數(shù)列（解答題壓軸題）解析版?zhèn)鋺?zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)高分必刷必過(guò)題（新高考版）

專題17數(shù)列(解答題壓軸題)

數(shù)列(解答題壓軸題)

①數(shù)列求通項(xiàng)，求和

②數(shù)列中的恒成立(能成立)問(wèn)題

③數(shù)列與函數(shù)

④數(shù)列與概率

①數(shù)列求通項(xiàng)，求和

1.(2022?四川?成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試)數(shù)列｛4｝對(duì)任意且

n>2,均存在正整數(shù),滿足《向=24-4,囚=1,a2=3.

⑴求4可能值；

(2)若，,"=3"'，(〃?eN*)成立，求數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式.

【答案】⑴。4=7或9

l,n=l

〃一3

⑵5x32,n=2k+l,kGN*

n

y,n=2k,kGN”

(1)

解：由凡+1=2%-％,

可得〃3=2〃2-4=5,

所以。4=2。3-%=7或〃4=2〃3-〃1=9；

(2)

因?yàn)閍2m=3"，

%”+2=3MH,=2a2m+l-a；(/<2m),021fl+1=2a2m-a/j<2m-l),

a4a2aa

■'-2m+2=2m-j-i,

...2勺+4=4%.—%,"?=4x3'"—3'N=3'"=%,,,

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，即證明>4,恒成立：

當(dāng)"=1,電>4明顯成立，

假設(shè)n—k時(shí)命題成立，即為>ak-\>ak-\>4>4>。，

則4+1-4=24-%-4=4一勾>0,則%]>akf命題得證.

回到原題，分類討論求解數(shù)列的通項(xiàng)公式：

①若/=2加一1,則a2m=2aj+ai=2a2M+4>的”一+4矛盾，

②若/=2〃L2,則%=3“T,，4=3"'-網(wǎng).=3〃I,「.，=？m-2,

此時(shí)%的=2%-%=2乂3.一3〃1=5x3〃i，

l,n=l

〃-3

2

an=<5x3,n=2k+\,kGN”,

n

y,n=2k,ke^

③若JV2〃L2,則2%V2X3〃I,

，4=3m—2aj>3m~l=%吁2，?二i=2m—1,

??a2m+2=2a2〃j+l-42〃L1，

a6=2a5-a3,

事實(shí)上：%=2%-。2=15,。6=2%-。2矛盾.

l,n=1

“一3

綜上可得a“=，5x3h,〃=2/+l?eN.

n

32,n=2k,k^^'

2.(2022?上海?華師大二附中高三階段練習(xí))已知無(wú)窮數(shù)列｛q,｝滿足|%+|-4|=1,其中

〃=1,2,3,…，對(duì)于數(shù)列｛4｝中的一項(xiàng)4,若包含%的連續(xù)八公2)項(xiàng)

4,4+i，…,q+j_|(iM44i+J—1)滿足q<aM<???<?,^(i<k<i+j-1)或者a；>aM>■■■>

4+/T，貝I」稱4，《+i，…，4+.z為包含4的長(zhǎng)度為1/的"單調(diào)片段

(1)若4=sin羊，寫出所有包含心的長(zhǎng)度為3的“單調(diào)片段"；

⑵若對(duì)任意正整數(shù)3包含《的“單調(diào)片段”長(zhǎng)度的最大值都等于2,并且用=9,求｛〃“｝的

通項(xiàng)公式；

⑶若對(duì)任意大于1的正整數(shù)3都存在包含出的長(zhǎng)度為k的"單調(diào)片段"，求證：存在正整數(shù)

N。,使得“2乂時(shí)，都有,“一氣|=〃一乂.

【答案】⑴LOT和TO」;

(9,"為奇數(shù)以〃為奇數(shù)

⑵為［io,〃為偶數(shù)或"T&〃為偶數(shù)；

⑶證明見(jiàn)解析.

(1)

%=T，包含%的單調(diào)片段有兩個(gè)，為1,0,T和TO』；

(2)

因?yàn)?

