陣B的一種范數(shù)(2)(3)且有誤差估計式(1){x(k)}收斂于方程的唯一解X*則定理10(迭代法收斂的充分條件)一、迭代收斂的充分條件第152頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三因為,則det(I-B)≠0,I-B為非奇異矩陣,故x＝Bx＋f有惟一解,即與迭代過程相比較,有兩邊取范數(shù)

∴

第153頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三由迭代格式，有

兩邊取范數(shù)，代入上式，得證畢由定理知，當(dāng)時，其值越小，迭代收斂越快，在程序設(shè)計中通常用相鄰兩次迭代（ε為給定的精度要求）作為控制迭代結(jié)束的條件第154頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三例13：已知方程組考察用Jacobi迭代法求解時的收斂性第155頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三例題14：求的譜半徑第156頁，共180頁，2023年，2月20日，星期三第157頁，共180頁，