大一高等數(shù)學(xué)期末考試題選編及解析

大學(xué)一年級高等數(shù)學(xué)試題選編及解析

一、單項選擇題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

1.設(shè)/（X）=cosx（x+卜加x|）,則在X=0處有（）.

（A）/（。）=2（B）/70）=1（C）r（o）=o（D）/（*）不可導(dǎo).

設(shè)a（x）='---=3-3\[x,則當(dāng)時（）

2.1+x.

（A）a（x）與伙x）是同階無窮小，但不是等價無窮??；（B）a（x）與"x）

是等價無窮??；

（C）。（幻是比"x）高階的無窮小；（D）"是比a（x）高階的

無窮小.

3.若"（*）=1⑵一,其中/（X）在區(qū)間上（7,1）二階可導(dǎo)且

廣（*）＞°,則（）.

（A）函數(shù)F。）必在x=0處取得極大值；

（B）函數(shù)尸。）必在x=0處取得極小值；

（C）函數(shù)F。）在x=0處沒有極值，但點（°，尸⑼）為曲線5=尸（乃的拐點;

（D）函數(shù)F（x）在x=0處沒有極值，點（0,F（0））也不是曲線y=F（x）的拐點。

4設(shè)“X）是連續(xù)函數(shù)，且〃x）=x+2f/⑺/，則〃x）=（）

22

xx

（A）2（B）2（C）x-1（D）x+2.

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

2

_lim（1+3x）sinx=

5.XT0.

已知堊工是/（X）的一個原函數(shù)，則[/（X）.以"dx=

6.xJx

t.4/742242〃—1\

lim—（cos—+cos——+???+cos------兀）=

7.〃T8nnnn.

\x2arcsinx+1,

------/——dx=

8..

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）

9.設(shè)函數(shù)尸，（X）由方程e*''+sin（個）=1確定，求＜（*）以及＜（°）.

^[―~~^-dx.

10.1x（l+x）

xe,x<0,“

設(shè)/（x）=<,--------求J/（x）dr.

U[V2x-x2,0<x<1J-3

g（x）=ff（xt）dtlimf（^l=A

12.設(shè)函數(shù)/（X）連續(xù)，。，且i。x,A為常數(shù).求

g’（X）并討論g'（x）在X=0處的連續(xù)性.

13.求微分方程盯+2y=xInx滿足9的解.

四、解答題（本大題10分）

14.已知上半平面內(nèi)一曲線y=ya）（XNO）,過點（°』），且曲線上任一點

“（/，打）處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸、y軸、直線x=x°所圍成

面積的2倍與該點縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程.

五、解答題（本大題io分）

15.過坐標(biāo)原點作曲線》=Inx的切線，該切線與曲線7=Inx及*軸圍

成平面圖形D.

（1）求D的面積A；（2）求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

V.

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）

16.設(shè)函數(shù)/（X）在【°』上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對任意的”[0,1],

Q1

^f（x）dx>q^f（x）dx

00.

兀K

f/（x）Jx=O[/（x）cosxdr=0

17.設(shè)函數(shù)/（X）在[0，％]上連續(xù)，且彳,o

證明：在（0，萬）內(nèi)至少存在兩個不同的點442,使/?1）=/?2）=°?（提

X

尸（X）=f/（x）Jx

示：設(shè)0）

答案解析

一、單項選擇題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

D2、A3、C4、C

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

1cosx.7Cn

-(z------)2+c

.6.2x2.3

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）

9.解：方程兩邊求導(dǎo)

ex+y[l+jz）+cos（xy）（xyz+j）=0

，（x）=/+'+ycos（孫）

ex+y+xcos（xy）

z

x==0?j(0)=—1

10.解：u=x1lx6dx-du

原式癡」

(1_"))du

7JH(1+W)7

=—(InIwI-2InIw+11)+c

1“2】

=-lnlx7l——Inll+x7l+C

77

11.解：f/x)dx=￡以"心

=^xd(-e~x)4-￡^/l-(x-l)2dr

=[-m7-。-0：+J0萬(：0§2砌夕(令x-l=sing)