所以“向-4,=±1

若4<%，因?yàn)榘Φ?單調(diào)片段"長(zhǎng)度的最大值為2,則外>%,

所以%=q+1,%=%-1,故4=9,%=10

因?yàn)榘牡摹皢握{(diào)片段”長(zhǎng)度的最大值為2,

所以/<雙目.%>%，以此類推，可得到對(duì)任意keN\a2k_t<a2kfl.a2li>a2k+},

所以％*=42*-|+1=%+|+1

9,〃為奇數(shù)

所以4=

10,〃為偶數(shù)

9,〃為奇數(shù)

若4>生，則同理可得：an

8,〃為偶數(shù)

」9,〃為奇數(shù)為奇數(shù)

女」一所述：見(jiàn)-為偶數(shù)或4-卜〃為偶數(shù)；

(3)

首先證明：存在N°wN",使得叫小九”心收…為單調(diào)數(shù)列[*)

假設(shè)結(jié)論(*)不成立，不妨設(shè)《<生,

因?yàn)?*)不成立，所以存在々W2,使得4<見(jiàn)<3<4且%>4句.

若從4開(kāi)始，一直單調(diào)遞減下去，則與假設(shè)矛盾；

所以存在sNZ+1,使得4>4+i>—>4且4>4+i.

若從4開(kāi)始，一直單調(diào)遞增下去，則與假設(shè)矛盾：

所以存在tNs+1,使得見(jiàn)<4+|<…且a,>%].

由d+1可知s23,

因?yàn)榇嬖诎L(fēng)的長(zhǎng)度為s的"單調(diào)片段"，所以fN2s-1

考慮明,顯然包含明的最長(zhǎng)"單調(diào)片段"為4<一<???<《，其長(zhǎng)度為f-s+l

因?yàn)閟N3,所以f-s+14f-2,

這與已知：存在包含4T的長(zhǎng)度為f-1的"單調(diào)片段"，矛盾.

故假設(shè)不成立，結(jié)論(*)成立.

當(dāng)4>的時(shí)，同理可證結(jié)論(*)成立.

根據(jù)結(jié)論(*),即。，鈾川，知心…為單調(diào)數(shù)列，

則對(duì)任意n<N0,an+t-a?的正負(fù)號(hào)都相同，

于是當(dāng)〃*乂+2時(shí)，有

a

\n-"NJ=|(a“-a，i)+(a“-i-4,-2)+..?+(a％+1-^0)|

=|a“-的|+|%—%|+…+鼠+1_%,|=〃一乂，

當(dāng)〃=N0+1,%eN*時(shí)，顯然,久卜〃-乂

綜上所述，題目所給結(jié)論成立.

3.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛可｝滿足：q=l，凡M=5""+"'n=+#eN,

an-2n,n=2k

⑴求42,an

(2)設(shè)2=出"-2,”eN”,求證：數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

⑶求數(shù)列｛《,｝前20項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和.

35

【答案】⑴5，--；

⑵證明見(jiàn)解析，2=-(;)；

⑶a-162.

(1)

135

令〃=1,得。2=耳4+1=5，令〃=2,=a2-2x2=--；

(2)

根據(jù)題意,得々=生一2=-g,%“+2=+(2〃+1)=g(“2"-2x2")+2〃+1=g%,+1，

所以%—2,+「25，“+1—22(%,-2)J,

a

b”2n~2a2n—2a2n—22

所以數(shù)列｛2｝是4=一；，g=g的等比數(shù)列，故'=-(￡)”；

由(2)可得。2“=2+2,

所以數(shù)列｛4｝前20項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和S=q+/+%+…+49

=q+(%—2x2)+(4—2x4)+.?,+(48—2x18)=1+(%+4+，，，+48)—2(2+4.??+18)

=1+(2+&+2+&+…+2+")-9><(2+18)=1+18+(4+與+…+4)-180

2

4.(2022?北京四中高三開(kāi)學(xué)考試)設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列0,生，…為

〃(〃=2,3,4,…)階"期待數(shù)列"：①4+見(jiàn)+%+L+?！?0；②同+同+同+L+同=1.

(1)分別寫出一個(gè)單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列"(不必說(shuō)明理由)；

⑵若等差數(shù)列｛%｝是15階“期待數(shù)列"，求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑶記〃階"期待數(shù)歹『'的前k項(xiàng)和為S,(k=1,2,3,…力，證明：

⑴⑻町；

<-------

Z=l1-22n

【答案】⑴?個(gè)單調(diào)遞增的3階〃期待數(shù)列J-0,，一個(gè)單調(diào)遞增的4階〃期待數(shù)列〃:

3113

，——，一，二；

8888

?—88—n

(2)當(dāng)d>0時(shí)，a=――；當(dāng)d<0時(shí)，a=——；

n56n56

(3)(i)證明見(jiàn)解析；(ii)證明見(jiàn)解析

(1)

