版第五章剛體定軸轉(zhuǎn)動

一般運動：剛體的任一位移總可以表示為一個隨質(zhì)心的平動加上繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。剛體運動時，剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運動 jX Z§3.6質(zhì)點的角動量定靜止的質(zhì)點受到力的作用時，將開始運動；如果外力產(chǎn)生力矩，物體將轉(zhuǎn)動，如外力不產(chǎn)生力矩，物體將不轉(zhuǎn)動。由力矩的定義可知：注意：定義式中r，F(xiàn)在后om：：點的角動量,通常將角2、角動量是矢量，其大小 3、SI單 意 ZY 對一個質(zhì)點：根據(jù)第二定律：作用于質(zhì)點的合力對某參考點 點的角動量隨時間的變化率——質(zhì)點的角2）角動量定理的積分形 動時的角動量。已知：求度度例1、質(zhì)量為m的質(zhì)點以速從參考點平拋出 Y 質(zhì)點的角動量定理 角動量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，無論在宏觀上還是微觀領(lǐng)域中都成立。 O 1例如：有心力，即其方向始終指向（或背離 角速度為1細繩長度繩長度變?yōu)閞2，求此時小球繞細棒旋轉(zhuǎn)的角速度2分析：小球受3個力：繩的張力， 小球的重力和水平面對小球的支 力是一對平衡力，合力矩始終等 零。所以小球?qū)τ诩毎羯舷迭c(固解：根據(jù)角動量守小球做圓周運動，對O的角動量大小由此得到例2、用角動量守恒定律導(dǎo)出勒第二定—行星單位時間內(nèi)掃過的面積相等ca 解：行星在引力作用下沿橢圓軌道運設(shè):行星質(zhì)量為m，行星繞運動,在dt時c 徑矢單位時間內(nèi)掃過的面積為：掠面證畢轉(zhuǎn)動為定軸轉(zhuǎn)動。①各質(zhì)元的線速度v、加速a不同②各質(zhì)元角速度和角加速度的角位移。離轉(zhuǎn)軸的距離為r的質(zhì)元的線速度和剛體的角速度其加速度與剛體的角加速度和角速度之間的關(guān)系為：切向加速度：法向加速度 對于勻加速轉(zhuǎn)動一升降機?；啺霃絩=0.5m，如a=0.4m/s2勻加速上升，求 ⑵開始上升后，t=5s末滑輪的⑶在這5s內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)⑷開始上升后，1s末滑輪邊解：⑴輪緣上一點的切向加速度與升∴滑輪角加速度為：r⑵滑輪勻加速轉(zhuǎn)動，起始速度為零。故5s末滑輪的角速度為⑶滑輪轉(zhuǎn)過的角度為：相應(yīng)的圈數(shù)為：10/2p=1.6，，⑷設(shè)輪緣上一點在t=1s時的加速度為a'r可：§ 其轉(zhuǎn)軸正交于O 在dt時間內(nèi)剛體角位 +OM 轉(zhuǎn)過的角度越大，作的功就越大。 剛體繞定軸以角速 r 為△mi的質(zhì)量元的速度為vi=ri，動能為：質(zhì)點系動能定理也適用于剛體由于剛體內(nèi)質(zhì)點的間距不變，一切內(nèi)力作的功都為零。而對于定軸轉(zhuǎn)動而言——剛體轉(zhuǎn)動的動能定例1、一個轉(zhuǎn)動慣閘 J=.5m，直徑為的飛輪，正以130rad/s的d 飛 間的摩擦系數(shù)為0.50，求 飛輪轉(zhuǎn)過10圈時，摩擦力矩作 飛 根據(jù)的方向，轉(zhuǎn)軸(設(shè)為Z軸)的正向為垂直紙面向外，而摩擦力矩的方向為Z 轉(zhuǎn)過10圈后摩擦力矩作的轉(zhuǎn)過10圈后飛輪的角速度 C勢能零只有保守內(nèi)力作功時，剛體系統(tǒng)的機械能也應(yīng)該守以滑輪、物體和地球作為研究的系統(tǒng)系統(tǒng)外力(滑輪軸對滑輪的支持力)不作功,只有保守內(nèi)力(重力)作功,機械能守恒.如圖建立坐標，以物體初始位置為勢能零滑輪轉(zhuǎn)動動能物體動 物體勢 物體的速度 滑輪角速度 §5.3轉(zhuǎn)動慣量的計R dm為質(zhì)元質(zhì)量 r為質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸之間的垂直距離 O O L 求：JO、JB、解：以棒中心為原點建立坐標O成許多質(zhì)元dm。 O L求求JB §5.2轉(zhuǎn)動定在質(zhì)點運動中，力是引起質(zhì)點運動狀態(tài)變化的原因，力的作用使質(zhì)點獲得了加速度。這一物理過程的規(guī)律 第二定律來表示在剛體轉(zhuǎn)動中，力矩是引起剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)變化的原因，力矩的作用使剛體獲得了角加速度。這一物理過程的規(guī)律由剛體轉(zhuǎn)動定理來描述。 剛體轉(zhuǎn)動定理的表達式是什么樣的？與 頓第二定律有無相似之處要得到角速度與角加速度，等式兩端同除以dtZO獲得的角加速度的乘積?！