一2

12.解：由八°）=°,知g（°）=°。

x

V行J"”"

g(x)=ff(xt)dt=-5------

0x(x￥0)

xf(x)-jf(u)du

g\x)=----------匕---------(xA0)

x

f(u)du

Sf(x)A

g'(0)=lim,—=lim=—

zox2z。2x2

X

xf(x)-jf(u)du

limg'(x)=lim----------\---------=A--=—,

2

XTOSXTOx22,g'(x)在x=0處連續(xù)。

dy2

----1--v=Inx

13.解：dxx

廉

y=e，x(JfeJjcInxJx+C)

1,1…

=—xlnx——x+Cx

39

y(l)=--,C=0y=—xlnx-—x

八9,39

四、解答題(本大題10分)

14.解：由已知且廠20dx+y,

將此方程關(guān)于x求導(dǎo)得y"=2y+y'

特征方程：r2-r-2=0解出特征根：。=-1，-2=2.

x2x

其通解為y=Cxe~+C2e

c--c=-

代入初始條件y（°）=y'（°）=i,得?3'23

y=-e~x+-e2x

故所求曲線方程為：33

五、解答題（本大題10分）

,1,、

y-Inx0=——（x-x0）

15.解：（1）根據(jù)題意，先設(shè)切點為（Xo，lnx。），切線方程：％

1

V=—X

由于切線過原點，解出“o=e,從而切線方程為：'e

11

A=\（ey-ey）dy=-e-l

則平面圖形面積02

（2）三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體積記為％,則％=3%，

曲線y=Inx與x軸及直線*=e所圍成的圖形繞直線x=e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積

為V2

1

y2

V2="T（e—e）dy

2

V=Vl-V2=^(5e-I2e+3)

D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共12分）

g1gq1

^f(x)dx-cj^f(x)dx=J7(x)dx-q(]7(x)dx+^f(x)dx)

16.證明：00。。4

41

=(1-4巾(X)dX-qJ7(x)dx

0q

故有：

qi

j/(x)dx>q^f(x)dx

oo證畢。

17.

F(x)=\f(t)dt,0<x<

證：構(gòu)造輔助函數(shù)：0。其滿足在［°，如上連續(xù)，在(0，4)

上可導(dǎo)。Fz(x)=/(x),且尸(0)=「(％)=0

力ItJC

0=[f(x)cosxrfx=JcosxrfF(x)=F(x)cosx|^+Jsinx-F(x)dx

由題設(shè)，有0oo

［F(x)sinxJx=0

有+,由積分中值定理，存在共(0,力)，使fC)sin4=°即

尸C)=0

綜上可知中°)=b?)=尸(%)=°，會(0,%).在區(qū)間［0看］,修/］上分別應(yīng)用羅

爾定理，知存在

-e(?？?和$e4%),使"4)=0及尸'?2)=0,即/依)=1/1($)=o.

高等數(shù)學(xué)I解答

一、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的

括號中）

（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

1.當(dāng)X7X。時，a（x）,￡（x）都是無窮小，則當(dāng)》7%時（D）不一定是

無窮小.

(A)|a(x)+|￡(“（B）―㈤+一⑺

￡Z2（X）

(C)ln[l+a(x)￡(x)]（D）￡（x）

1

(SinxYv-a

lim----

2.極限f(sin"的值是(C).

(A)1(B)e(C)ecota(D)etan

sinx+e?J

/(x)=\xx聲0

x=°在x=0處連續(xù)，則aD).

(A)1(B)0(C)e(D)-1

..f(a+h)-f(a-2h)

”、lim-------------------=

4.設(shè)/(x)在點x=a處可導(dǎo)，那么h(A).