通過(guò)題意可得到，3階"期待數(shù)列"滿足：①4+%+%=0；②同+同+聞=1，易得-；，

0,g滿足一個(gè)單調(diào)遞增的3階"期待數(shù)列"的定義；

4階"期待數(shù)列"滿足：①4+電+/+%=°；②同+同+|局+同=1，易得—5---

OOO

。滿足一個(gè)單調(diào)遞增的4階"期待數(shù)列"的定義；

O

(2)

設(shè)等差數(shù)列為,。2，。3，匕，外人旬化之^公差為"，

,/a}+%+%+一?+。2Ml=0，

2k（2k+\}d

（2攵+1）6+

a}+kd=0t即％+]=0,

當(dāng)d=O時(shí)，則4=0與②矛盾;

當(dāng)d〉0時(shí)，由①②得：%2+以+3+?一+。2&+1=5

k八1

由初=°得q+E=°,即4=一胡,

??4=-W+(〃T)I^=I^1(〃eN，〃42Z+l),

令2Z+l=15n&=7，=〃“=白一；=^^，

30/30

當(dāng)d<0時(shí)，同理得加+繪二Dd=-L,即d=-I

22氏(氏+1)

山/=0得4一心冊(cè)=0即％=￡,

?a=-...(n-1)-~~r=——；~~-+—(neN,,〃W2k+l),

,?〃攵+1I〃住+1)攵住+1)八卜

「?令2攵+1=15=>女=7,所以可+=；

56756

(3)

(i)假設(shè)|&|>；,

若&>0則&>g,

11

4+4+。3+…+4>5，。八1+《+2+見(jiàn)+3+?.?+〃”<一]，

同+同+同+L+同習(xí)4+%+%+L+%|+|%I+%2+%3+L+a」>l,

與同+|%H%|+L+|。」=1矛盾;

若&<0則&<-g,

11

a

\+。2+。3+…+%<一]，4+1+%+2+4+3+…+4>5，

國(guó)+同+同+L+⑷.4+%+%+L+%|+|%+i+%+2+%3+L+an\>l9

與同+同+k|+L+|a/=l矛盾；

所以圖>3不成立，

所以內(nèi)4；得證；

v_a,a2a3a4an

占i1234n-1n

s+s?S[+S3-S]+S4S3___s〃]-s〃2+S〃-S〃]

1234n—\n

122x33x44x5（〃一1）〃n

<Si

臥圉十島卜島卜…十（n-l）n

1

<

--2

i22x33x44x5（〃一1）〃

11111111I

—+---+----1----+---

22233445〃-1In

5.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)數(shù)列｛《J滿足:對(duì)任意正整數(shù)n,有q+京+母+…+券=”.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)a?b?=n,求數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和S".

【答案］⑴",=9"T

（1）

當(dāng)"=1,得4=1.

當(dāng)〃22時(shí)，（q+/+故+…+券）-（4+/+/+…+券）=券=〃-（"T）=1，

得券=1，即4=—

又4=1也滿足上式,

所以的通項(xiàng)公式為4=9"、

(2)

(2)由(1)及。〃?！?",得勿=煩了=〃?(").因此

s,=唱+2x（￡|+.??+/]）,①

E=1X]￡|+2X（￡）+...+〃X]￡|’②

①一②得2端卜?+…+(「唱、一〃心，

得

Q1（6崎

化簡(jiǎn)得S.=R-

6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛qj的前〃項(xiàng)和為S,,且滿足6=1,當(dāng)〃22（“eN*

時(shí)，-（"+i）s,i=（（/-〃）.

⑴計(jì)算：a2,a3.

（2）證明］肅而］為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

（3）設(shè)仁二tan瘋,求數(shù)列他“色｝的前”項(xiàng)和。.

【答案】⑴生=4；%=9

⑵證明見(jiàn)解析，a?=n2

（1）

令〃=2,得S?-3Si=2,乂4=S］=1,所以〃2=4；

令〃=3,得2s3-4S?=8,又S2=5,.?.〃3=9：

（2）

因?yàn)楫?dāng)〃22（〃eN.）時(shí)，（〃-+=，/_〃），

S?S?,1

所以而旬-仁而二相

所以數(shù)列,-AT：為等差數(shù)列，首項(xiàng)為*=1，公差為

S?S.lI1

所以（上1\=彳+Wz（〃一n1）=1"+公，

+2336

所以S“=!〃(〃+l)(2〃+l)，

6

于是，當(dāng)"22(〃wN*)時(shí)，

a,,=S“-S“T=^n(M+l)(2n+l)--i(n-l)n(2n-l)=n2,

oo

當(dāng)〃=1時(shí)，ax=Sj=1,滿足上式，

故你=/；

(3)

tan(M+l)-tann

因?yàn)榘?tan^/^=tann,則2+優(yōu)=tan(幾+1)tan"二

tanl

于是'（二熹"an2Tanl）74--!—(tan3-tan+…+----(tan(n+l)-tan/?)-l

tan1'