獎傮w定軸轉(zhuǎn)動定律 第二定律較剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律： 數(shù)學(xué)形式上相似，M與F相對應(yīng)，J與ma與a⑵由第二定律可知：相同F(xiàn)作用下，m較大的質(zhì)點，a小，其運動狀態(tài)不易改變，慣性大；m較小的質(zhì)點，a作用下，J較大的剛體，獲得的a小，其轉(zhuǎn)動狀態(tài)易改變，轉(zhuǎn)動慣性大；J較小的剛體，獲得的a大轉(zhuǎn)動狀態(tài)易改變，轉(zhuǎn)動慣性小。J表示剛體在轉(zhuǎn)動過程中表現(xiàn)出來的慣性。StringsStringsarewoundaroundtwoidenticalpucks:oneisarounditsouterritheotherisarounditsleYoupullbothpucksfromrestbyusingthesameF.Bothpucksstarttomoveonafrictionlesssurface.5secondslater,whichpuckhasgreatercenter-of-massFFPuckPuckBothhavethesameC.O.MNotenoughinfo.toeiStringsareStringsarewoundaroundtwoidenticalpucks:oneisarounditsouterritheotherisarounditsleYoupullbothpucksfromrestbyusingthesameF.Bothpucksstarttomoveonafrictionlesssurface.5secondslater,whichpuckhasgreaterikineticFFPuckPuckBothhavethesamekineticNotenoughinfo.torStringsareStringsarewoundaroundtwoidenticalpucks:oneisarounditsouterritheotherisarounditslYoupullbothpucksfromrestbyusingthesameF.Bothpucksstarttomoveonafrictionlesssurface.5secondslater,whichpuckhasgreatertotalkineticenergy?(DoyouknowFFPuckPuckBothhavethesamekineticNotenoughinfo.tor兩個質(zhì)量分別為兩個質(zhì)量分別為和同一高度哪個木塊先滑到斜面底部？兩個半徑和質(zhì)量相同的實心圓柱和空心圓筒，從同一個斜面上滑下(同一高度)，誰先到達斜面底部？MMJ相對較大，a相對較小，轉(zhuǎn)動較慢 剛體的角動量和角動量守剛體是一種特殊的質(zhì)點系，它繞定軸轉(zhuǎn)動，當然應(yīng)該回力矩 顧角動量做勻速圓周運動的質(zhì)點對其圓心的角動量大 剛體可看作質(zhì)點系,角動量等于各質(zhì)元角動量以角速度繞OZ軸旋轉(zhuǎn)的均勻細 棒, 任一△mi對O點的角動量為：m 故棒的總角動 的大小為由O到質(zhì)元△mimm 棒的總角動 的大小為 方向如圖，可見角動量不 定與Z軸方向相同 i是質(zhì)元△mi轉(zhuǎn)軸的距根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動定律： 剛體所受的對轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸角動量的變化率。 更具遍性 例如，當物體的轉(zhuǎn)動慣量不是常量時不再適用，而仍有效為零時，剛體對同一轉(zhuǎn)軸的角動量不隨時間變化。即今有一，質(zhì)量為m，以水平速度v0射入分析：棒是剛體，支點對棒可以施加水平方向的力，因此不能用質(zhì)點水平動量守恒來計算，要用角動量計算。從進入棒到二者開始一起運動所經(jīng)過的時間極短，在這一過程中棒的位置基本不變，仍保持豎直。因此，在沖入過程中，系統(tǒng)所受的外力（重力和軸的支持力）對軸O的力矩都為零，系統(tǒng)對軸O的角動量守恒。：守：守m 解：以v和 分別表示 和棒一起開始運動時，棒端點的速度和角速度。以直紙面向外為Z軸（轉(zhuǎn)軸O）正對O軸初態(tài)系統(tǒng)角動量 末態(tài)系統(tǒng)角動量為：棒對O軸的角動度v0垂直于棒沖擊其一端并粘上。求碰撞后球的速度v和棒的角速度 ：：解：以棒和球為系統(tǒng)。對于軸 碰撞過程中外力矩為零，角動量由系統(tǒng)角動量守恒可得：由碰撞而損失的機械能為(勢能不變，故不考慮例3、一個質(zhì)量為M，半徑為R的水平均在盤緣上站著一個質(zhì)量為m的人，二者最分析：對盤和人組成的系統(tǒng) 人在走動時系統(tǒng)所受的對 直軸的外力矩為零（ 是內(nèi)力）解：初態(tài)系統(tǒng)角動量為零以j和J分別表示人和盤對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，以和W分別表示任一時刻人和盤的角速度。根據(jù)角動量守恒，任一時刻系統(tǒng)角動量為： 以和Q分別表示人和面發(fā)生的角位移，則有盤將這些量代入⑴式可得 兩邊