(A)3/(a)(B)2廣⑷

r,—/'(a)

(C)ff(9)(D)3

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分,共16分)

「ln(x+〃)-Ina

lim-------------(a>0)

5.極限2。x的值是a.

6.由e"+ylnx=cos2x確定函數(shù)》（%）,則導(dǎo)函數(shù)了

2sin2x+-+yexy

___________X______

xexy+lnx

7.直線l過點M(1,2,3)且與兩平面x+2y-z=0,2x-3y+5z=6都平行,則直

x-1_y-2_z-3

線/的方程為了一二r一二r

8.求函數(shù)）'=2x-ln（4x）2的單調(diào)遞增區(qū)間為（—8,0）和（1,+8）.

三、解答題（本大題有4小題，每小題8分，共32分）

9.計算極限3。x.

——ln(l+x)-1

..(l+x)A-eex-1..ln(l+x)-xe

lim---------=elim----------=elim-----；----=——

解：XT。X10XXT。X2

10.已知：⑶=3,lbl=26,a，b=30,求llxbl。

cos0-力,sin6=71-cos20=—

\a\b1313”可=72

JUT：11,11

x

F(x)=，(％-/)/(。力xe[a,b]

11.設(shè)/(x)在M，切上連續(xù)，且?，試求出產(chǎn)”。)。

XX

解：〃a

XX

F'(x)=J7(。力+V(X)-J/(X)=J/(f)力

F"(x)=/(x)

fCOSX.

\x——r—ax.

12?求」sinx

rcosx_lr.._

Ix—'dx——Ixdsin2x

解：Jsin3x2J

=--xsin-2x+—[sin-2xdx=--xsin~2x-—cotx+C

22J22

四、解答題（本大題有4小題，每小題8分，共32分）

2Xylx2-1

13.求3

原式=良13——?±)出

21/11?

6.

ai

n~=arcsinr?=￡

26

2x

V=-----

14.求函數(shù)1+x2的極值與拐點.

解：函數(shù)的定義域(—8,+00)

,2(1-x)(l+x)”-4x(3-x2)

y=(i+/)2)’=(1+”

令y'=°得xi=i,x2=-i

）'"⑴＜°x產(chǎn)1是極大值點，V（T）＞°X2=T是極小值點

極大值ND=I,極小值y（-D=—i

令y=°得％3=o,X4=6，X5=-6

X(-8,-6)(-6,0)(o,5(6,+8)

一+一+

y

V32

故拐點(-6，-2),(o,o)(6,2)

y=—

15.求由曲線4與＞=所圍成的平面圖形的面積.

解:二=3x-x2,x3-12x+4x2=0,

4

x(x+6)(x-2)=0,x[--6,x2=0,x3-2.

S=(^--3x+x2(3x-x2-^-)dx

44

,X32/|Oz32/X|2

1623I"*31610

=45+2-=47-

33

16.設(shè)拋物線y=4--上有兩點A(_l,3),5(3,-5),在弧AB上，求一點

P（x，y）使A4BP的面積最大.

解:

連線方程：y+2x-l=0|A同=4石

點p到相的距離%-）

A4BP的面積

=2(—x~+2,x+3)

S'(x)=-4x+4當(dāng)x=lS'(x)=0

S"(x)=-4<0

當(dāng)x=1時S（x）取得極大值也是最大值

此時y=3所求點為（1,3）

另解：由于A48C的底AB一定,故只要高最大而過C點的拋物線

的切線與A8平行時,高可達(dá)到最大值，問題轉(zhuǎn)為求C（x0,4-北）

，使/"'（x。）=-2x0=-5-%+]=-2,解得X。=1,所求C點為（1,3）

六、證明題（本大題4分）

17.設(shè)x>0,試證e2*（l-x）<l+x

證明:設(shè)/1（x）=e"（l-x）-（l+c）,x>0

r（x）=e2A（l-2x）-1,廣（外=-4泥2*,

x>0,/*（x）<0（因此/'（x）在（O,+8）內(nèi)遞減。

在（0,+8）內(nèi),/（X）</（。）=o,/（X）在（0,+8）內(nèi)遞減,

在（0,+oo）內(nèi)，，（幻</（0）,即02%1-幻一（1+對<0

亦即當(dāng)x>0時，e2x（l-x）<l+x。

高等數(shù)學(xué)IA

一、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中）

（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

18.函數(shù)

ln(x+l)