1「/、-itan(n+1)

=----tan(?+l)-tanl\-n=----------L-n-\.

tan1Lv7」tanl

7.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知正項(xiàng)數(shù)列伍“｝的前”項(xiàng)和S,滿足：

S：-(/+"-1)S“-+1)=0(〃6N,),數(shù)列｛/>?｝滿足”吟,且+b?=(X?eN').

⑴求外的值及數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)￡，=""*,數(shù)列｛c,J的前〃項(xiàng)和為T“，求T”.

【答案】⑴4=2,an=2n

二/為偶數(shù)

9,“為奇數(shù)

,n+1

(1)

S：-W+n-l)S?-n(n+1)=0("eN*),

.,.當(dāng)〃=]時(shí)，fl12--2=0,??>0,

解得4=2.

又[5?-?(?+1)](S?+1)=0,v??>0,

S?=n[n+1),

當(dāng)“22時(shí)，=S“-S"T="(〃+1)-"("-1)=2",

當(dāng)”=1時(shí)上式也成立，

a“=2n.

(2)

數(shù)列也J滿足4=微-=1,且"+1+b?=0("eN*).

?也=(-1嚴(yán)，

生里也=山上也

“Sn〃(〃+1)nn+]'

???當(dāng)艘為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為1=(1+3-(:+3+4+3-…-d+—二)

22334〃〃+1

_1_n

n+1n+\

當(dāng)〃23為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列｛g｝的前n項(xiàng)和為7；

nn+\

t1A1、?1〃+2

nnn+\〃+1n+\

當(dāng)〃=1時(shí)也成立,

/一,〃為偶數(shù)

.口=，":；

9,〃為奇數(shù)

、〃+1

8.(2022?黑龍江?哈爾濱市第六中學(xué)校高二期末)已知數(shù)列｛對(duì)｝的前〃項(xiàng)和為S”,

3s“=4a”-4.

⑴求數(shù)列｛4,｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列色｝滿足+?！八?...+她,=4"；16-,求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式.

【答案】⑴4=4"

(2也=3〃

⑴

3S?=4??-4,3sli=4an_j-4(n>2),an=4a?^(n>2)>

令w=l,得4=4,二｛a“｝是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，,a“=4"

⑵

4,,+2-16

。也+4一人+…+〃2=―-------4〃，

即4"b.+4"-'4+…+="216_4〃

3

4"+1_1z"

4"T4+4"-也+…+4%=—^^-4("-1)(n>2)

等式兩邊同乘以4得：

2

?4"bx+4"-'b2+--+4b?_,=-———-16(n-1)(n>2)

；.4b“=12〃,:.b“=3n(M>2),經(jīng)檢驗(yàn)4=3成立，=3〃

9.(2022?天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高二期末)已知｛4｝為等差數(shù)列，｛2｝為公比大于

0的等比數(shù)列，且4=1,伉=2,瓦+瓦=12,a4+2ab=b4.

⑴求｛4｝和｛2｝的通項(xiàng)公式;

黃〃為偶數(shù)；

(2)設(shè).",求數(shù)列｛&｝的前2〃項(xiàng)和

匈±1J_，〃為奇數(shù).

《4+2b”,2

【答案】⑴%="也=2"

25_______1_______3”+4

⑵1K-(2"+1)""，|-9-22"-'

⑴

設(shè)｛%｝公差為d，｛勿｝公比為4>0,由8+4=12可得2g+2q?=12,即決+q-6=0,

因?yàn)?lt;7>0解得4=2.又%+2%=d，故l+3d+2（l+5d）=2x23,解得d=l.故%=〃,）=2"

⑵

ann3an+813〃+8111

因?yàn)閍“=岫,=2",故無(wú)=于癡工,￡；=而可尸=正一正芬產(chǎn)

設(shè)&中奇數(shù)項(xiàng)和為S,偶數(shù)項(xiàng)和為V,則

S-bF-+3^-r?+…+（2rt-l）-22,,_|一（2"+1）.2"出~2~（2n+l）-22"+l'

?24In

“亍>+…+聲，

,1_.242n

則n/=矛+手+…+尹啟，

22222n

則十才+寸”+聲一尹'

3〃2212n23〃+4

即一V=-------------=---------,

4334"22n+233-22n+1

四曰“4f23"+4183〃+4Tc,,z.11.83n+^

解倚-3U-3-22,,+IJ-9-9-22"-'"故2"-_2（2n+l）-22n+,99-22"'

_25_]_3〃+4

--(2〃+l>2""i-9-22,M

10.(2022?上海?華師大二附中高一期末)記S“是公差不為0的等差數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和,

已知。3+3%=&，%%=&，數(shù)列低｝滿足2=3"i+2"T(〃22),且a=4-1.

⑴求｛”“｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明數(shù)列｛與+11是等比數(shù)列，并求色｝的通項(xiàng)公式；

11177

⑶求證：對(duì)于任意正整數(shù)〃，7+7+…+/<而.

【答案】⑴4=2〃

(2)證明見(jiàn)解析,bn=r-2"

⑶證明見(jiàn)解析

(1)

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為必"二0）,

5x4

q+2d+3（q+3d）=5q+2-----d

“3+3%=$5..2,解得:4=2

由得：<

4as=Sc44x3d=2

q（q+4d）=4q+kd

:.an=2+2（〃-1）=2〃.

（2）

由⑴知：〃=4-1=1,則今+1=|,

由a=33L得：/=|.畀+；,+住4）

???數(shù)列1*+1］是以1?為首項(xiàng)，|為公比的等比數(shù)列，

?冬』（1［，??也=35.

⑶

1?77111677

當(dāng)〃=1時(shí),—=1<—?當(dāng)1〃=2時(shí)，—+—=1+—=—<—.

460,」b}b25560'

11=1+111977

當(dāng)〃=3口寸,—+—+4—=----<—.

4瓦199560'

當(dāng)“23時(shí)，3"-2"=27-3"3_8.2"-匕27-3"-3_8.3"7=19?3"3（當(dāng)且僅當(dāng)”=3時(shí)取等號(hào)），

??.當(dāng)”N3EI寸，（當(dāng)且僅當(dāng)〃=3時(shí)取等號(hào)）；

ll...lllx24377

?e?當(dāng)〃24時(shí),+++<1++----<—

53813/,-2J538

bxb2bn51919060

11177

綜上所述：對(duì)于任意正整數(shù)"，7+7+…+

瓦b2bn60

11.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，2a5，%，4&成等差

12

數(shù)列，且滿足牝=4。；，數(shù)列｛S,,｝的前〃項(xiàng)之積為瓦，且3+廠=1.

⑴求數(shù)列｛%｝和圾｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)4K，若數(shù)列⑷的前”項(xiàng)和監(jiān),證明：十區(qū)j

【答案】（1）。，“=2/7+1

⑵證明見(jiàn)解析

(1)

設(shè)等比數(shù)列也,｝的公比為4>0,??>0,

.■2?5,a4,44成等差數(shù)列，,2%=2%+46，二24=24(4+242),

化為：2d+q-l=0,q>0,解得<?=；.

又滿足％=4“\，=4(4力-,即l=4qq,解得％=；,

,?,數(shù)列⑸｝的前〃項(xiàng)之積為二S“=裊(〃22),

12b,2”一

丁+7=黃+「1(”22),

S“b?b“bn

即2-么-=2522),他,｝是以2為公差的等差數(shù)列.

1212,

又亍+丁=了+丁=1,即4=3,所以2=3+2(〃-1)=2"+1

(2)

d=2+2,%2〃+51____________]

"bn-bll+l(2〃+1)(2〃+3)?2”(2〃+l)-2"T(2〃+3)2''

所以數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和

證明：

"12"(3x15x2J(5x27x22J1(2〃+1>2"T(2n+3)-2"J

1I

-3-(2n+3)-2n'

177

則M“<§，又加|=面‘仞"隨著"的增大而增大，故此；而

71

所以為,""<鏟

12.(2022?天津?耀華中學(xué)二模)已知｛可｝為等差數(shù)列，前八項(xiàng)和為5,,,(〃eN*),｛勿｝是首

項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0,d+々=12,4=%+%,bb=S?-2.

(1)求｛%｝和色｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)q=0,c?+l-cn=lnf1+—j,neN",求％；

⑶設(shè)4=",a?,其中2eN*.求｛4｝的前2n項(xiàng)和%.

In-2tL

—^,n=2k

b.

【答案】⑴4=〃，〃=2"；

⑵%=ln〃；

,.ln(2〃+l)

⑶a———?