--------,X>1

7C八，<

/(x)="tan—x,0<x<1

2

x+sinx,x<0

的全體連續(xù)點的集合是（)

(A)(-oo)+oo)（B）（-J）U（l,+8）

(C)(-oo,0)u(0,+8)(D)(-8,0)U(0,1)U(1,+8)

x2+1

lim(—ax—Z?）=0

19.設(shè)5X+l,則常數(shù)的值所組成的數(shù)組力）為（)

(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,1)(D)(1,-1)

20.設(shè)在［0,1］上/（X）二階可導(dǎo)且/“（x）＞°,貝IJ（)

，/

(A)八0)<[⑴</⑴-/(0)(B)/(0)</(1)-/(0)</(1)

/

(C)r(l)</(O)</(l)-/(O)(D)/⑴一/(0)</'⑴</'(0)

元冗

~i?422

一rsmxcosx-dx,N=j(sin3x+cos4x)dxP=j(x2sin3x-cos4x)dx

M=------------------r一1

!\+X2

n

21.222

則()

(A))M<N<P(B)P<N<M

(C)?P<M<N(D)N<M<P

二填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

設(shè)x>1d(x2arctanVx-1)=(

1.)

設(shè)J7(x)dx=sinx+CR|J/""(x)dx=(

2.)

x-42=z-5

3.直線方程2-〃zn6+P,與xoy平面,yoz平面都平行,

那么的值各為（)

.S+8'M2

4.1=1()

三解答題（本大題有3小題，每小題8分,共24分）

（111

hm——--------

1.計算i°lsnTxx-）

X2cos—1,X>0

/(x)=,X

2.設(shè)限x4°試討論/(X)的可導(dǎo)性，并在可導(dǎo)處求出/'(x)

3.設(shè)函數(shù)y=/a)在(一汽+8)連續(xù)，在沖0時二階可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)廣(幻的圖形如圖

所示，給出

f(x)的極大值點、極小值點以及曲線>=fM的拐點。

四解答題(本大題有4小題，每小題9分，共36分)

rx+2)2^

1.求不定積分JX-1X

e

j|lnx|dx

2.計算定積分;

/=2=三1].1_卜2_Z_3

3.已知直線—5—32。2—5一4,求過直線6且平行于直線

/2的平面方程。

81

2--兀

4.過原點的拋物線)'="X及產(chǎn)0,ml所圍成的平面圖形繞x軸一周的體積為5,確定

拋物線方程中的m并求該拋物線繞)，軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積。

五、綜合題(本大題有2小題，每小題4分，共8分)

1.設(shè)b(x)=(x-l)2/(x),其中/(x)在區(qū)間口⑵上二階可導(dǎo)且有/(2)=°,試證明存在

&(1<?<2)使得尸"6)=0。

X

/(x)=f(/-r)sin2n(x>0)

2.o

(1)求/(X)的最大值點；

/(x)<------1------

(2)證明:(2〃+2)(2〃+3)

一、單項選擇題BDBC.

二、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)

xJ____

一(—I.+4arctanVx-1)dx

dy=2G

J/(n>(x)tZx=jcos(x+q)dx=sin*+券)+c

6.

7.m=2,p=—6,〃W0

g(e-l)

三、解答題（本大題有3小題，每小題8分，共24分）

r/11、

lim（—----7）

9.（8分）計算極限…。sin2xx2.

11、x2-sin2x

lim(一口=%俞7

解：3°sin2x

x-sinxx+sinx

lim

x—OX3X

1-cosx_1

21im

x->03x2-3

21八

Xcos—,X>0

fW=X

xx

10.(8分)設(shè)-0,試討論/a）的可導(dǎo)性，并在可導(dǎo)處求出

r(x).

x>0,f\x)=2xcos—+sin—八一。、1

解：當(dāng)Jxx；當(dāng)x<0"(x)=l

Ax2cos———0A_n

x=0f+'(0)=lim-------必—=0f_'(0)=lim^^=1

心-0+AXA20-Ax

2xcos-+sin-x>0

/M)=XX

1x<0

故/（x）在x=0處不可導(dǎo)。

n.（8分）設(shè)函數(shù)，=/（對在（-8,+8）連續(xù)，在xw。時二階可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)

/'（X）的圖形如圖.給出/a）的極大值點、極小值點以及曲線y=/a）的拐

點.

y

解：極大值點：X=ax=d極小值點：x=b

拐點(O，f(O))，(cJ(c))

四解答題(本大題有4小題，每小題9分，共36分)

f(x-2)2

-------

12.(9分)求不定積分底(1)2.

解：原式二JR(X—I)X-I

4ln|x|-----------31n|x-l|+c

=x—1

13.(9分)計算定積分%

￡(-lnx)Jx+PInxdx

解：原式二e

=[-(xlnx-x)]i+[xlnx-x]j

e

二2二

e

/.x_y_z_ii.X-]_y-2_z_3

14.(9分)已知直線/7=5=亍，2：；-=^一=丁,求過直線/]且平行于

直線/2的平面方程.

解:n=.?!xs2=(1,2,3)x(2,5,4)=(-7,2,1)

取直線。匕一點M|(O,O,1)于是所求平面方程為

一7x+2y+(z—l)=0

15.(9分)過原點的拋物線)'=內(nèi)2(?>0)及產(chǎn)O,x=l所圍成的平面圖形繞x

81

---兀

軸一周的體積為5.求4,并求該拋物線繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積.

1

152

V=^(ax2)2dx=7Ca1=4a

解：oSo5

Ka~_8br

由已知得55故”=9拋物線為：>=9尸

pr49

V=J2^x9x2dx=18〃一二一萬

繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積：。4o2

五綜合題（每小題4分，共8分）

16.（4分）設(shè)尸（x）=（x-l）2/W,其中f（x）在區(qū)間［1,2］上二階可導(dǎo)且有/⑵=0.

證明：存在4（1<孑<2）使得=0=0。

證明：由/（X）在［1,2］上二階可導(dǎo),故尸（無）在［1,2］二階可導(dǎo),因『（2）=0,故尸（1）=F

⑵=0

在［1,2］上用羅爾定理，至少有一點與，（1</<2）使用（Xo）=°

F\x）=2（x-l）/（x）+（x-l）2f\x）得/⑴=0

在［1,xo］上對尸（X）用羅爾定理，至少有點4（1<4<x0<2）尸"0=0

17.（4分）.

解：（1）》=1為/（X）的最大值點。

22n

/'（x）=（x_f）sin2"x,當(dāng)0<》<1,f\x）^（x-x）sinx>0.當(dāng)X>1,

22

r（x）=（x-x）sin"x<0o/⑴為極大值，也為最大值。

（2）-產(chǎn)）sit?"36/⑴

/（1）=（（t-t2）sin2ntdt<［*（"產(chǎn)）產(chǎn)力=------1------

%（2〃+2）（2〃+3）

高等數(shù)學(xué)上B（07）解答

一、填空題：(共24分，每小題4分)