⑴

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為4(4>0),

由4+4=12n2q+2q2=12nq=2,或q=-3舍去，所以a=22一=2"：

么=%+區(qū)=2%=8=q=4=q+3d=4,

4=S“-2=1+gxlIxlOd—2=64,解得：%=d=1,即a“=1+(“-I>1=〃,

所以有％="，b,=2"；

⑵

因?yàn)镚+i-G=ln[l+']=ln^^,

InJn

所以當(dāng)N”時(shí)，

有c*C-%）+（%一%）+…+（。2-。）+4

〃n—12n(n—1)...2

=ln^T+ln^+-+lnT=ln(n-l)(n-2)..rln，7'顯然當(dāng)〃=1時(shí)也適合，

即cn=In〃；

(3)

由(1)(2)可知：4=〃，4=2",c“=】n〃.

%1丁z?口+a31n(2%-1)

當(dāng)〃=2左一1,女eN小j,d2k_x=------------------,

2k-1

當(dāng)n=2k,左eN*時(shí)，,_:2A+1，

02k~^2k

2k—T

,,31n(2&-1)1,1

2Z+141n(22—1)—ln(2Z+l),

4T+4*=-—+—

.4lnl-ln341n3-ln54ln5-ln741n(2/j-l)-ln(2?+l)

A2n”=----4-1i-----------1-----------4--2;-----------1-----------4--3;-----------F…H----------------------4--〃----------------------

八In3In3In5In541n7ln(2/?-l)ln(2n+l)

41414242434“T4"

ln（2n+l）

二-

②數(shù)列中的恒成立（能成立）問(wèn)題

1.（2022?四川?雅安中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列｛〃〃｝是正項(xiàng)等差數(shù)列，其中切=1,且“2、

。4、。6+2成等比數(shù)列；數(shù)列｛加｝的前內(nèi)項(xiàng)和為S〃,滿足2S〃+加=1.

⑴求數(shù)列｛〃〃｝、｛加｝的通項(xiàng)公式；

（2）如果切=加加,設(shè)數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和為Th,是否存在正整數(shù)〃，使得果>S〃成立,若

存在，求出〃的最小值，若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】⑴4=","

（2）存在,2

（1）

設(shè)數(shù)列｛即｝的公差為d,

=且〃2、44、46+2成等比數(shù)列，

4：=%（。6+2）,即（％+3"『=（4+"）（q+5d+2）,解得“二一;（舍去）或。=1,

所以q=q+（7?-1）t/=l+（H-l）=n,

由2S〃+尿=1,得s“=g（i-4），

當(dāng)〃=1時(shí)，2Si+bi=l,解得4二§,

當(dāng)n>2時(shí)，bn=Sn-Sn_｛=g（1--g（1-%-g+g_],

所以a=；a_i，

所以數(shù)列協(xié)〃｝是首項(xiàng)為g,公比為;的等比數(shù)列，

(2)

.，、心,n

由(1)知，cn=anbn=—,

所以Z,=lx；+2x*+3x/+…①

貝=""+2*/+3x*…+/tx擊②

①-②得，|l；,=lx1+lxl+lx-+...+--?x—

I一---

13"+,

1------

3

1111

----------XHX——-,

223〃-----3w+,

332/7+31

所以<=￡_x_____x__-----x—,

43〃23〃44-3〃

所以=:—小汕］

43"4(3")

,,.2〃+32/?+12〃+3—6〃一34〃八

因?yàn)閒----市=—藥-----=_訶＜0，

所以1-爺-（1-竽）＞0,即加

所以9—S,,｝是遞增數(shù)列，且當(dāng)〃=1時(shí),…皿

故當(dāng)〃>1時(shí)，Tn-Sn>Tt-St=0,即7；>S“,

故所求的正整數(shù)”存在，其最小值是2.

2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝各項(xiàng)都是正數(shù)，4=1,對(duì)任意“GN*都有

21

,+4+…+4=/土;二.數(shù)列色｝滿足印=1,"+%=2〃+1（n￡N*）.

⑴求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

⑵數(shù)列匕,｝滿足C77="J,數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為刀,，若不等式4x3"+9/l＜3"+27；對(duì)一切

a2n+\

〃WN*恒成立，求4的取值范圍.