222

1.y=sin[sin(x)],則dx-2xcos[sin(x)]cosx

4.）'=e'過原點的切線方程為=幺。

5.已知/（x）=e,貝"x=x+c。

_39

6.。=2,b=2

時，點（1，3）是曲線y=的拐點。

二、計算下列各題：（共36分，每小題6分）

1.求y=（sinx）8s*的導(dǎo)數(shù)。

解：了=（6叩限M），=eC%_sinxjnsinx+cotxcosx）

求jsinInxdx

jsinInxdx=xsinlnx-jcosInxdx

=JVsinInx-xcosInx-jsinInxdx

=—(xsinlnx-%cosInx)+C

f九+5,1fJ(x2-1),r5,

,----dx=-.dx+-----dx

解：2Jt

—J/-]+5InIx+J-，-11+C

[ex,x>0

/(X)={k

4.設(shè)I*+1，X<°在點》=°處可導(dǎo)，則%為何值?

r(0)=Km—=lim尸

解：XTO-XXT。-

打(0)=lim-~~-=1

XTO+x

k=\

111

hmz(.——---+/-H---F,■)

5.求極限"T8J/+12J/+22J〃2+〃2。

解：

111

.+-HF-

G+fMS7n2+n2

1

=limV

22

〃T8k=lJn+k

=ln(x+y/l+x2)l[=ln(l+揚

Jx+2y-z+l=0j2x-y+z=0

6.求過點(2,2,0)且與兩直線卜一)，+2-1=°和1x—y+z=0平行的平面

方程。

解：兩直線的方向向量分別為

5,=(1,2,-1)x(1,-1,1)=(1,-2,-3),52=(2,-1,1)x(1,-1,1)=(0,-1,-1),平面的法向量

n=(1,-2,-3)x(0,-1,-1)=

平面方程為x—y+z=0。

三、解答下列各題：(共28分，每小題7分)

X=RCOStd2y

1.設(shè)〔y=Rsi明求五K

-=-cott

解：dx

d2y,、，11

--=(-cott),------=------；-

dx~-Rsint/?sint

2.求FW=I'"一口”在［T，2］上的最大值和最小值。

解：尸'(x)=x(x-l)=0,x=0,x=l

F(0)=0,F(l)=(t(t-\)dt=--,

月6

r-i5r22

F(-l)=「t(t-l)dt=一一，尸(2)=[t(t-i)dt=-

63

2_5

最大值為3,最小值為60

3.設(shè)y=y(x)由方程龍(1+尸)一儂/+2＞)=°確定，求y'(o)。

解：方程x(l+y2)-ln(V+2y)=°兩邊同時對一x求導(dǎo)

0+r)+2盯y_2：+?_=0

x-+2y

1

x=n0,y=—

將2代入上式

y'(o)=|

o

4.求由)'=廠與＞=%圍成的圖形繞)'軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。

解「大d"

3

=-n

10

四、證明題：(共12分，每小題6分)

1.證明過雙曲線孫=i任何一點之切線與°x,°y二個坐標(biāo)軸所圍成的三角

形的面積為常數(shù)。

證明：雙曲線砂=1上任何一點a，＞)的切線方程為

Y~y-—(X-x)

X

(0,^+-),(2x,0)

切線與x軸、》軸的交點為

“八"-5=x(y+—)=2

故切線與ox,°丫二個坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為X

2.設(shè)函數(shù)/(X)與g(x)在閉區(qū)間出，加上連續(xù)，證明：至少存在一點4使得

f(6)['g(x)dx=g(4)ff(x)dx

證明：令F(x)=fg(x)dxf〃x)dx

F(a)=F(b)=0,由Rone定理,存在一點J63,切，使尸'0=0,即

高等數(shù)學(xué)上解答(07)

一、單項選擇題(每小題4分，共16分)

1./(X)=XCOSxeTsinM(-0O<X<+8)是A。

(A)奇函數(shù)；(B)周期函數(shù)；(C)有界函數(shù);(D)單調(diào)函數(shù)