【答案】⑴4,=2"、〃WN*；b?=n

(1)

數(shù)列｛4｝各項(xiàng)都是正數(shù)，4=1,對(duì)任意〃WN*都有必+必+…+*=端二！，①

〃2_[

22

當(dāng)〃之2時(shí)，t；1+a2+???+an_^=—―,②

①-②可得34：=。,,：-a/,

因?yàn)閿?shù)列｛%｝各項(xiàng)都是正數(shù)，

所以可化為4,+i=2。“，

因?yàn)椤?2="231，41=1,。2>0，

所以％=2,所以見(jiàn)=2“，

所以數(shù)列｛q｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以%=2"T,”WN*；

數(shù)列｛2｝滿足a=1，%+6向=2”+1(“CN*),

可得打=3—4=2,

當(dāng)“22時(shí)，，a_1+2=2〃-1,又勿+"+|=2〃+1,

兩式相減可得=2,

所以｛2｝的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為公差為2的等差數(shù)列,

可得奇數(shù)項(xiàng)為1,3,5,7,…，2/1-1.......偶數(shù)項(xiàng)為2,4,6,2n,

所以。=";

(2)

因?yàn)椋?上」=〃?8「

?

。2"+1

1(if"

所以7；=1X」+2XL+3

41664⑴

所以！?；=1XL+2X，+3x貴+...+(〃7).出+〃.出

4"1664

11門丫"(1YW+2

兩式相減可得？7;=！+?----1------1-----F——/I-

4"41664⑴⑴

八、

1(1----1-)/1\2n+2

七Z

4

43〃+41

化為7y92

若不等式4x3〃+94<3"2(對(duì)一切“WN*恒成立，

即為一94>(3〃+4)(雪恒成立，

設(shè)4=(3力+4).(1),

3

%(3〃+7>(4嚴(yán)9〃+21-3〃+5

―1=-------------1=-------_]=-------,

(3〃+4).(才12,1+1612〃+16'

4

當(dāng)〃=1時(shí)，d2>dl9當(dāng)〃22時(shí)，dn+l<dn,

所以〃=2時(shí)，口取得最大值45?，

O

455

則-94>子，解得見(jiàn)<-：，

OO

即2的取值范圍是18,一)

3.(2022?上海市松江二中高一期末)已知數(shù)列｛%｝的前八項(xiàng)和為

S,,,q=-2,("+1)4-25,,=6〃—6(〃wN")，數(shù)列｛￡｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

⑵若存在〃eN*,使得納,4%成立，求實(shí)數(shù)％的取值范圍；

(3)若％=去，是否存在正整數(shù)p，q,r(p<q<r),使得%、％、/依次成等差數(shù)列？若存在,

求出所有的有序數(shù)組(。,夕,廠)；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】⑴4"-6

⑵心|

(3)存在，(2,4,6)或(3,4,6)

⑴

因?yàn)?〃+1)4,-2S,,=6〃-6…①

所以當(dāng)〃N2時(shí)，na?_,-2S.T=6〃-12…②

①-②得：+整理得&-牟=

nn—\n(n—Y)n—\n

則由累加法可得：

件一七)+(%一9)+...+(與一？)=(24)+(二一二)+...+44)

nn—\n—\n—221n—\nn—2n—\12

整理得：4=4”-6

又當(dāng)"=1時(shí)，上式也成立，所以｛q｝的通項(xiàng)公式為%=4"-6

(2)

由題知，b?=3",因?yàn)榇嬖凇╳N*,使得她<4,成立，所以存在”wN*,使得無(wú)<(4〃-6)《)"

成立,即求c.=(4〃-6)￡)”的最大值.

又」「。,=(4〃-2>€嚴(yán)-(4"-6>(9"=8(2-〃)《嚴(yán)，故當(dāng)”=1時(shí)，c?+l-c?>0,B|J

c.T>c“，當(dāng)〃22時(shí)，C?tl<c?,故當(dāng)〃=2或〃=3時(shí)，《"-GXQ"取得最大值(，所以人的

3y

2

取值范圍為

(3)

C

。=丁=—^，—.由(2)因?yàn)镃[=-],。2=。3，R-n+I>C?>0(?>3),故若2=1,則

Dn339

-82、-2、

Cp-CqVI,q-c,e0,-1,故Cp-Cq豐c「c,,即Cp、Cg、cr不成等差數(shù)列，故p22.

若p=2,夕=3則c,,-q=0,XC,I+1>C?>0(/7>3),故c,,q、c,不成等差數(shù)列，故gN4.