2.當(dāng)時，"x)=(l-cosx)ln(l+2/)與是同階無窮小量。

(A)/；(B)/；(C)/；(D).X2

Vx-2y+z=0

3.直線〔x+y-2z=°與平面x+y+z=l的位置關(guān)系是^。

(A)直線在平面內(nèi)；(B)平行；(C)垂直；(D)相交但不垂

直。

4.設(shè)有三非零向量\若￡%=0,￡x)=。，貝力0

(A)0；(B)-1；(C)1；(D)3

二、填空題(每小題4分，共16分)

1.曲線丁印11%上一點尸的切線經(jīng)過原點(0,0),點p的坐標(biāo)為(e,l)。

「tanx-x1

lim—.....=―

2.30

3.方程e'+6xy+K—1=0確定隱函數(shù)y=y(x),貝口'(0)=」。

2

4.曲線y=x、x=l與X軸所圍圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為

71

5。

三、解下列各題(每小題6分，共30分)

、7,-si?n2x,

/(x)=hrm(-------)莖，/、

1.已知t，求/(X)。

.2

/(x)=lim(in-Xy=0』。

解：…t

f\x)=sin2x

f[ln(lnx)+—!—]小

2.求不定積分」加五。

解：旭inx)+《a=dx

=A'lnOnx)-6k+\-^—dx

JlnxJlnx

=xln(lnx)+C

「2/Sinx,n2j

Ix(----+A/1—x)Xdx

3.計算定積分L1+x4

2

〔產(chǎn)“焉+￡(X2V^)4X+￡Xix

解:

=f(x2Vl-x2)Jx+0

x=sin/2L

=2rsin21cos2tdt

_7t

r14-sinx

------axf

4.求不定積分Jl+cosxo

rl+sinx,r1,rsinx

------dx=-------dx+-------dxf

解：J1+cosxJ1+cosxJ1+cosx

1rX,rdCOSX

=—sec-2-ax--------

2J2J1+cosx

x

-tan——In11+cosxI+C

2

5.已知-Qnx)=x,且/⑴=e+l,求/(x)。

解:令lnx=f,f(t)=e'

f(x)=e'+C

/⑴=e+l,/(x)="+l

四、(8分)設(shè)I。)對任意x有/(x+D=2/(x),且/⑼二一5。求廣⑴。

解：由/(x+l)=2/(x),/⑴=2/(0)

f(1)=hm-------——

1X-\

1)-/0)

SOt

=lim2/(r)-2/(0)

z-?0f

=2-(0)=7

五、(8分)證明:當(dāng)x>l時，(1-Dlnx>(x-1)2。

證明：只需證明(x+Dlnx>x-l。

令/(x)=(x+l)lnx-x+l

f\x)=lnx+—>0-、r、

X,/(X)在[1，+8)單調(diào)遞增。

/⑴=0,當(dāng)X>1時，/W>0o即(x2-l)lnx>(x-l)2。

六、(8分)

已知"a)=[(x2一產(chǎn))/?或，/〃(幻連續(xù)，且當(dāng)尤T0時，F(xiàn)'(x)與,

為等價無窮小量。求/"(°)。

lim——=1

解：sox2

*E(x)=r(x2-t2)f\t)dt=x2

熱

尸'(0=2x￡+x2f\x)-x2f\x)=2x￡fWt

yE'(x)］.2xj/(M

hm—z—=hm—^―：-----2f(0)

A->0￡XTO

r(o)=|

七、(8分)

設(shè)有曲線)'=4V(OWxWl)和直線y=c(0<c<4)。記它們與y軸所圍

圖形的面積為4,它們與直線x=l所圍圖形的面積為4。問c為何值

時，可使A=4+4最小？并求出A的最小值。

A=A+4=

解：■

A'(c)=C-l

令A(yù)，(c)=V？-1=0,得c=l。

A“⑴」>0

2，。=1為最小值點。

minA=1

八、設(shè)“X)在3,步內(nèi)的點X。處取得最大值,且""(X)陲K(a<x<b)o

證明：+陲K3—a)

證明：/'(x°)=0

在［。，/］對/'(x)應(yīng)用拉格朗日定理