當(dāng)4=4時(shí)，Cp=|,q=",此時(shí)C,=2X^_￡=2,此時(shí)有解得「=6.此時(shí)P=2

或p=3,q=4,r=6,(0國(guó),廠)為(2,4,6)或(3,4,6)

當(dāng)qN5時(shí)，因?yàn)閜Wq-1,且C,,M>C”(〃N3),故C/%，即智&q,”,故

婦>婦2=文竺=生處辿>虹型心2>為士=2c，即當(dāng)"5時(shí)，品>2q

3P—323(,y1~3qy1qpq'

又C,>0,故Cp+q>2cq,故cs不成等差數(shù)列.

綜上所述,有序數(shù)組(",4，)為(2,4,6)或(3,4,6)

4.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S,,=3"-l,其中〃eN".

⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列他,｝滿足偽=1,b,=3%+4(〃N2),求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和7；；

⑶若存在〃eN"使得a,,4"("+l)X成立，求實(shí)數(shù)2的最小值.

【答案】⑴a"=2-3"T

(2)7>(〃-1>3"+1

(3)1

(1)

當(dāng)"=1時(shí)，％=E=2,

當(dāng)“22時(shí),S“=3"-1,S"T=3"T-1,

兩式相減并化簡(jiǎn)得a“=2-3"T(〃N2),

當(dāng)”=1時(shí)，上式也符合，

所以%=2-3”T.

(2)

數(shù)歹U他,｝滿足4=1，b?=3%+。“=3%+23'T(n>2),

則%=絢+2,^-^L=-(?>2),

‘3"3"T33"3"-'3V'

所以數(shù)列圖是首項(xiàng)為a=g，公差為|的等差數(shù)列，

所以％

3"33

所以?=t〃?3"-3"T,

設(shè)數(shù)列｛%｝滿足%="?3",且前”項(xiàng)和為M”，

M?=l-3l+2-32+---+/f3,,,3M?=l-32+2-33+---+n-3),+l,

兩式相減得一2以=3+32+…+3"-〃?3向=30-3)_“3向=(12〃卜3'-'3

1-32

所以M=(2")3'、+3-型3+2

“444

設(shè)數(shù)列｛4｝滿足4,=3"',則｛4｝的前〃項(xiàng)和N,,=上二='二1

1—3222

所以<=|a-'=|(里-3""+￡|-*3"-￡|=(〃-1).3"+1.

(3)

依題意，存在“eN"使得為4〃(〃+1"成立，

2.3"-|<n(n+l)A,2>4^?則只需求竽不的最小值.

2.3〃2.3〃T。皿31

=2?3-

(〃+1)(〃+2)+----------------(〃+1)(〃+2)〃(鹿+1)

=2-3"-1----------V-+—

(〃+1n+2)nn+\

=2.3"T.—--------------

n+\n+2n

=23，i4〃(〃+2)3〃("+l)(〃+l)(”+2)

=4.3"T--------2n-2-----

NO,

2?3“T?

當(dāng)”=1或〃=2時(shí)，而而取得最小值為17rl.

所以/I的最小值為1.

5.(2022?四川?樹(shù)德中學(xué)高一競(jìng)賽)已知數(shù)列低｝中，瓦=1,(心-1).(4+3)==1.正項(xiàng)

等比數(shù)列｛4｝的公比qeM,且滿足(q-1>%=8,q+a；=18.

⑴證明數(shù)列■廣匕為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛q｝和｛2｝的通項(xiàng)公式；

⑵如果求｛%｝的前〃項(xiàng)和為7；；

n

(3)若存在使魚(yú)+3〉(4+3).(“+3)……(3+3)4府成立,求實(shí)數(shù)&的取值范圍.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析?，??=2”，b=-

nn

)〃+2

⑵"二J

(3)[3,+oo)

(1)

解:因?yàn)?配-1)@+3)=T,可得%-1=了夫

-42s“+1)1包+1+211

可得2“+1=r乙一，所以H------------=----------4-—

2+32+32+1+12(4+1)bn+l2

即。T舊=5'

又因?yàn)椤?，可?H，所以數(shù)列島表示首項(xiàng)為？公差為?的等差數(shù)列,

11/1、1〃22-/t

所以舊丁("5=5,所以以=>=丁

由(4—1><ZJ=8,q+W=18,可得(q-=8,q+a；q~=18,

因?yàn)閝eN",所以q=g=2,所以q,=2”.

⑵

解：由(1)知q,=2",bn=—,可得c“二:、地川=2'用=處_絲,

nn〃(〃+1)nn+\

223232424252'川2/22n+2

所以(=(-2-----)+(------)+(------)+…+(---------)=4---------.

122334nn+\〃+1

(3)

冷).,2-nr，曰]個(gè)2-n2(〃+l)

解：由2=------,可得2+3=-------+o3=----------,

nnn